高中不等式所有知识及典型例题(超全).docx

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1、一 不等式的性质：二不等式大小比较的常用方法：1作差：作差后通过分解因式、配方等手段推断差的符号得出结果；2作商常用于分数指数幂的代数式；3分析法；4平方法；5分子或分母有理化；6利用函数的单调性；7找寻中间量或放缩法 ；8图象法。其中比较法作差、作商是最根本的方法。三重要不等式1.1假设，那么 (2)假设，那么当且仅当时取“=2. (1)假设，那么 (2)假设，那么当且仅当时取“=(3)假设，那么 (当且仅当时取“=，那么 (当且仅当时取“=;假设，那么 (当且仅当时取“=假设，那么 (当且仅当时取“=假设，那么 (当且仅当时取“=假设，那么 (当且仅当时取“=，那么当且仅当时取“=注：1当

2、两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大2求最值的条件“一正，二定，三取等(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用53333 , 当且仅当时取等号；6. (a12+)( 1,2,，n)，当且仅当a12=取等号；变式：a222; ( )2 ( ) ; ( )3( )a b.(0ab)7.浓度不等式： bn00;应用一：求最值例1：求以下函数的值域1y3x 2 2yx解题技巧：技巧一：凑项 例1：，求函数的最大值。评注：此题须要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其

3、积为定值。技巧二：凑系数例1. 当时，求的最大值。技巧三： 别离 例3. 求的值域。技巧四：换元解析二：此题看似无法运用根本不等式，可先换元，令1，化简原式在别离求最值。当,即时,当2即x1时取“号。技巧五：留意：在应用最值定理求最值时，假设遇等号取不到的状况，应结合函数的单调性。例：求函数的值域。解：令，那么因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。所以，所求函数的值域为。2，求函数的最大值.；3，求函数的最大值.条件求最值，那么的最小值是 .分析：“和到“积是一个缩小的过程，而且定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解： 都是正数，

4、当时等号成立，由及得即当时，的最小值是6变式：假设，求技巧六：整体代换：屡次连用最值定理求最值时，要留意取等号的条件的一样性，否那么就会出错。2：，且，求的最小值。技巧七、x，y为正实数，且x 21，求x的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采纳公式。同时还应化简中y2前面的系数为 ， xx x下面将x，分别看成两个因式：x 即xx 技巧八：a，b为正实数，2ba30，求函数y的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或根本不等式求解，对此题来说，这种途径是可行的；二是干脆用根本不等式，对此题来说，因条件中既有和的形式，又

5、有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用根本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进展。法一：a， b 由a0得，0b15令t1，1t16，2t34t28 18 y 当且仅当t4，即b3，a6时，等号成立。法二：由得：30a2b a2b2 302令u那么u22u300， 5u3 3，18，y点评：此题考察不等式的应用、不等式的解法及运算实力；如何由不等式动身求得的范围，关键是找寻到之间的关系，由此想到不等式，这样将条件转换为含的不等式，进而解得的范围.a0，b0，(ab)1，求ab的最小值。2.假设直角三角形周长为1，求它的面积最大值。技巧九、取平方5、x，y为正实数，3x2y10，求函数W的最值

6、.解法一：假设利用算术平均及平方平均之间的不等关系，此题很简洁 2 解法二：条件及结论均为和的形式，设法干脆用根本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值条件靠拢。W0，W23x2y210210()2()2 10(3x2y)20 W2 应用二：利用根本不等式证明不等式1为两两不相等的实数，求证：1正数a，b，c满意abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8例6：a、b、c，且。求证：分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别运用根本不等式可得三个“2连乘，又，可由此变形入手。解：a、b、c，。同理，。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得。当且仅当时取等号。应用三：根本不等式

7、及恒成立问题例：且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。解：令， 。 ， 应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：假设，那么的大小关系是 .分析： RQ四不等式的解法.1.3.简洁的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：1分解成假设干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；2将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并留意奇穿过偶弹回；3依据曲线显现的符号改变规律，写出不等式的解集。如1解不等式。答：或；2不等式的解集是答：或；3设函数、的定义域都是R，且的解集为，的解集为，那么不等式的解集为答：；4要使满意关于的不等式解集非空的每一个的值至少满意不等式

8、中的一个，那么实数的取值范围是.答：4分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最终用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如1解不等式答：；2关于的不等式的解集为，那么关于的不等式的解集为答：.5.指数和对数不等式。6肯定值不等式的解法：1含肯定值的不等式a及a的解集2c(c0)和c(c0)型不等式的解法c;| c c或.3c(c0)和c(c0)型不等式的解法方法一：利用肯定值不等式的几何意义求解，表达了数形结合的思想；方法二：利用“零点分段法求解，表达了分类探讨的思想；

9、方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，表达了函数及方程的思想。方法四：两边平方。例1：解以下不等式： 【解析】：1解法一公式法原不等式等价于x2-2xx或x2-2x3或x0或0x1原不等式的解集为xx0或0x3 解法2数形结合法作出示意图，易视察原不等式的解集为xx0或0x3第1题图 第2题图【解析】：此题假设干脆求解分式不等式组，略显困难，且简洁解答错误；假设能结合反比例函数图象，那么解集为,结果一目了然。例2：解不等式：【解析】作出函数f(x)和函数g(x)=的图象，易知解集为例3：。【解法1】令 令，分别作出函数g(x)和h(x)的图象，知原不等式的解集为【解法2】原不等式等价于令分

10、别作出函数g(x)和h(x)的图象，易求出gx和hx的图象的交点坐标为所以不等式的解集为【解法3】 由的几何意义可设1，x，y，假设，可知的轨迹是以1、2为焦点的双曲线的右支，其中右顶点为，由双曲线的图象和11知x.7含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为根底，分类探讨是关键留意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是。留意：按参数探讨，最终应按参数取值分别说明其解集；但假设按未知数探讨，最终应求并集. 如1假设，那么的取值范围是答：或；2解不等式答：时，；时，或；时，或提示：1解不等式是求不等式的解集，最终务必有集合的形式表示；2不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根

11、或不等式有意义范围的端点值。如关于的不等式 的解集为，那么不等式的解集为答：1,2五肯定值三角不等式定理1：假如是实数，那么,当且仅当0时，等号成立。注：1肯定值三角不等式的向量形式及几何意义：当，不共线时，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。2不等式中“=成立的条件分别是：不等式，在侧“=成立的条件是0，左侧“=成立的条件是0且;不等式，右侧“=成立的条件是0，左侧“=成立的条件是0且。定理2：假如是实数，那么,当且仅当()()时，等号成立。例1.，求证 .例2.(1)求函数的最大和最小值； (2)设，函数. 假设，求的最大值例3.两个施工队分别被支配在马路沿线的两个地点施工，这两个

12、地点分别位于马路路牌的第10和第20处.现要在马路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间来回一次.要使两个施工队每天来回的路程之和最小，生活区应当建于何处？六 柯西不等式等号当且仅当或时成立k为常数，类型一：利用柯西不等式求最值1求函数的最大值一：且， 函数的定义域为，且，即时函数取最大值，最大值为二：且， 函数的定义域为由，得即，解得时函数取最大值，最大值为.当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解类型二：利用柯西不等式证明不等式2设、为正数且各不相等，求证：又、各不相等，故等号不能成立。类型三：柯西不等式在几何上的应用6的三边长为a、b、c，其外接圆半径

13、为R，求证： 证明：由三角形中的正弦定理得，所以，同理，于是左边=。七证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差商后通过分解因式、配方、通分等手段变形推断符号或及1的大小，然后作出结论。).常用的放缩技巧有：如1，求证： ；(2) ，求证：；3，且，求证：；(4)假设a、b、c是不全相等的正数，求证：；5，求证：；(6)假设，求证：；(7)，求证：；8求证：。八不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？常应用函数方程思想和“别离变量法转化为最值问题，也可抓居处给不等式的构造特征，利用数形结合法1).恒成立问题假设不等式在区间上恒成立,那么

14、等价于在区间上假设不等式在区间上恒成立,那么等价于在区间上如1设实数满意，当时，的取值范围是答：；2不等式对一实在数恒成立，务实数的取值范围答：；3假设不等式对满意的全部都成立，那么的取值范围答：,；4假设不等式对于随意正整数恒成立，那么实数的取值范围是答：；5假设不等式对的全部实数都成立，求的取值范围.假设不等式恒成立，那么实数a的取值范围是 此题干脆求解无从着手，结合函数易知，a只需满意条件：0a1，且从而解得2). 能成立问题假设在区间上存在实数使不等式成立,那么等价于在区间上；假设在区间上存在实数使不等式成立,那么等价于在区间上的.如不等式在实数集上的解集不是空集，务实数的取值范围答：3). 恰成立问题假设不等式在区间上恰成立, 那么等价于不等式的解集为；假设不等式在区间上恰成立, 那么等价于不等式的解集为.例：假设不等变恰有一解，务实数a的值 引导分析：此题假设解不等式组，就特殊费事了。结合二次函数的图形就会简洁得多。图解： 由图象易知：2或者2九线性规划