数学思维与方法 校本课程教案.docx

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1、数数学思维与方法书目第一讲 视察实力训练1第二讲 联想实力训练4第三讲 问题转化训练17第四讲 问题转化训练211第五讲 开拓性思维训练实例(1)14第六讲 开拓性思维训练实例(2)17第七讲 开拓性思维训练实例(3)21第八讲 数学思维过程(1)25第九讲 数学思维过程(2) 27第十讲 解题熟识化策略30第十一讲 解题简洁化策略34第十二讲 解题其他策略35第一讲 视察实力训练任何一道数学题，都包含肯定数学条件和关系。要想解决它，就必需根据题目详细特征，对题目进展深化、细致、透彻视察，然后细致思索，透过外表现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。虽然观视察起来是一种外表现象，但它

2、是相识事物内部规律根底。所以，必需重视视察实力训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目详细特征，采纳特殊方法来解题。例1 都是实数，求证 思路分析 从题目外表形式视察到，要证结论右端与平面上两点间间隔 公式很相像，而xyO图121左端可看作是点到原点间隔 公式。根据其特点，可采纳下面奇妙而简捷证法，这正是思维变通表达。证明 不妨设如图121所示，那么 在中，由三角形三边之间关系知： 当且仅当O在AB上时，等号成立。 因此， 例2 ，试求最大值。解 由 得又当时，有最大值，最大值为思路分析 要求最大值，由条件很快将变为一元二次函数然后求极值点值，联络到，这一条件，既快又准地求出最大值。上

3、述解法视察到了隐藏条件，表达了思维变通性。例3 二次函数满意关系，试比较与大小。xyO2图122思路分析 由条件可知，在与左右等间隔 点函数值相等，说明该函数图像关于直线对称，又由条件知它开口向上，所以，可根据该函数大致图像简捷地解出此题。解 如图122由，知是以直线为对称轴，开口向上抛物线它与间隔 越近点，函数值越小。第二讲 联想实力训练联想是问题转化桥梁。稍具难度问题和根底学问联络，都是不明显、间接、困难。因此，解题方法怎样、速度如何，取决于能否由视察到特征，敏捷运用有关学问，做出相应联想，将问题翻开缺口，不断深化。例如，解方程组.这个方程指明两个数和为，这两个数积为。由此联想到韦达定理，

4、、是一元二次方程 两个根，所以或.可见，联想可使问题变得简洁。例2 在中，假设为钝角，那么值(A) 等于1 (B)小于1 (C) 大于1 (D) 不能确定思路分析 此题是在中确定三角函数值。因此，联想到三角函数正切两角和公式可得下面解法。解 为钝角，.在中且故应选择B例3 假设思路分析 此题一般是通过因式分解来证。但是，假如留意视察条件特点，不难发觉它与一元二次方程判别式相像。于是，我们联想到借助一元二次方程学问来证题。证明 当时，等式 可看作是关于一元二次方程有等根条件，在进一步视察这个方程，它两个相等实根是1 ，根据韦达定理就有： 即 假设，由条件易得 即,明显也有.例4 均为正实数,满意

5、关系式,又为不小于自然数，求证:思路分析 由条件联想到勾股定理,可构成直角三角形三边，进一步联想到三角函数定义可得如下证法。证明 设所对角分别为、那么是直角，为锐角，于是 且当时，有于是有即 从而就有 第三讲 问题转化训练数学家G . 波利亚在怎样解题中说过：数学解题是命题连续变换。可见，解题过程是通过问题转化才能完成。转化是解数学题一种非常重要思维方法。那么怎样转化呢？概括地讲，就是把困难问题转化成简洁问题，把抽象问题转化成详细问题，把未知问题转化成问题。在解题时，视察详细特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。例如，,求证、三数中必有两个互为相反数。恰当转化使问题变得熟识、简洁。要证结论

6、，可以转化为：思维变通性对立面是思维保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决假设干问题以后，往往会用同样思维方法解决以后问题。它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是进步思维变通性极大障碍，必需加以抑制。综上所述，擅长视察、擅长联想、擅长进展问题转化，是数学思维变通性详细表达。要想进步思维变通性，必需作相应思维训练。 转化成简洁解决明显题目 例11 求证、中至少有一个等于1。思路分析 结论没有用数学式子表示，很难干脆证明。首先将结论用数学式子表示，转化成我们熟识形式。、中至少有一个为1，也就是说中至少有一个为零，这样，问题就简洁解决了。证明 于是 中至少有一个为

7、零，即、中至少有一个为1。思维障碍 许多学生只在条件上下功夫，左变右变，还是不知如何证明三者中至少有一个为1，其缘由是不能把要证结论“翻译成数学式子，把生疏问题变为熟识问题。因此，多练习这种“翻译，是进步转化实力一种有效手段。例12 直线方程为，其中；椭圆中心为，焦点在轴上，长半轴为2，短半轴为1，它一个顶点为，问在什么范围内取值时，椭圆上有四个不同点，它们中每一点到点间隔 等于该点到直线间隔 。思路分析 从题目要求及解析几何学问可知，四个不同点应在抛物线 1是，又从条件可得椭圆方程为 2因此，问题转化为当方程组1、2有四个不同实数解时，求取值范围。将2代入1得： 3确定范围，事实上就是求3有

8、两个不等正根充要条件，解不等式组： 在条件下，得此题在解题过程中，不断地把问题化归为标准问题：解方程组和不等式组问题。第四讲 问题转化训练(2) 逆向思维训练逆向思维不是按习惯思维方向进展思索，而是从其反方向进展思索一种思维方式。当问题正面考虑有阻碍时，应考虑问题反面，从反面入手，使问题得到解决。例13 函数，求证、中至少有一个不小于1.思路分析 反证法被誉为“数学家最精良武器之一，它也是中学数学常用解题方法。当要证结论中有“至少等字样，或以否认形式给出时，一般可考虑采纳反证法。证明 反证法假设原命题不成立，即、都小于1。那么 得 ，与冲突，所以假设不成立，即、中至少有一个不小于1。 一题多解

9、训练 由于每个学生在视察时抓住问题特点不同、运用学问不同，因此，同一问题可能得到几种不同解法，这就是“一题多解。通过一题多解训练，可使学生细致视察、多方联想、恰当转化，进步数学思维变通性。例14 复数模为2，求最大值。解法一代数法设解法二三角法设yxOi-2i图123Z那么 解法三几何法如图123 所示，可知当时，解法四运用模性质而当时，解法五运用模性质 又第五讲 开拓性思维训练实例1例1 求证：分析1 用比较法。此题只要证为了同时利用两个条件，只须要视察到两式相加等于2便不难解决。证法1 所以 分析2 运用分析法，从所需证明不等式动身，运用条件、定理和性质等，得出正确结论。从而证明原结论正确

10、。分析法其本质就是找寻命题成立充分条件。因此，证明过程必需步步可逆，并留意书写标准。证法2 要证 只需证 xMyd图421O即 因为 所以只需证 即 因为最终不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。分析3 运用综合法综合运用不等式有关性质以及重要公式、定理主要是平均值不等式进展推理、运算，从而到达证明需求证不等式成立方法证法3 即 分析4 三角换元法：由于条件为两数平方和等于1形式，符合三角函数同角关系中平方关系条件，具有进展三角代换可能，从而可以把原不等式中代数运算关系转化为三角函数运算关系，给证明带来便利。证法4 可设 分析5 数形结合法：由于条件可看作是以原点为圆心，半径为1单位圆，而

11、联络到点到直线间隔 公式，可得下面证法。证法5 如图4-2-1因为直线经过圆圆心O，所以圆上随意一点到直线间隔 都小于或等于圆半径1，即 简评 五种证法都是具有代表性根本方法，也都是应当驾驭重要方法。除了证法4、证法5方法有适应条件限制这种局限外，前三种证法都是好方法。可在详细应用过程中，根据题目变更须要适当进展选择。第六讲 开拓性思维训练实例2例2 假如求证：成等差数列。分析1 要证，必需有成立才行。此条件应从条件中得出。故此得到干脆想法是绽开条件去找寻转换。证法1 故 ，即 成等差数列。分析2 由于条件具有轮换对称特点，此特点充分利用就是以换元去削减原式中字母，从而给转换运算带来便利。证法

12、2 设那么于是，条件可化为：所以成等差数列。分析3 条件呈现二次方程判别式构造特点引人注目，供应了构造一个合适上述条件二次方程求解摸索时机。证法3 当时，由条件知即成等差数列。当时，关于一元二次方程：其判别式故方程有等根，明显1为方程一个根，从而方程两根均为1，由韦达定理知 即 成等差数列。简评：证法1是常用方法，略嫌呆板，但稳妥牢靠。证法2简洁明了，是最好解法，其换元技巧有较大参考价值。证法3引入协助方程方法，技巧性强，给人以簇新感受和启发。例3 ，求最小值。分析1 虽然所求函数构造式具有两个字母，但条件恰有关系式，可用代入法消掉一个字母，从而转换为一般二次函数求最值问题。解法1 设，那么二

13、次项系数为故有最小值。当时， 最小值为分析2 一次式两边平方后与所求二次式有亲密关联，于是所求最小值可由等式转换成不等式而求得。解法2 即即 当且仅当时取等号。 最小值为分析3 配方法是解决求最值问题一种常用手段，利用条件结合所求式子，配方后得两个实数平方和形式，从而到达求最值目。解法3 设 当时，即最小值为分析4 因为条件和所求函数式都具有解析几何常见方程特点，故可得到用解析法求解启发。11Oxy图422解法4 如图422，表示直线表示原点到直线上点间隔 平方。明显其中以原点到直线间隔 最短。此时，即所以最小值为注 假如设那么问题还可转化为直线与圆有交点时，半径最小值。简评 几种解法都有特点

14、和代表性。解法1是根本方法，解法2、3、4都紧紧地抓住题设条件特点，与相关学问联络起来，所以具有灵活简捷优点，特殊是解法4，形象直观，值得效仿。第七讲 开拓性思维训练实例3例3 由圆外一点引圆割线交圆于两点，求弦中点轨迹方程。分析1 干脆法根据题设条件列出几何等式，运用解析几何根本公式转化为代数等式，从而求出曲线方程。这里考虑在圆中有关弦中点一些性质，圆心和弦中点连线垂直于弦，可得下面解法。图423PMBAOyx解法1 如图423，设弦中点坐标为，连接，那么，在中，由两点间间隔 公式和勾股定理有整理，得 其中分析2 定义法根据题设条件，推断并确定轨迹曲线类型，运用待定系数法求出曲线方程。解法2

15、 因为是中点，所以，所以点轨迹是以为直径圆，圆心为,半径为该圆方程为：化简，得 其中分析3 交轨法将问题转化为求两直线交点轨迹问题。因为动点可看作直线与割线交点，而由于它们垂直关系，从而获得解法。解法3 设过点割线斜率为那么过点割线方程为：.且过原点，方程为 这两条直线交点就是点轨迹。两方程相乘消去化简，得：其中分析4 参数法将动点坐标表示成某一中间变量参数函数，再设法消去参数。由于动点随直线斜率变更而发生变更，所以动点坐标是直线斜率函数，从而可得如下解法。解法4 设过点割线方程为：它与圆两个交点为，中点为.解方程组 利用韦达定理和中点坐标公式，可求得点轨迹方程为：其中分析5 代点法根据曲线和

16、方程对应关系：点在曲线上那么点坐标满意方程。设而不求，代点运算。从整体角度对待问题。这里由于中点坐标与两交点通过中点公式联络起来，又点构成4点共线和谐关系，根据它们斜率相等，可求得轨迹方程。解法5 设那么两式相减，整理，得 所以 即为斜率，而对斜率又可表示为化简并整理，得 其中简评 上述五种解法都是求轨迹问题根本方法。其中解法1、2、3局限于曲线是圆条件，而解法4、5适用于一般过定点且与二次曲线交于两点，求中点轨迹问题。具有普遍意义，值得重视。对于解法5通常利用可较简捷地求出轨迹方程，比解法4计算量要小，要简捷得多。第八讲 数学思维过程1第一阶段是审题。包括认清习题条件和要求，深化分析条件中各

17、个元素，在困难记忆系统中找出须要学问信息，建立习题条件、结论与学问和经验之间联络，为解题作好学问上打算。 第二阶段是寻求解题途径。有目地进展各种组合试验，尽可能将习题化为类型，选择最优解法，选择解题方案，经检验后作修正，最终确定解题方案。 第三阶段是施行方案。将方案全部细微环节实际地付诸实现，通过与条件所选择根据作比照后修正方案，然后着手表达解答过程方法，并且书写解答与结果。第四阶段是检查与总结。求得最终结果以后，检查并分析结果。讨论实现解题各种方法，讨论特殊状况与部分状况，找出最重要学问。将新学问和经验加以整理使之系统化。所以：第一阶段理解问题是解题思维活动开始。第二阶段转换问题是解题思维活

18、动核心，是探究解题方向和途径主动尝试发觉过程，是思维策略选择和调整过程。第三阶段方案施行是解决问题过程实现，它包含着一系列根底学问和根本技能敏捷运用和思维过程详细表达，是解题思维活动重要组成部分。第四阶段反思问题往往简洁为人们所无视，它是开展数学思维一个重要方面，是一个思维活动过程完毕包含另一个新思维活动过程开始。第九讲 数学思维过程2（1） 讨论问题条件时，在须要与可能状况下，可画出相应图形或思路图扶植思索。因为这意味着你对题整个情境有了清晰详细理解。（2） 清晰地理解情境中各个元素；肯定要弄清晰其中哪些元素是给定了，即，哪些是所求，即未知。（3） 深化地分析并思索习题表达中每一个符号、术语

19、含义，从中找出习题重要元素，要图中标出用直观符号元素和未知元素，并试着变更一下题目中或图中各元素位置，看看能否有重要发觉。（4） 尽可能从整体上理解题目条件，找出它特点，联想以前是否遇到过类似题目。（5） 细致考虑题意是否有其他不同理解。题目条件有无多余、互相冲突内容？是否还缺少条件？（6） 细致讨论题目提出目的。通过目的找出哪些理论法那么同题目或其他元素有联络。（7） 假如在解题中发觉有你熟识一般数学方法，就尽可能用这种方法语言表示题元素，以利于解题思路绽开。以上途径特殊有利于开始解题者能快速“登堂入室，找到解题起步点。在制定方案寻求解法阶段，最好利用下面这套探究方法：（1） 设法将题目与你

20、会解某一类题联络起来。或者尽可能找出你熟识、最符合条件解题方法。（2） 记住：题目的是寻求解答主要方向。在细致分析目的时即可尝试能否用你熟识方法去解题。（3） 解了几步后可将所得部分结果与问题条件、结论作比较。用这种方法检查解题途径是否合理，以便刚好进展修正或调整。（4） 尝试能否部分地变更题目，换种方法表达条件，成心简化题条件也就是编拟条件简化了同类题再求其解。再试试能否扩大题目条件编一个更一般题目，并将与题有关概念用它定义加以替代。（5） 分解条件，尽可能将分成部分重新组合，扩大骒条件理解。（6） 尝试将题分解成一串协助问题，依次解答这些协助问题即可构成所给题目解。（7） 讨论题某些部分极

21、限状况，考察这样会对根本目的产生什么影响。（8） 变更题一部分，看对其他部分有何影响；根据上面“影响变更题某些部分所出现结果，尝试能否对题目的作出一个“展望。万一用完方法还是解不出来，你就从课本中或科普数学小册子中找一个同类题，讨论分析其现成答案，从中找出解题有益启示。第十讲 解题熟识化策略所谓熟识化策略，就是当我们面临是一道以前没有接触过生疏题目时，要设法把它化为曾经解过或比较熟识题目，以便充分利用已有学问、经验或解题形式，顺当地解出原题。一般说来，对于题目熟识程度，取决于对题目自身构造相识和理解。从构造上来分析，任何一道解答题，都包含条件和结论或问题两个方面。因此，要把生疏题转化为熟识题，

22、可以在变换题目条件、结论或问题以及它们联络方式上多下功夫。常用处径有：一、充分联想回忆根本学问和题型：根据波利亚观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题一样或相像学问点和题型，充分利用相像问题中方式、方法和结论，从而解决现有问题。二、全方位、多角度分析题意：对于同一道数学题，经常可以不同侧面、不同角度去相识。因此，根据自己学问和经验，适时调整分析问题视角，有助于更好地把握题意，找到自己熟识解题方向。三恰当构造协助元素：数学中，同一素材题目，经常可以有不同表现形式；条件与结论或问题之间，也存在着多种联络方式。因此，恰当构造协助元素，有助于变更题目形式，沟通条件与结论或条件与问题内在联

23、络，把生疏题转化为熟识题。数学解题中，构造协助元素是多种多样，常见有构造图形点、线、面、体，构造算法，构造多项式，构造方程组，构造坐标系，构造数列，构造行列式，构造等价性命题，构造反例，构造数学模型等等。第十一讲 解题简洁化策略二、简洁化策略所谓简洁化策略，就是当我们面临是一道构造困难、难以入手题目时，要设法把转化为一道或几道比较简洁、易于解答新题，以便通过对新题考察，启迪解题思路，以简驭繁，解出原题。简洁化是熟识化补充和发挥。一般说来，我们对于简洁问题往往比较熟识或简洁熟识。因此，在实际解题时，这两种策略经常是结合在一起进展，只是着眼点有所不同而已。解题中，施行简洁化策略途径是多方面，常用有

24、: 寻求中间环节，分类考察讨论，简化条件，恰当分解结论等。1、寻求中间环节，挖掘隐含条件：在些构造困难综合题，就其生成背景而论，大多是由假设干比较简洁基此题，经过适当组合抽去中间环节而构成。因此，从题目因果关系入手，寻求可能中间环节和隐含条件，把原题分解成一组互相联络系列题，是实现困难问题简洁化一条重要途径。2、分类考察讨论：在些数学题，解题困难性，主要在于它条件、结论或问题包含多种不易识别可能情形。对于这类问题，选择恰当分类标准，把原题分解成一组并列简洁题，有助于实现困难问题简洁化。3、简洁化条件：有些数学题，条件比较抽象、困难，不太简洁入手。这时，不妨简化题中某些条件，甚至短暂撇开不顾，先

25、考虑一个简化问题。这样简洁化了问题，对于解答原题，经常能起到穿针引线作用。4、恰当分解结论：有些问题，解题主要困难，来自结论抽象概括，难以干脆和条件联络起来，这时，不妨揣测一下，能否把结论分解为几个比较简洁部分，以便各个击破，解出原题。第十二讲 解题其他策略直观化策略：所谓直观化策略，就是当我们面临是一道内容抽象，不易捉摸题目时，要设法把它转化为形象显明、直观详细问题，以便凭借事物形象把握题中所及各对象之间联络，找到原题解题思路。一、图表直观： 有些数学题，内容抽象，关系困难，给理解题意增加了困难，经常会由于题目抽象性和困难性，使正常思维难以进展究竟。对于这类题目，借助图表直观，利用示意图或表

26、格分析题意，有助于抽象内容形象化，困难关系条理化，使思维有相对详细依托，便于深化思索，发觉解题线索。二、图形直观：有些涉及数量关系题目，用代数方法求解，道路坎坷曲折，计算量偏大。这时，不妨借助图形直观，给题中有关数量以恰当几何分析，拓宽解题思路，找出简捷、合理解题途径。三、图象直观：不少涉及数量关系题目，与函数图象亲密相关，敏捷运用图象直观性，经常能以简驭繁，获得简便，奇妙解法。特殊化策略所谓特殊化策略，就是当我们面临是一道难以入手一般性题目时，要留意从一般退到特殊，先考察包含在一般情形里某些比较简洁特殊问题，以便从特殊问题讨论中，拓宽解题思路，发觉解答原题方向或途径。一般化策略所谓一般化策略，就是当我们面临是一个计算比较困难或内在联络不甚明显特殊问题时，要设法把特殊问题一般化，找出一个可以提示事物本质属性一般情形方法、技巧或结果，顺当解出原题。整体化策略所谓整体化策略，就是当我们面临是一道按常规思路进展部分处理难以奏效或计算冗繁题目时，要适时调整视角，把问题作为一个有机整体，从整体入手，对整体构造进展全面、深入分析和改造，以便从整体特性讨论中，找到解决问题途径和方法。间接化策略所谓间接化策略，就是当我们面临是一道从正面入手困难繁难，或在特定场合甚至找不到解题根据题目时，要随时变更思维方向，从结论或问题反面进展思索，以便化难为易解出原题。