2017届九年级数学中考总复习线段的垂直平分线知识讲解基础.docx

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1、线段的垂直平分线-学问讲解(根底)【学习目的】1.驾驭线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，可以利用尺规作已知线段的垂直平分线2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.驾驭三角形的外心性质定理.3.已知底边与底边上的高，求作等腰三角形. 4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简洁的几何问题及实际问题【要点梳理】要点一、线段的垂直平分线1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线2.线段垂直平分线的做法求作线段AB的垂直平分线.作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求

2、直线要点诠释：(1)作弧时的半径必需大于AB的长，否则就不能得到两弧的交点了(2)线段的垂直平分线的本质是一条直线.要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的间隔 相等要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一同时也给出了引协助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的间隔 ，这样就出现相等线段，干脆或间接地为构造全等三角形创建条件要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点间隔 相等的点，在这条线段的垂直平分线上要点诠释

3、：到线段两个端点间隔 相等的全部点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的间隔 相等的全部点的集合要点四、三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的间隔 相等，这点是三角形外接圆的圆心外心. 要点诠释:1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合. 3.外心到三顶点的间隔 相等.要点五、尺规作图作图题是初中数学中不行缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法与画图”，画图必需保存痕迹，在现行的教材里，一般

4、不要求写出作法，但是必需保存痕迹.证明过程一般不用写出来.最终要点题即“xxx即为所求”.【典型例题】类型一、线段的垂直平分线定理1、如图，ABC中ACBC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则BCD的周长是（ ） A9 B8 C7 D6【思路点拨】先依据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，即AD+CD=BD+CD=AC，再依据BCD的周长=BC+BD+CD即可进展解答【答案】A；【解析】因为BD=AD,所以BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9.【总结升华】此题正是应用了线段垂直平分线的性质定理，也就是已知直线是线段垂直平分线，那么垂直平分线上的

5、点到线段的两个端点间隔 相等，从而把三角形的边进展转移，进而求得三角形的周长举一反三：【变式1】如图，在ABC中，AB=AC，A=36，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）ABD平分ABC BBCD的周长等于AB+BCCAD=BD=BC D点D是线段AC的中点【答案】D；提示:依据等边对等角、三角形内角与定理及线段垂直平分线的性质定理即可推得选项A、B、C正确；所以选D,另外，留意解除法在解选择题中的应用【变式2】（2015秋江阴市校级月考）如图，ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G求AEG的周长

6、【答案】解：DE为AB的中垂线，AE=BE，FG是AC的中垂线，AG=GC，AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE与AG用BE与GC代替得：AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，所以AEG的周长为BC的长度即7类型二、线段的垂直平分线的逆定理2、如图，已知AB=AC,ABD=ACD，求证：AD是线段BC的垂直平分线【答案与解析】证明： AB=AC（已知）ABC=ACB (等边对等角) 又ABD=ACD (已知) ABD-ABC =ACD-ACB (等式性质) 即 DBC=DCB DB=DC （等角对等边） AB=AC（已知）DB=DC（已证） 点A与点D都在线段BC的垂直平分线上（与一

7、条线段两个端点间隔 相等的点，在这条线段的垂直平分线上） AD是线段BC的垂直平分线。【总结升华】本题须要留意的是对于线段垂直平分线性质定理的逆定理的应用，局部学生可能错误地认为“因为到线段两端间隔 相等的点在线段垂直平分线上，所以已知AB=AC就可以说明AD是线段BC的垂直平分线了”，但却忽视了“两点确定一条直线”，所以只有当AB=AC，DB=DC时，才能说明AD是线段BC的垂直平分线举一反三：【变式】如图，P是MON的平分线上的一点，PAOM,PBON,垂足分别为A、B求证：PO垂直平分AB【答案】证明：OP是角平分线，AOP=BOPPAOM,PBON,OAP=OBP=90在AOP 与BO

8、P中AOPBOP（AAS）OA=OBPO垂直平分AB（与一条线段两个端点间隔 相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.类型三、线段的垂直平分线定理与逆定理的综合应用3、已知：如图，AB=AC，DB=DC，E是AD上一点 求证：BE=CE 【答案与解析】证明：连结BCABAC，DBDC点A、D在线段BC的垂直平分线上（与一条线段两个端点间隔 相等的点，在这条线段的垂直平分线上） AD是线段BC的垂直平分线，点E在AD上， BE=CE（线段垂直平分线上的随意一点到这条线段两个端点的间隔 相等） 【总结升华】本题综合运用了线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，通过本例要学会敏捷运用这两个定理解决几何问题

9、，性质定理可以用来证明线段相等，本题中要留意必需有与已知线段两端间隔 相等的两个点才能确定垂直平分线这条直线4、如图所示，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，D为BC边上的中点，CEAD于点E，BFAC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF【思路点拨】先依据ASA断定ACDCBF得到BF=CD，然后又因为D为BC中点，依据中点定义得到CD=BD，等量代换得到BF=BD，再依据角度之间的数量关系求出ABC=ABF，即BA是FBD的平分线，从而利用等腰三角形三线合一的性质求证即可【答案与解析】证明：连接DF，BCE+ACE=90，ACE+CAE=90，BCE=CAEACBC，BFACB

10、FBCACD=CBF=90，AC=CB，ACDCBFCD=BFCD=BD=BC，BF=BDBFD为等腰直角三角形ACB=90，CA=CB，ABC=45FBD=90，ABF=45ABC=ABF，即BA是FBD的平分线BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，即AB垂直平分DF 【总结升华】主要考察了三角形全等的断定与角平分线的定义以及线段的垂直平分线的性质等几何学问要留意的是：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的间隔 相等举一反三：【变式】如图，在ABC中，AB=AC，A=120，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N. 求证：CM=2BM. 【答案】如图所示，连接AM，BAC=120，AB=AC，B=C=30，MN是AB的垂直平分线，BM=AM，BAM=B=30，MAC=90，CM=2AM，CM=2BM类型四、尺规作图5、（2015黄岛区校级模拟）某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，现要在道路AB的边缘上建一个休息点M，使它到A，C两个点的间隔 相等在图中确定休息点M的位置【答案与解析】解：作AC的垂直平分线交AB于M点，则点M为所求【总结升华】本题考察了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上随意一点，到线段两端点的间隔 相等