高中奥林匹克物理竞赛解题方法十三降维法.docx

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1、降维法方法简介降维法是将一个三维图变成几个二维图，即应选两个相宜平面去视察，当遇到一个空间受力问题时，将物体受到力分解到两个不同平面上再求解。由于三维问题不好想像，选取适当角度，可用降维法求解。降维优点是把不易视察空间物理量关系在二维图中表示出来，使我们很简洁找到各物理量之间关系，从而正确解决问题。赛题精讲例1：如图131所示，倾角=30粗糙斜面上放一物体，物体重为G，静止在斜面上。现用与斜面底边平行力F=G/2推该物体，物体恰好在斜面内做匀速直线运动，那么物体与斜面间动摩擦因数等于多少？物体匀速运动方向如何？解析：物体在重力、推力、斜面给支持力和摩擦力四个力作用下做匀速直线运动，所以受力平衡

2、。但这四个力不在同一平面内，不简洁看出它们之间关系。我们把这些力分解在两个平面内，就可以将空间问题变为平面问题，使问题得到解决。将重力沿斜面、垂直于斜面分解。我们从上面、侧面视察，图131甲、图131乙所示。如图131甲所示，推力F与重力沿斜面分力G1合力F为：F方向沿斜面对下与推力成角，那么 这就是物体做匀速运动方向物体受到滑动摩擦力与F平衡，即 所以摩擦因数：例2：如图132所示，一个直径为D圆柱体，其侧面刻有螺距为h光滑螺旋形凹槽，槽内有一小球，为使小球能自由下落，必需要以多大加速度来拉缠在圆柱体侧面绳子？解析：将圆柱体侧面等距螺旋形凹槽绽开成为平面上斜槽，如图132甲所示，当圆柱体转一

3、周，相当于沿斜槽下降一个螺距h，当圆柱转n周时，外侧面上一共挪动程度间隔 为 圆弧槽内小球下降高度为 解、两式，可得，为使螺旋形槽内小球能自由下落，圆柱体侧面绳子拉动加速度应为例3：如图133所示，外表光滑实心圆球B半径R=20cm，质量M=20kg，悬线长L=30cm。正方形物块A厚度h=10cm，质量m=2kg，物体A与墙之间动摩擦因数，取g=10m/s2。求：1墙对物块A摩擦力为多大？2假如要物体A上施加一个与墙平行外力，使物体A在未脱离圆球前贴着墙沿程度方向做加速度a=5m/s2 匀加速直线运动，那么这个外力大小方向如何？解析：这里物体A、B所受力也不在一个平面内，混起来考虑比较困难，

4、可以在垂直于墙竖直平面内分析A、B间压力和A对墙压力；在与墙面平行平面内分析A物体沿墙程度运动时受力状况。1通过受力分析可知墙对物块A静摩擦力大小等于物块A重力。2由于物体A贴着墙沿程度方向做匀加速直线运动，所以摩擦力沿程度方向，合力也沿程度方向且与摩擦力方向相反。又因为物体受竖直向下重力，所以推力F方向应斜向上。设物体A对墙压力为N，那么沿垂直于墙方向，物体B受到物体A支持力大小也为N，有又因为在与墙面平行平面内，对物体A沿竖直方向做受力分析，如图133甲所示有沿程度方向做受力分析，有 由以上各式，解得 因此，对物体A施加外力F大小为20N，方向沿墙面斜向上且与物体A程度运动方向夹角为例4：

5、一质量m=20kg钢件，架在两根完全一样平行长直圆柱上，如图134所示，钢件重心与两柱等距，两柱轴线在同一程度面内，圆柱半径r=，钢件与圆柱间动摩擦因数=。两圆柱各绕自己轴线做转向相反转动，角速度假设沿平行于柱轴方向施力推着钢件做速度为匀速运动，求推力是多大？设钢件不发生横向运动解析：此题关键是搞清滑动摩擦力方向，滑动摩擦力方向与相对运动方向相反，由于钢件和圆柱都相对地面在运动，干脆不易视察到相对地面在运动，干脆不易视察到相对运动方向，而且钢件受力不在同一平面内，所以考虑“降维，即选一个相宜角度视察。我们从上往上看，画出俯视图，如图134甲所示。我们选考虑左边圆柱与钢件之间摩擦力，先分析相对运

6、动方向，钢件有向前速度，左边圆住有向右速度,那么钢件相对于圆柱速度是与矢量差，如图中v，即为钢件相对于圆柱速度，所以滑动摩擦力f方向与v，方向相反，如图134甲所示。以钢件为探讨对象，在程度面上受到推力F和两个摩擦力f作用，设f与圆柱轴线夹角为，当推钢件沿圆柱轴线匀速运动时，应有 再从正面看钢件在竖直平面内受力可以求出FN，如图134乙所示，钢件受重力G和两个向上支持力FN，且G=2FN，所以把 代入式，得推力例5：如图135所示，将质量为M匀质链条套在一个外表光滑圆锥上，圆锥顶角为，设圆锥底面程度，链条静止时也程度，求链条内张力。解析：要求张力，应在链条上取一段质量元进展探讨。因为该问题是三

7、维问题，各力不在同一平面内，所以用“降维法作出不同角度平面图进展探讨。作出俯视图135甲，设质量元两端所受张力为T，其合力为F，因为它所对圆心角很小，所以，即F=T。再作出正视图135乙，质量元受重力g、支持力N和张力合力F而处于平衡状态，由几何学问可得：所以链条内张力例6：杂技演员在圆筒形建筑物内表演飞车走壁。演员骑摩托车从底部开始运动，随着速度增加，圈子越兜越大，最终在竖直圆筒壁上匀速率行驶，如图136所示。假如演员和摩托车总质量为M，直壁半径为R，匀速率行驶速率为v，每绕一周上升间隔 为h，求摩托车匀速走壁时向心力。解析：摩托车运动速度v，可分解为程度速度v1和竖直分速度为v2，那么向心

8、力速度为。处理这个问题关键是将螺旋线绽开为一个斜面，其倾角余弦为，如图136甲所示。所以有向心加速度为：向心力 例7：A、B、C为三个完全一样外表光滑小球，B、C两球各被一长为L=不行伸和轻线悬挂于天花板上，两球刚好接触，以接触点O为原点作始终角坐标系轴竖直向上，Ox与两球连心线重合，如图137所示。今让A球射向B、C两球，并与两球同时发生碰撞。碰撞前，A球速度方向沿y轴正方向，速率为。相碰后，A球沿y轴负方向反弹，速率。1求B、C两球被碰后偏离O点最大位移量；2探讨长时间内B、C两球运动状况。忽视空气阻力，取g=10m/s2解析：1A、B、C三球在碰撞前、后运动发生在平面内，设刚碰完后，A速

9、度大小为，B、C两球速度分别为与，在x方向和y方向分速度大小分别为，如图137甲所示，由动量守恒定律，有 由于球面是光滑，在碰撞过程中，A球对B球作用力方向沿A、B两球连心线，A球对C球作用力方向沿A、C两球连心线，由几何关系，得图137甲 由对称关系可知 解、式可得 由此解得 设C球在x0, y0, z0空间中最大位移为Q点z坐标为zQ，那么由机械能守恒定律可写出 所以 代入数值解得 zQ=而Q点到Oz轴间隔 为 所以C球离O点最大位移量 代入数值，得 由对称性，可得B球在空间最大位移量为 2当B、C两球各到达最大位移后，便做回到原点摇摆，并发生两球间碰撞，两球第一次返回O点碰撞前速度大小和

10、方向分别为 方向沿正x轴方向 方向沿y轴方向 方向沿正x轴方向 方向沿y轴方向设碰撞后速度分别为，对应分速度大小分别为、和，由于两球在碰撞过程中互相作用力只可能沿x轴方向，故碰撞后，沿y轴方向速度大小和方向均保持不变因为小球都是光滑，即= 方向沿负y轴方向 = 方向沿负y轴方向 碰撞过程中，沿x轴方向动量守恒，那么 因为 所以即碰撞后两球在x方向分速度大小也相等，方向相反，详细数值取决于碰撞过程中是否机械能损失。在A球与B、C两球同时碰撞过程中，碰撞前，三者机械能 碰撞后三者机械能说明在碰撞过程中有机械能损失，小球材料不是完全弹性体，故B、C两球在碰撞过程中也有机械能损失，即 由、和三式，和

11、或当B、C两球第二次返回O点时，两球发生第二次碰撞，设碰撞后两球速度分别为，对应分速度大小分别为，那么有 或 由此可见，B、C两球每经过一次碰撞，沿x方向分速度都要变小，即 而y方向分速度大小保持不变，即 当两球反复碰撞足够屡次数后，沿x方向分速度为零，只有y方向分速度。设足够屡次数为n，那么有 即最终，B、C两球一起Oyz平面内摇摆，经过最低点O速度由式给出，设最高点z轴坐标为，那么 得代入数值，得 最高点y坐标由下式给出：代入数值，得： 图138例8：一半径R程度光滑圆桌面，圆心为O，有一竖直立柱固定在桌面上圆心旁边，立柱与桌面交线是一条凸平滑封闭曲线C，如图138所示。一根不行伸长松软细

12、轻绳，一端固定在封闭曲线上某一点，另一端系一质量为102kg小物块。将小物块放在桌面上并把绳拉直，再给小物块一个方向与绳垂直、大小为初速度，物块在桌面上运动时，绳将缠绕在立柱上。当绳张力为T0=2.0N时，绳即断开，在绳断开前物块始终在桌面上运动。1问绳刚要断开时，绳伸直部分长度为多少？2假设绳刚要断开时，桌面圆心O到绳伸直部分与封闭曲线接触点连线正好与绳伸直部分垂直，问物块落地点到桌面圆心O程度间隔 为多少？桌面高度H，物块在桌面上运动时未与立柱相碰。取重力加速度大小为10m/s2。解析：1这一问题比较简洁。绳断开前，绳张力即为物块所受向心力，因为初速度与绳垂直，所以绳张力只变更物块速度方向

13、，而速度大小不变，绳刚要断开时，绳伸直部分长度可求出。设绳伸直部分长为x，那么由牛顿第二定律得：代入数值得：x2选取桌面为分析平面，将物块落地点投影到此分析平面上，然后由平抛运动学问求解。如图138甲所示，设绳刚要断开时物块位于桌面上P点，并用A点表示物块分开桌面时位置，先取桌面为分析平面，将物块落地点投影到此分析平面上，其位置用D点表示，易知D点应在直线PA延长线上，即等于物块落地点与桌面圆心O程度间隔 ，而等于物块分开桌面后做平抛运动程度射程。即 故代入数值得物块落地点到桌面圆心O程度间隔 例9：如图139所示是一种记录地震装置程度摆，摆球m固定在边长为L，质量可忽视不计等边三角形顶点A上

14、。它对边BC跟竖直线成不大夹角，摆球可以绕固定轴BC摇摆。求摆做微小振动周期。解析：假设m做微小振动，那么其轨迹肯定在过A点，垂直于BC平面内以O为圆心，OA为半径圆弧上。因此我们可以作一个过A点垂直于BC平面M，如图139甲所示，将重力mg沿M平面和垂直于M平面方向分解，那么在平面M内，m振动等效于一个只在重力作用下简谐运动，摆长所以周期 例10：六个一样电阻阻值均为R连成一个电阻环，六个结点依次为1、2、3、4、5和6，如图1310所示。现有五个完全一样这样电阻环，分别称为D1、D2、D5。现将D11、3、5三点分别与D22、4、6三点用导线连接，如图1310甲所示。然后将D21、3、5三

15、点分别与D32、4、6三点用导线连接依次类推，最终将D51、3、5三点分别连接到D42、4、6三点上。证明：全部接好后，在D1上1、3、两点间等效是电阻为。解析：由于连接电阻R导线，连接环D之间导线均不计电阻，因此，可变更环半径，使五个环大小满意：D1D2D5.将图1310甲所示圆柱形网络变成圆台形网络，在沿与底面垂直方向将此圆台形网络压缩成一个平面，如图1310乙所示平面电路图。现将圆形电阻环变成三角形，1、3、5三点为三角形顶点，2、4、6三点为三角形三边中点，图1310乙又变为如图1310丙所示电路图。不难发觉，图1310丙所示电路相对虚直线3、6具有左右对称性。可以用多种解法求。如将电

16、路等效为图1310丁。A1B1以内电阻A2B2以内电阻A3B3以内电阻A4B4以内电阻A5B5以内电阻即为D1环上1、3两点间等效电阻。例11：如图1311所示，用12根阻值均为r一样电阻丝构成正立方体框架。试求AG两点间等效电阻。解析：该电路是立体电路，我们可以将该立体电路“压扁，使其变成平面电路，如图1311甲所示。考虑到D、E、B三点等势，C、F、H三点等势，那么电路图可等效为如图1311乙所示电路图，所以AG间总电阻为 例12：如图1312所示，倾角为斜面上放一木制圆制，其质量，半径为r，长度L=，圆柱上顺着轴线OO绕有N=10匝线圈，线圈平面与斜面平行，斜面处于竖直向上匀强磁场中，磁

17、感应强度B，当通入多大电流时，圆柱才不致往下滚动？解析：要精确地表达各物理量之间关系，最好画出正视图，问题就比较简洁求解了。如图1312甲所示，磁场力Fm对线圈力矩为MB=NBIL2rsin，重力对D点力矩为：MG=mgsin，平衡时有：MB=MG那么可解得：例13：空间由电阻丝组成无穷网络如图1313所示，每段电阻丝电阻均为r，试求A、B间等效电阻RAB。解析：设想电流A点流入，从B点流出，由对称性可知，网络中反面那一根无限长电阻丝中各点等电势，故可撤去这根电阻丝，而把空间网络等效为图1313甲所示电路。1其中竖直线电阻r分别为两个r串联和一个r并联后电阻值，所以 横线每根电阻仍为r，此时将

18、立体网络变成平面网络。2由于此网络具有左右对称性，所以以AB为轴对折，此时网络变为如图1313乙所示网络。其中横线每根电阻为 竖线每根电阻为AB对应那根电阻为 此时由左右无限大变为右边无限大。3设第二个网络结点为CD，此后均有一样网络，去掉AB时电路为图1313丙所示。再设RCD=Rn1不包含CD所对应竖线电阻那么，网络如图1313丁所示。此时 当时，Rn=Rn1 上式变为由此解得： 即补上AB竖线对应电阻，网络变为如图1313戊所示电路。例14：设在地面上方真空室内，存在匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强度方向是一样，电场强度大小E=，磁感应强度大小B=T，今有一个带负电质点以v=20m

19、/s速度在此区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动，求此带电质点电量与质量之比q/m以及磁场全部可能方向角度可用反三角函数表。解析：因为带负电质点做匀速直线运动，说明此质点所受合外力为零。又因为电场强度和磁感应强度方向一样，所以该带电质点所受电场力和洛仑兹力方向垂直共面，且必受重力作用，否那么所受合外力不行能为零，设质点速度方向垂直纸面对里。由此该带电质点受力图如图1314所示。由平衡条件有有程度方向： 在竖直方向： 解得： q/m=2同理，当质点速度方向垂直纸面对外时受力状况如图1314甲，由平衡条件可解出值与上式解出一样，只是与纸平面夹角不同，故此带电质点电量与质量之比为2。磁场全部可能方向与

20、程度方向夹角都是 针对训练1如图1315所示，一个重1000N物体放在倾角为30斜面上，物体与斜面间摩 擦系数为1/3。今有一个与斜面最大倾斜线成30角力F作用于物体上，使物体在斜 面上保持静止，求力F大小。2斜面倾角=37，斜面长为，宽为，如图1316所示。质量为2kg木块与 斜面间动摩擦因数为，在平行于斜面方向恒力F作用下，沿斜面对角线从A 点运动到B点g=10m/s2，sin37=。求： 1力F最小值是多大？ 2力F取最小值时木块加速度。3质量为长方形木块静止在倾角为30斜面上，假设用平行于斜面沿程度方向大 小等于3N力推物体，它仍保持静止，如图1317所示，那么木块所受摩擦力大小为 ，方向为 。4如图1318，四面体框架由电阻同为R6个电阻连接而成，试求随意两个顶点AB间 等效电阻。5如图1319所示三棱柱由电阻同为R电阻线连接而成，试求AB两个顶点间等效电 阻。6将同种材料粗细匀称电阻丝连接成立方体形态，如图1320所示，每段电阻丝电阻 均为r。试求： 1AB两点间等效电阻RAG； 2AD两点间等效电阻RAD。