高中不等式所有知识及典型例题.docx

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1、一 不等式的性质：二不等式大小比较的常用方法：1作差：作差后通过分解因式、配方等手段推断差的符号得出结果；2作商常用于分数指数幂的代数式；3分析法；4平方法；5分子或分母有理化；6利用函数的单调性；7找寻中间量或放缩法 ；8图象法。其中比较法作差、作商是最根本的方法。三重要不等式1.1假设，那么 (2)假设，那么当且仅当时取“=2. (1)假设，那么 (2)假设，那么当且仅当时取“=(3)假设，那么 (当且仅当时取“=，那么 (当且仅当时取“=;假设，那么 (当且仅当时取“=假设，那么 (当且仅当时取“=假设，那么 (当且仅当时取“=假设，那么 (当且仅当时取“=，那么当且仅当时取“=注：1当

2、两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大2求最值的条件“一正，二定，三取等(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用3+b3+c33abca,b,c R+, 当且仅当a=b=c时取等号；6. (a1+a2+an)(ai R+,i=1,2,，n)，当且仅当a1=a2=an取等号；变式：a2+b2+c2ab+bc+ca; ab( )2 (a,b R+) ; abc( )3(a,b,c R+)a b.(0ab)7.浓度不等式： bn0,m0;应用一：求最值例1：求以下

3、函数的值域1y3x 2 2yx解题技巧：技巧一：凑项 例1：，求函数的最大值。评注：此题须要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1. 当时，求的最大值。技巧三： 别离 例3. 求的值域。技巧四：换元解析二：此题看似无法运用根本不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在别离求最值。当,即t=时,当t=2即x1时取“号。技巧五：留意：在应用最值定理求最值时，假设遇等号取不到的状况，应结合函数的单调性。例：求函数的值域。解：令，那么因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。所以，所求函数的值域为。2，求函数的最大值.；

4、3，求函数的最大值.条件求最值，那么的最小值是 .分析：“和到“积是一个缩小的过程，而且定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解： 都是正数，当时等号成立，由及得即当时，的最小值是6变式：假设，求x,y的值技巧六：整体代换：屡次连用最值定理求最值时，要留意取等号的条件的一样性，否那么就会出错。2：，且，求的最小值。技巧七、x，y为正实数，且x 21，求x的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采纳公式ab。同时还应化简中y2前面的系数为 ， xx x下面将x，分别看成两个因式：x 即xx 技巧八：a，b为正实数，2baba30，求函数y的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有

5、两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或根本不等式求解，对此题来说，这种途径是可行的；二是干脆用根本不等式，对此题来说，因条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用根本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进展。法一：a， abb 由a0得，0b15令tb+1，1t16，ab2t34t28 ab18 y 当且仅当t4，即b3，a6时，等号成立。法二：由得：30aba2b a2b2 30ab2令u那么u22u300， 5u3 3，ab18，y点评：此题考察不等式的应用、不等式的解法及运算实力；如何由不等式动身求得的范围，关键是找寻到之间的关系，由此想到不等式，这样

6、将条件转换为含的不等式，进而解得的范围.a0，b0，ab(ab)1，求ab的最小值。2.假设直角三角形周长为1，求它的面积最大值。技巧九、取平方5、x，y为正实数，3x2y10，求函数W的最值.解法一：假设利用算术平均及平方平均之间的不等关系，此题很简洁 2 解法二：条件及结论均为和的形式，设法干脆用根本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值条件靠拢。W0，W23x2y210210()2()2 10(3x2y)20 W2 应用二：利用根本不等式证明不等式1为两两不相等的实数，求证：1正数a，b，c满意abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc例6：a、b、c，且。求证：分析

7、：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别运用根本不等式可得三个“2连乘，又，可由此变形入手。解：a、b、c，。同理，。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得。当且仅当时取等号。应用三：根本不等式及恒成立问题例：且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。解：令， 。 ， 应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：假设，那么的大小关系是 .分析： RQ四不等式的解法.1.3.简洁的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：1分解成假设干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；2将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并留意奇穿过偶弹回；3依据曲线显现的符号改变

8、规律，写出不等式的解集。如1解不等式。答：或；2不等式的解集是_答：或；3设函数、的定义域都是R，且的解集为，的解集为，那么不等式的解集为_答：；4要使满意关于的不等式解集非空的每一个的值至少满意不等式中的一个，那么实数的取值范围是_.答：4分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最终用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如1解不等式答：；2关于的不等式的解集为，那么关于的不等式的解集为_答：.5.指数和对数不等式。6肯定值不等式的解法：1含肯定值的不等式|x|a及|x

9、|a的解集2|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法|ax+b|c-cax+bc;| ax+b|c ax+bc或ax+b-c.3|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法方法一：利用肯定值不等式的几何意义求解，表达了数形结合的思想；方法二：利用“零点分段法求解，表达了分类探讨的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，表达了函数及方程的思想。方法四：两边平方。例1：解以下不等式： 【解析】：1解法一公式法原不等式等价于x2-2xx或x2-2x3或x0或0x1原不等式的解集为xx0或0x3 解法2数形结合法作出示意图，易视察原不等式

10、的解集为xx0或0x3第1题图 第2题图【解析】：此题假设干脆求解分式不等式组，略显困难，且简洁解答错误；假设能结合反比例函数图象，那么解集为,结果一目了然。例2：解不等式：【解析】作出函数f(x)=|x|和函数g(x)=的图象，易知解集为例3：。【解法1】令 令，分别作出函数g(x)和h(x)的图象，知原不等式的解集为【解法2】原不等式等价于令分别作出函数g(x)和h(x)的图象，易求出gx和hx的图象的交点坐标为所以不等式的解集为【解法3】 由的几何意义可设1，x，y，假设，可知的轨迹是以1、2为焦点的双曲线的右支，其中右顶点为，由双曲线的图象和x+1x-1知x.7含参不等式的解法：求解的

11、通法是“定义域为前提，函数增减性为根底，分类探讨是关键留意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是。留意：按参数探讨，最终应按参数取值分别说明其解集；但假设按未知数探讨，最终应求并集. 如1假设，那么的取值范围是_答：或；2解不等式答：时，；时，或；时，或提示：1解不等式是求不等式的解集，最终务必有集合的形式表示；2不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于的不等式 的解集为，那么不等式的解集为_答：1,2五肯定值三角不等式定理1：假如a,b是实数，那么|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时，等号成立。注：1肯定值三角不等式的向量形式及几何意义：当，不共线时

12、，|+|+|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。2不等式|a|-|b|ab|a|+|b|中“=成立的条件分别是：不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|，在侧“=成立的条件是ab0，左侧“=成立的条件是ab0且|a|b|;不等式|a|-|b|a-b|a|+|b|，右侧“=成立的条件是ab0，左侧“=成立的条件是ab0且|a|b|。定理2：假如a,b,c是实数，那么|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)时，等号成立。例1.，求证 .例2.(1)求函数的最大和最小值； (2)设，函数. 假设，求的最大值例3.两个施工队分别被支配在马路沿线的两个地点施工，这两个地点分

13、别位于马路路牌的第10km和第20km处.现要在马路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间来回一次.要使两个施工队每天来回的路程之和最小，生活区应当建于何处？六 柯西不等式等号当且仅当或时成立k为常数，类型一：利用柯西不等式求最值1求函数的最大值一：且， 函数的定义域为，且，即时函数取最大值，最大值为二：且， 函数的定义域为由，得即，解得时函数取最大值，最大值为.当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解类型二：利用柯西不等式证明不等式2设、为正数且各不相等，求证：又、各不相等，故等号不能成立。类型三：柯西不等式在几何上的应用6ABC的三边长为a、b、c，其外

14、接圆半径为R，求证： 证明：由三角形中的正弦定理得，所以，同理，于是左边=。七证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差商后通过分解因式、配方、通分等手段变形推断符号或及1的大小，然后作出结论。).常用的放缩技巧有：如1，求证： ；(2) ，求证：；3，且，求证：；(4)假设a、b、c是不全相等的正数，求证：；5，求证：；(6)假设，求证：；(7)，求证：；8求证：。八不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？常应用函数方程思想和“别离变量法转化为最值问题，也可抓居处给不等式的构造特征，利用数形结合法1).恒成立问题假设不等式在区间上恒成

15、立,那么等价于在区间上假设不等式在区间上恒成立,那么等价于在区间上如1设实数满意，当时，的取值范围是_答：；2不等式对一实在数恒成立，务实数的取值范围_答：；3假设不等式对满意的全部都成立，那么的取值范围_答：,；4假设不等式对于随意正整数恒成立，那么实数的取值范围是_答：；5假设不等式对的全部实数都成立，求的取值范围.假设不等式恒成立，那么实数a的取值范围是 此题干脆求解无从着手，结合函数易知，a只需满意条件：0a1，且从而解得2). 能成立问题假设在区间上存在实数使不等式成立,那么等价于在区间上；假设在区间上存在实数使不等式成立,那么等价于在区间上的.如不等式在实数集上的解集不是空集，务实数的取值范围_答：3). 恰成立问题假设不等式在区间上恰成立, 那么等价于不等式的解集为；假设不等式在区间上恰成立, 那么等价于不等式的解集为.例：假设不等变恰有一解，务实数a的值 引导分析：此题假设解不等式组，就特殊费事了。结合二次函数的图形就会简洁得多。图解： 由图象易知：a=2或者a=-2九线性规划