概率论与数理统计第一章教案.docx

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1、第一节 随机事务 一、随机现象在自然界和人类社会生活中普遍存在着两类现象：一类是在肯定条件下必定出现的现象，称为确定性现象。例如：(1) 一物体从高度为（米）处垂直下落，则经过（秒）后必定落到地面，且当高度肯定时，可由公式得到，（秒）。(2) 异性电荷互相吸引，同性电荷互相排挤。另一类则是在肯定条件下我们事先无法精确预知其结果的现象，称为随机现象。例如：(1) 在一样条件下抛掷同一枚硬币，我们无法事先预知将出现正面还是反面。(2) 将来某日某种股票的价格是多少。概率论就是以数量化方法来探讨随机现象及其规律性的一门数学学科。 二、 随机试验为了对随机现象的统计规律性进展探讨,就须要对随机现象进展

2、重复视察， 我们把对随机现象的视察称为随机试验，并简称为试验，记为。 例如，视察某射手对固定目的进展射击； 抛一枚硬币三次,视察出现正面的次数；记录某市120急救 一昼夜接到的呼叫次数等均为随机试验。随机试验具有下列特点：(1) 可重复性；试验可以在一样的条件下重复进展；(2) 可视察性；试验结果可视察,全部可能的结果是明确的；(3) 不确定性： 每次试验出现的结果事先不能精确预知。 三、样本空间尽管一个随机试验将要出现的结果是不确定的, 但其全部可能结果是明确的, 我们把随机试验的每一种可能的结果称为一个样本点, 记为（或）；它们的全体称为样本空间, 记为(或). 例如：(1) 在抛掷一枚硬

3、币视察其出现正面或反面的试验中有两个样本点：正面、反面. 样本空间为S=正面，反面或正面，反面)。(2) 在将一枚硬币抛掷三次，视察正面H、反面T出现状况的试验中，有8个样本点，样本空间：。(3) 在抛掷一枚骰子，视察其出现的点数的试验中，有6个样本点：1点，2点，3点，4点，5点，6点，样本空间可简记为1，2，3，4，5，6。(4) 视察某 交换台在一天内收到的呼叫次数，其样本点有无穷多个：次， =0,1,2,3，样本空间可简记为0，1，2，3， 。(5) 在一批灯泡中随意抽取一个，测试其寿命，其样本点也有无穷多个(且不行数)：小时，样本空间可简记为|=0,+ 。注：同一个随机试验，试验的样

4、本点与样本空间是要依据要视察的内容来确定的。四、随机事务在概率论中，把具有某一可视察特征的随机试验的结果称为事务，事务可分为以下三类：(1) 随机事务：在试验中可能发生也可能不发生的事情。(2) 必定事务：在每次试验中都必定发生的事务。(3) 不行能事务：在任何一次试验中都不行能发生的事务。明显，必定事务和不行能事务都是确定性事务，为探讨便利，今后将它们看作是两个特殊的随机事务，并将随机事务简称为事务。 五、事务的集合表示任何一个事务都可以用的某一子集来表示,常用字母等表示。称仅含一个样本点的事务为根本领件；含有两个或两个以上样本点的事务为复合事务。明显，样本空间作为事务是必定事务，空集作为一

5、个事务是不行能事务。 六、 事务的关系与运算事务之间的关系与运算可按集合之间的关系和运算来处理.为了便利，给出下列比照表：表1.1注：两个互为对立的事务肯定是互斥事务；反之，互斥事务不肯定是对立事务，而且，互斥的概念适用于多个事务，但是对立概念只适用于两个事务。 七、事务的运算规律由集合的运算律，易给出事务间的运算律：（1） 交换律；（2） 结合律；（3） 安排律；（4） 自反律；（5） 对偶律。例1甲，乙，丙三人各射一次靶，记“甲中靶” “乙中靶” “丙中靶” 则可用上述三个事务的运算来分别表示下列各事务： (1) “甲未中靶”： (2) “甲中靶而乙未中靶”： (3) “三人中只有丙未中靶

6、”： (4) “三人中恰好有一人中靶”： (5)“ 三人中至少有一人中靶”： (6)“三人中至少有一人未中靶”： 或(7)“三人中恰有两人中靶”： (8)“三人中至少两人中靶”： (9)“三人均未中靶”： (10)“三人中至多一人中靶”： (11)“三人中至多两人中靶”： 或注：用其它事务的运算来表示一个事务, 方法往往不惟一，如上例中的(6)和(11)事实上是同一事务，应学会用不同方法表达同一事务, 特殊在解决详细问题时,往往要依据须要选择一种恰当的表示方法。课堂练习1. 设当事务与同时发生时也发生, 则 ( ).(A) 是的子事务; (B)或(C) 是的子事务; (D) 是的子事务.2.

7、设事务甲种产品畅销, 乙种产品滞销, 则的对立事务为 ( ).(A) 甲种产品滞销,乙种产品畅销;(B) 甲种产品滞销;(C) 甲、乙两种产品均畅销;(D) 甲种产品滞销或者乙种产品畅销.课后作业P6, 1，2，4第二节 随机事务的概率一、频率及其性质定义1 若在一样条件下进展次试验, 其中事务发生的次数为, 则称为事务发生的频率。频率的根本性质:(1) (2) (3) 设是两两互不相容的事务, 则. 定义2在一样条件下重复进展n次试验，若事务发生的频率随着试验次数n的增大而稳定地在某个常数(旁边摇摆，则称为事务的概率，记为。 例1从某鱼池中取100条鱼， 做上记号后再放入该鱼池中。 现从该池

8、中随意捉来40条鱼， 发觉其中两条有记号， 问池内大约有多少条鱼？ 二、概率的公理化定义定义3 设是随机试验, 是它的样本空间,对于的每一个事务给予一个实数, 记为, 若满意下列三个条件:(1) 非负性：对每一个事务,有 ;(2) 完备性：;(3) 可列可加性：设是两两互不相容的事务，则有则称为事务的概率. 三、 概率的性质 性质1 性质2 (有限可加性) 若事务两两互不相容，则有性质3 对任一事务，有性质4 ；特殊地，若，则有（1），（2）性质5 对任一事务，性质6 对随意两个事务，有注：推广到对随意三个事务，则有例2 已知 , 求 (1) ; (2) ; (3) ; (4) .课堂练习1.

9、设 , 求事务的逆事务的概率.2.设 求.3.设都出现的概率与都不出现的概率相等, 且, 求.课后作业P10 3、4第三节 古典概型一、古典概型1、我们称具有下列两个特征的随机试验模型为古典概型。(1) 随机试验只有有限个可能的结果;(2) 每一个结果发生的可能性大小一样.古典概型又称为等可能概型.在概率论的产生和开展过程中，它是最早的探讨对象，且在实际中也最常用的一种概率模型。2、古典概率二、 计算古典概率的方法1.根本计数原理：(1) 加法原理：设完成一件事有种方式,其中第一种方式有种方法，第二种方式有种方法，,第种方式有种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事,则完成这件事的方法总数为.

10、(2) 乘法原理：设完成一件事有个步骤,其中第一个步骤有种方法，第二个步骤有种方法，第个步骤有种方法；完成该件事必需通过每一步骤才算完成，则完成这件事的方法总数为 .2. 排列组合方法(1)1排列公式：(2) 组合公式。例1 一个袋子中装有10个大小一样的球, 其中3个黑球, 7个白球, 求(1) 从袋子中任取一球, 这个球是黑球的概率;(2) 从袋子中任取两球, 刚好一个白球一个黑球的概率以及两个球全是黑球的概率.例2 将3个球随机放入4个杯子中, 问杯子中球的个数最多为1, 2, 3的概率各是多少例3 在12000的整数中随机地取一个数, 问取到的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率

11、是多少 课堂练习P14 1、2、3、4、课后作业P14 6、9、10第四节 条件概率一、 条件概率的引入引例 一批同型号的产品由甲、乙两厂消费，产品构造如下表：厂别数量等级甲厂乙厂合计合格品4756441119次品255681合计5007001200(1) 从这批产品中随意地取一件，则这件产品为次品的概率为多少？(2) 当被告知取出的产品是甲厂消费的时，那么这件产品为次品的概率又是多大？在事务发生的条件下，求事务发生概率，这就是条件概率，记作。二、条件概率的定义1、定义1 设是两个事务, 且, 则称 (1)为在事务发生的条件下，事务的条件概率。相应地，把称为无条件概率。一般地，。2、条件概率的

12、性质 (1) ;(2) ;(3) 设互不相容，则例1 一袋中装有10个球, 其中3个黑球, 7个白球, 先后两次从袋中各取一球(不放回)(1) 已知第一次取出的是黑球, 求第二次取出的仍是黑球的概率;(2) 已知第二次取出的是黑球, 求第一次取出的也是黑球的概率.注: (1) 用维恩图表达(1)式.若事务已发生,则为使也发生,试验结果必需是既在中又在中的样本点,即此点必属于.因已知已发生,故成为计算条件概率新的样本空间.(2) 计算条件概率有两种方法:a) 在缩减的样本空间中求事务的概率，就得到；b) 在样本空间中，先求事务和，再按定义计算。例2 袋中有5个球, 其中3个红球2个白球. 现从袋

13、中不放回地连取两个. 已知第一次获得红球时, 求第二次获得白球的概率。三、乘法公式由条件概率的定义马上得到: (2)留意到, 及的对称性可得到: (3)(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用它们可计算两个事务同时发生的概率.例3 一袋中装10个球, 其中3个黑球、7个白球, 先后两次从中随意各取一球(不放回), 求两次取到的均为黑球的概率。例4 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2, 若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10, 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未打破的概率. 四、全概率公式 全概率公式是概率论中的一个根

14、本公式。它使一个困难事务的概率计算问题，可化为在不同状况或不同缘由或不同途径下发生的简洁事务的概率的求和问题。定理1 设是一个完备事务组,且则对任一事务,有五、贝叶斯公式利用全概率公式,可通过综合分析一事务发生的不同缘由、状况或途径及其可能性来求得该事务发生的概率.下面给出的贝叶斯公式则考虑与之完全相反的问题，即一事务已经发生，要考察该事务发生的各种缘由、状况或途径的可能性。 定理2 设是一完备事务组,则对任一事务,有 注: 公式中,和分别称为缘由的先验概率和后验概率。 特殊地，若取，并记, 则,于是公式成为 例5 人们为理解一支股票将来肯定时期内价格的改变, 往往会去分析影响股票价格的根本因

15、素, 比方利率的改变. 现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%, 利率不变的概率为40%. 依据阅历, 人们估计, 在利率下调的状况下, 该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的状况下, 其价格上涨的概率为40%, 求该支股票将上涨的概率.例6 有三个瓶子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑共4个球，3号装有2红2黑共4个球，（1）若某人从中随机取一瓶，再从该瓶中随意取出一个球，求获得红球的概率？（2）若已知某人取出的球是红球，问取自第一个瓶子的概率？课堂练习1、设某种动物由诞生算起活到20年以上的概率为0.8, 活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物, 它能

16、活到25岁以上的概率是多少2、对以往数据分析结果说明, 当机器调整得良好时, 产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时, 其合格率为55%. 每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为95%. 试求已知某日早上第一件产品是合格时, 机器调整得良好的概率是多少课后作业P21 7,8第五节 事务的独立性 一、 两个事务的独立性定义1 若两事务,满意 (1)则称,独立, 或称,互相独立。注: (1) 两事务互不相容与互相独立是完全不同的两个概念，它们分别从两个不同的角度表述了两事务间的某种联络。互不相容是表述在一次随机试验中两事务不能同时发生， 而互相独立是表述在一次随机试验中一事务是否发生与

17、另一事务是否发生互无影响。(2) 当,时, ,互相独立与,互不相容不能同时成立。(3) 若,既独立又互斥，则至少有一个是零概率事务。定理1 设,是两事务, 且,若,互相独立, 则. 反之亦然.定理2 设事务,互相独立,则下列各对事务也互相独立: 与,与,与.例1从一副不含大小王的扑克牌中任取一张, 记抽到, 抽到的牌是黑色的, 问事务、是否独立注：从例1可见，推断事务的独立性，可利用定义或通过计算条件概率来推断。 但在实际应用中, 常依据问题的实际意义去推断两事务是否独立。 二、有限个事务的独立性1、定义2 设为三个事务, 若满意等式则称事务互相独立。定义3 设是个事务, 若其中随意两个事务之

18、间均互相独立, 则称两两独立.2、互相独立性的性质性质1 若事务互相独立, 则其中随意个事务也互相独立;性质2 若个事务互相独立, 则将中随意个事务换成它们的对立事务, 所得的个事务仍互相独立; 注：设是个随机事务，则互相独立 两两独立.即互相独立性是比两两独立性更强的性质, 例2 已知甲、乙两袋中分别装有编号为1, 2, 3, 4的四个球. 今从甲、乙两袋中各取出一球, 设从甲袋中取出的是偶数号球, 从乙袋中取出的是奇数号球, 从两袋中取出的都是偶数号球或都是奇数号球, 试证两两独立但不互相独立.例3 如图是一个串并联电路系统.都是电路中的元件。 它们下方的数字是它们各自正常工作的概率， 求

19、电路系统的牢靠性。例4甲, 乙两人进展乒乓球竞赛, 每局甲胜的概率为p,p1/2. 问对甲而言,采纳三局二胜制有利, 还是采纳五局三胜制有利. 设各局输赢互相独立.三、伯努利概型设随机试验只有两种可能的结果: 事务发生(记为) 或 事务不发生(记为), 则称这样的试验为伯努利(Bermourlli)试验. 设将伯努利试验独立地重复进展次, 称这一串重复的独立试验为重伯努利试验, 或简称为伯努利概型.注: 重伯努利试验的特点是：事务在每次试验中发生的概率均为,且不受其他各次试验中是否发生的影响.定理3（伯努利定理） 设在一次试验中,事务发生的概率为则在重贝努里试验中,事务恰好发生次的概率为推论

20、设在一次试验中,事务发生的概率为 则在重贝努里试验中, 事务在第次试验中的才首次发生的概率为留意到“事务第次试验才首次发生”等价于在前次试验组成的重伯努利试验中“事务在前次试验中均不发生而第次试验中事务发生”,再由伯努利定理即推得. 例5 某型号高炮,每门炮放射一发炮弹击中飞机的概率为0.6,现若干门炮同时各射一发, (1)问：欲以99%的把握击中一架来犯的敌机至少需配置几门炮 (2)现有3门炮,欲以99%的把握击中一架来犯的敌机,问:每门炮的命中率应进步到多少课堂练习1. 某工人一天出废品的概率为0.2, 求在4天中:(1) 都不出废品的概率;(2) 至少有一天出废品的概率;(3) 仅有一天

21、出废品的概率;(4) 最多有一天出废品的概率;(5)第一天出废品, 其余各天不出废品的概率.课后作业P25 3,6,8第一章 习题课一、根本学问点1、 概率的定义2、 概率的性质3、 根本公式：古典概型、条件概率公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式、 独立性、伯努利定理二、典型例题例1、已知求，例2、（1）若互不相容，则（2）若互相独立，则例3、设某批产品中, 甲, 乙, 丙三厂消费的产品分别占45%, 35%, 20%, 各厂的产品的次品率分别为4%, 2%, 5%, 现从中任取一件,(1) 求取到的是次品的概率；(2) 经检验发觉取到的产品为次品, 求该产品是甲厂消费的概率。例4、发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“.”及“-”，由于通信系统受到干扰，当发出信号“.”时，收报台分别以概率0.8及0.2收到“.”及“-”；又当发出信号“-”时，收报台分别以概率0.9及0.1收到“-”及“.”，求当收报台收到“.”时，发报台确系发出信号“.”的概率，以及收到“-”时，确系发出“-”的概率。例5、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02， 加工出来的零件放在一起，并且已知第二台加工的零件比第一台加工的多一倍，(1)求随意取出的零件是合格品的概率; (2)假如随意取出的零件是废品, 求它是第二台车床加工的概率.