中考数学重难点专题讲座 第二讲 图形位置关系含答案.docx

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1、中考数学重难点专题讲座第二讲 图形位置关系【前言】 在中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形正方形以及圆这么几类图形之间的关系。在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆及其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆及三角形的各种问题。综合整个一模来看，套题中有套都是很明确的采纳圆及三角形问题的一证一算方式来考察。这个信息告知我们中考中这一类题几乎必考。由于此类题目根本都是上档次解答题的第二道，紧随线段角计算之后，难度一般中等偏上。所以如何将此题分数尽揽怀中就成为了每个考生及家长不得不重视的问题。从题目本身来看,一般都是实行很标准的两问式.第一问证明切线,考察

2、切线断定定理以及切线性质定理及推论,第二问通常会给定一线段长度和一角的三角函数值,求其他线段长，综合考察圆及三角形的学问点。一模尚且如此,中考也不会差的太远。至于其他图形位置关系,我们将会在后面的专题中涉及到.所以本讲笔者将从一模真题动身，总结关于圆的问题的一般思路及解法。第一部分 真题精讲【例】(，丰台，一模)：如图，为的直径，过的中点，于点求证：为的切线；假设，求的直径【思路分析】 此题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人疑心他们是不是串通好了近年来此类问题特殊爱将中点问题放进去一并考察，考生肯定要对中点以及中位线所引发的平行等关系特别敏感，尤其不要遗

3、忘圆心也是直径的中点这一性质。对于此题来说，自然连接，在中就是中位线，平行于。所以利用垂直传递关系可证。至于第二问那么重点考察直径所对圆周角是这一学问点。利用垂直平分关系得出是等腰三角形，从而将求转化为求，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。【解析】证明：联结 为中点， 为中点， 为的中位线 . 于点. 为的切线 解：联结 为的直径， 为中点， 在中， ， . 三角函数的意义要记牢 由勾股定理得：.在 中， 由勾股定理得： .的直径为. 【例】，海淀，一模：如图，为的外接圆，为的直径，作射线，使得平分，过点作于点.求证：为的切线；假设，求的半径. 【思路分析】此题是一道典型的用

4、角来证切线的题目。题目中除垂直关系给定以外，就只给了一条平分。看到这种条件，就须要大家意识到应当通过角度来证平行。用角度来证平行无外乎也就内错角同位角相等，同旁内角互补这么几种。此题中，连之后发觉，而构成一个等腰三角形从而，自然想到传递这几个角之间的关系，从而得证。第二问依旧是要用角的传递，将角通过等量关系放在中，从而到达计算直径或半径的目的。【解析】证明：连接. . 得分点，肯定不能遗忘用内错角相等来证平行 是半径， 为的切线. 由勾股定理，得. .通过三角函数的转换来扩大条件 是直径，又 , , . 这一步也可以用三角形相像干脆推出在中，. 的半径为. 【例】，昌平，一模：如图，点是的直径

5、延长线上一点，点 在上，且求证：是的切线；假设点是劣弧上一点，及相交 于点，且，求的半径长.【思路分析】 此题条件中有，聪慧的同学瞬间就能看出来其实就是三角形中斜边上的中线。那么依据直角三角形斜边中线等于斜边一半这肯定理的逆定理，立刻可以反推出，于是切线问题迎刃而解。事实上假如看不出来，那么连接以后像例那样用角度传递也是可以做的。此题第二问那么稍有难度，额外考察了有关圆周角的假设干性质。利用圆周角相等去证明三角形相像，从而将未知条件用比例关系及条件联络起来。近年来中考范围压缩，圆幂定理等纲外内容已经根本不做要求，所以更多的都是利用相像三角形中借助比例来计算，盼望大家仔细驾驭。【解析】证明：连接

6、.是等边三角形. . 不用斜边中线逆定理的话就这样解，费事一点而已又点在上，是的切线 . 解：是的直径， 在中， , 设那么， . 设元的思想很重要.分【例】，密云，一模如图，等腰三角形中，以为直径作交于点，交于点，垂足为，交的延长线于点求证：直线是的切线；求的值【思路分析】此题和前面略有不同的地方就是通过线段的详细长度来计算和证明。欲证是切线，那么需证垂直于，但是此题中并未给和其他线角之间的关系，所以就须要多做一条协助线连接，利用直径的圆周角是，并且是以为腰的等腰三角形，从而得出是中点。胜利转化为前面的中点问题，继而求解。第二问利用第一问的结果，转移角度，借助勾股定理，在相像的三角形当中构造

7、代数关系，通过解方程的形式求解，也考察了考生对于解三角形的功夫。【解析】证明：如图，连结，那么是的中点是的中点，于是的切线 ( ) 连结，是直径, 直径的圆周角都是设，那么在中，在中，这一步至关重要，利用两相邻的临边构建等式，事实上也可以干脆用直角三角形斜边高分比例的方法解得即在中【例】，通州，一模如图，平行四边形中，以为圆心，为半径的圆交于，交于，延长交圆于.假设及相切，试推断及的位置关系，并证明你的结论；在的条件不变的状况下，假设，求的长.【思路分析】此题虽然是圆和平行四边形的位置关系问题，但是依旧考察的是如何将全部条件放在最根本的三角形中求解的实力。推断出及圆相切不难，难点在于如何证明。

8、事实上，除此题以外，门头沟，石景山和宣武都考察了圆外一点引两条切线的证明。这类题目最重要是利用圆半径相等以及两个圆心角相等来证明三角形相像。第二问那么不难，重点在于如何利用角度的倍分关系来推断直角三角形中的特殊角度，从而求解。【解析】结论：及相切证明：连接点、在圆上，四边形是平行四边形， 做多了就会发觉，根本此类问题都是要找这一对角，所以考生要擅长把握条件往这个上面引在和及相切及相切 ，四边形是平行四边形 许多同学觉得题中没有给出特殊角度，于是无从下手，其好用倍分关系放在三角形中就产生了和的特殊角【总结】 经过以上五道一模真题，我们可以得出这类题型的一般解题思路。要证相切，做协助线连接圆心及切

9、点自不必说，接下来就要考虑如何将半径证明为是圆心到切线的间隔 ，即“连半径，证垂直。近年来中考根本只要求了这一种证明切线的思路，但是事实上证明切线有三种方式。为以防遇到，还是盼望考生能有所理解。第一种就是课本上所讲的先连半径，再证垂直。这样的前提是题目中所给条件已经暗含了半径在其中。例如圆外接三角形，或者圆及线段交点这样的。把握好各种圆的性质关系就可以了。第二种是在题目没有给出交点状况的状况下，不能贸然连接，于是可以先做垂线，然后通过证明垂线等于半径即可，就是所谓的“先证垂直后证半径。例如大家看这样一道题， 如图中，点是的中点，及切于点，求证：及也相切。该题中圆及是否有公共点是未知的，所以只能

10、通过做的垂线，然后证明这个间隔 刚好就是圆半径。假如考生想当然认为有一个交点，然后干脆连及圆交点这样证明，就误入歧途了。第三种是比较费事的一种，一方面题目中并未给出半径，也未给出垂直关系，所以属于半径和垂直都要证明的题型。例如看下面一道题：如图，中，、将三等分，以为圆心画，求证：及相切。此题中并未说明肯定过点，所以须要证明是切点，同时还要证明到垂线的垂足和是重合的，这样一来就特别费事。但是换个角度想，假如连接之后再证明，那么就特别严密了。提示：做垂线，那么垂足同时也是中点，通过数量关系将，都用表示出来即可证明相等，而中利用直角三角形斜边中线长是斜边一半的逆定理可以证出直角。 至于本类题型中第二

11、问的计算就比较简洁了，把握好圆周角，圆心角，以及可能出现的弦切角所构成的线段，角关系，同时将条件放在同一个当中就可以特别便利的求解。总之，此类题目难度不会太大，所以须要大家做题速度快，精确率高，为后面的代几综合体留出空间。第二部分 发散思索【思索】，海淀，一模如图，为的弦，为上一点，且于. 求证：是的切线；假设的半径为，求的长.【思路分析】此题为去年海淀一模题，虽然较为简洁,但是统计下来得分率却很低. 因为题目中没有给出有关圆心的任何线段，所以就须要考生自己去构造。同一段弧的圆周角相等这一性质是特别重要的，延长就会得到一个和一样的圆周角，利用角度关系，就很简洁证明了。第二问考解三角形的计算问题

12、，利用相等的角建立相等的比例关系，从而求解。解法见后【思索】，西城，一模：如图，为的弦，过点作的平行线，交 于点，直线上一点满意.推断直线及的位置关系，并证明你的结论；假设的半径等于，求的长.【思路分析】此题也是特别典型的通过角度变换来证明的题目。重点在于如何利用这个条件，去将他们放在三角形中找出相等，互余等关系。尤其是将拆分成两个角去证明和为。解法见后【思索】，北京：如图，在中，是角平分线，平分交于点,经过两点的交于点,交于点恰为的直径.求证：及相切；当时，求的半径. 【思路分析】这是一道去年北京中考的原题，有些同学可能已经做过了。主要考点还是切线断定，等腰三角形性质以及解直角三角形，也不会

13、很难。放这里的缘由是让大家感受一下中考题也无非就是如此出法，和我们前面看到的那些题是一个意思。【思索】，西城，二模如图，等腰中，为的外接圆，为上一点， 于. 求证： 【思路分析】 前面的题目大多是有关切线问题，但是未必全部的圆问题都和切线有关，去年西城区这道模拟题就是无切线问题的代表。此题的关键在于如何在图形中找到和相等的量来到达转化的目的。假如图形中全部线段现成的没有，那么就须要自己去截一段，然后去找相像或者全等三角形中的线段关系。【思索】，东城，二模 如图，是的外接圆，是的直径，是延长线的一点，交的延长线于，于，且（1） 求证：是的切线；（2） 假设，求和的长【思路分析】又是一道特别典型的用角证平行的题目。题目中虽未给出评分角这样的条件，但是通过给定，加上有一个公共边，那么很简洁发觉和是全等的。于是问题迎刃而解。第二问中依旧要留意找到线段的等量线段，并且利用和，差等关系去转化。第三部分 思索题解析【思索解析】证明: 如图, 连接并延长交于点, 连接, 那么. 是的切线. 解：由可知.【思索解析】解：直线及相切 证明：如图，连结 直线及相切 解： ，在中， ，【思索解析】证明：连结，那么平分在中，是角平分线，及相切解：在中，是角平分线，在中，设的半径为，那么解得的半径为【思索解析】证明：如图，在上截取，连结、 在和中， 于，【思索解析】证明：连接,