高中数学圆锥曲线练习题及答案历年高考试题.docx

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1、2009年高考数学试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1.（2009全国卷理）设双曲线（a0,b0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )（A） （B）2 （C） （D）解：设切点，则切线的斜率为.由题意有又解得: .2.（2009全国卷理）已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，若,则=(A). (B). 2 (C). (D). 3解:过点B作于M,并设右准线与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得.故选A3.（2009浙江理）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为若，则双曲线的离心率是 ( )A B C D

2、答案：C 【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，则有，因4.（2009浙江文）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点若，则椭圆的离心率是（ ）A B C D5D 【命题意图】对于对解析几何中与平面对量结合的考察，既表达了几何与向量的交汇，也表达了数形结合的奇妙应用【解析】对于椭圆，因为，则6.（2009北京理）点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A直线上的全部点都是“点” B直线上仅有有限个点是“点” C直线上的全部点都不是“点” D直线上有无穷多个点（点不是全部的点）是“点”【解析】本题主要考

3、察阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考察学生分析问题和解决问题的实力. 属于创新题型. 本题采作数形结合法易于求解，如图，设，则，（第8题解答图）消去n,整理得关于x的方程 （1）恒成立，方程（1）恒有实数解，应选A.7.(2009山东卷理)设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).A. B. 5 C. D.【解析】:双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以=,所以,故选D.答案:D.【命题立意】:本题考察了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考察了根本概念根

4、本方法和根本技能.8.(2009山东卷文)设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).A. B. C. D. 【解析】: 抛物线的焦点F坐标为,则直线的方程为,它与轴的交点为A,所以OAF的面积为,解得.所以抛物线方程为,故选B.答案:B.【命题立意】:本题考察了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考察数形结合的数学思想,其中还隐含着分类探讨的思想,因参数的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应改变有两种状况,这里加肯定值号可以做到合二为一.9.（2009全国卷文）双曲线的渐近线与圆相

5、切，则r=（A） （B）2 （C）3 （D）6答案：A解析：本题考察双曲线性质及圆的切线学问，由圆心到渐近线的间隔 等于r，可求r=10.（2009全国卷文）已知直线与抛物线C:相交A、B两点，F为C的焦点。若,则k=(A) (B) (C) (D)答案：D解析：本题考察抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0），由及第二定义知联立方程用根与系数关系可求k=。11.（2009安徽卷理）下列曲线中离心率为的是（A） （B） （C） （D）解析由得，选B12.（2009安徽卷文）下列曲线中离心率为的是A. B. C. D. 【解析】根据双曲线的离心率可推断得.选B。13.（200

6、9安徽卷文）直线过点（-1，2）且与直线垂直，则的方程是A B. C. D. 【解析】可得斜率为即，选A。14.（2009江西卷文）设和为双曲线()的两个焦点, 若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 A B C D3答案：B【解析】由有,则,故选B.15.（2009江西卷理）过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为 A B C D答案：B【解析】因为，再由有从而可得，故选B16.（2009天津卷文）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D【解析】由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为【考点定位】本试题主要考察了

7、双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算实力和推理实力。17.(2009湖北卷理)已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是A. B. C. D. 【解析】易得准线方程是 所以 即所以方程是联立可得由可解得A18.（2009四川卷文）已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则 A. 12 B. 2 C. 0 D. 4【解析】由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是，于是两焦点坐标分别是（2，0）和（2，0），且或.不妨去，则，.19.（2009全国卷理）已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则A. B. C. D. 解：设抛物线

8、的准线为直线 恒过定点P .如图过分 别作于,于, 由,则,点B为AP的中点.连结,则, 点的横坐标为, 故点的坐标为, 故选D20.（2009全国卷理）已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为A B. C. D. 解：设双曲线的右准线为,过分 别作于,于, ,由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角为,由双曲线的第二定义有.又 故选A21.（2009湖南卷文）抛物线的焦点坐标是【 B 】 A（2，0） B（- 2，0） C（4，0） D（- 4，0）解:由,易知焦点坐标是，故选B. 22.（2009辽宁卷文）已知圆C与直线xy0 及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则

9、圆C的方程为（A） (B) (C) (D) 【解析】圆心在xy0上,解除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的间隔 等于半径即可 答案B23.（2009宁夏海南卷理）双曲线-=1的焦点到渐近线的间隔 为（A） （B）2 （C） （D）1解析：双曲线-=1的焦点(4,0)到渐近线的间隔 为,选A24.（2009宁夏海南卷理）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线的方程为_.解析：抛物线的方程为，答案：y=x25.（2009陕西卷文）过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为科网（A） （B）2 （C）（D

10、）2 答案:D.解析:,圆心到直线的间隔 ，由垂径定理知所求弦长为 故选D.26.（2009陕西卷文）“”是“方程”表示焦点在y轴上的椭圆”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 答案:C. 解析:将方程转化为 , 根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必需满意所以，故选C.27.（2009四川卷文）已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则 A. 12 B. 2 C. 0 D. 4【解析】由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是，于是两焦点坐标分别是（2，0）和（2，0），且或.不妨去，则，.28.（200

11、9全国卷文）设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于（A） （B）2 （C） （D）【解析】本小题考察双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，根底题。解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即，故选择C。29.（2009全国卷文）已知椭圆的右焦点为F,右准线，点，线段AF交C于点B。若,则=(A) (B) 2 (C) (D) 3【解析】本小题考察椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，根底题。解:过点B作于M,并设右准线与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得.故选A30.（2009湖北卷文）已

12、知双曲线（b0）的焦点，则b=A.3 B. C. D.【解析】可得双曲线的准线为,又因为椭圆焦点为所以有.即b2=3故b=.故C.31.（2009天津卷理）设抛物线=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，=2，则BCF与ACF的面积之比=（A） （B） （C） （D）【考点定位】本小题考察抛物线的性质、三点共线的坐标关系，和综合运算数学的实力，中档题。解析：由题知，又由A、B、M三点共线有即，故，故选择A。32.（2009四川卷理）已知双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则=A. B. C .0 D. 4【考点定位】本小题

13、考察双曲线的渐近线方程、双曲线的定义，根底题。（同文8）解析：由题知，故，故选择C。解析2：根据双曲线渐近线方程可求出双曲线方程，则左、右焦点坐标分别为，再将点代入方程可求出，则可得，故选C。33.（2009四川卷理）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的间隔 之和的最小值是A.2 B.3 C. D.【考点定位】本小题考察抛物线的定义、点到直线的间隔 ，综合题。解析：直线为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的间隔 等于P到抛物线的焦点的间隔 ，故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的间隔 之和最小，最小值为到直线的间隔 ，即，故选择A。解析2：如下图，由题意可知34.（2009宁夏

14、海南卷文）已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（A）+=1 （B）+=1（C）+=1 （D）+=1 【解析】设圆的圆心为（a，b），则依题意，有，解得：，对称圆的半径不变，为1，故选B。35.（2009福建卷文）若双曲线的离心率为2，则等于A. 2 B. C. D. 1解析解析 由，解得a=1或a=3，参照选项知而应选D.36.（2009重庆卷理）直线与圆的位置关系为（ ）A相切 B相交但直线不过圆心 C直线过圆心D相离【解析】圆心为到直线，即的间隔 ，而，选B。37.（2009重庆卷理）已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）ABCD【解析】因为当时，

15、将函数化为方程，本质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当得图像，再根据周期性作出函数其它局部的图像，由图易知直线与第二个椭圆相交，而与第三个半椭圆无公共点时，方程恰有5个实数解，将代入得令由同样由与第二个椭圆由可计算得综上知38.（2009重庆卷文）圆心在轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）A B C D解法1（干脆法）：设圆心坐标为，则由题意知，解得，故圆的方程为。解法2（数形结合法）：由作图根据点到圆心的间隔 为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，解除B，D，又由于圆心在轴上，解除C。39.（2009年上海卷理）

16、过圆的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，被圆分成四局部（如图），若这四局部图形面积满意则直线AB有（ ）（A） 0条 （B） 1条 （C） 2条 （D） 3条【解析】由已知，得：，第II，IV局部的面积是定值，所以，为定值，即为定值，当直线AB围着圆心C挪动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条，故选B。二、填空题1.（2009四川卷理）若与相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线相互垂直，则线段AB的长度是 【考点定位】本小题考察圆的标准方程、两直线的位置关系等学问，综合题。解析：由题知，且，又，所以有，。2.（2009全国卷文）若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角

17、可以是 其中正确答案的序号是 .（写出全部正确答案的序号）【解析】本小题考察直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的间隔 ，考察数形结合的思想。解：两平行线间的间隔 为，由图知直线与的夹角为，的倾斜角为，所以直线的倾斜角等于或。故填写或3.（2009天津卷理）若圆与圆（a0）的公共弦的长为，则_。【考点定位】本小题考察圆与圆的位置关系，根底题。解析：由知的半径为，由图可知解之得4.（2009湖北卷文）过原点O作圆x2+y26x8y20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为 。【解析】可得圆方程是又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得5.（2009重庆卷文）已知椭圆的左、右焦点

18、分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 . 解法1，因为在中，由正弦定理得则由已知，得，即设点由焦点半径公式，得则记得由椭圆的几何性质知，整理得解得，故椭圆的离心率解法2 由解析1知由椭圆的定义知，由椭圆的几何性质知所以以下同解析1.6.（2009重庆卷理）已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 解法1，因为在中，由正弦定理得则由已知，得，即，且知点P在双曲线的右支上，设点由焦点半径公式，得则解得由双曲线的几何性质知，整理得解得，故椭圆的离心率解法2 由解析1知由双曲线的定义知，由椭圆的几何性质知所以以下同解析1.7.（2009北京

19、文）椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则 ；的大小为 .【解析】本题主要考察椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属于根底学问、根本运算的考察. ，又， 又由余弦定理，得， ，故应填.8.（2009北京理）设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在处的切线的斜率为_.【解析】本题主要考察导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念. 属于根底学问、根本运算的考察.取，如图，采纳数形结合法，易得该曲线在处的切线的斜率为.故应填.9.（2009北京理）椭圆的焦点为，点在（第11题解答图）椭圆上，若，则_；的小大为_. 【解析】本题主要考察椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间

20、的关系以及余弦定理. 属于根底学问、根本运算的考察. ，又，又由余弦定理，得，故应填.10.（2009江苏卷）如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 .【解析】 考察椭圆的根本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。直线的方程为：；直线的方程为：。二者联立解得：，则在椭圆上，解得：11.（2009全国卷文）已知圆O：和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 。解析：由题意可干脆求出切线方程为y-2=(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距

21、分别是5和，所以所求面积为。12.（2009广东卷理）巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的间隔 之和为12，则椭圆的方程为 【解析】，则所求椭圆方程为.13.(2009年广东卷文)以点（2，）为圆心且与直线相切的圆的方程是 .【答案】【解析】将直线化为,圆的半径,所以圆的方程为14.（2009天津卷文）若圆与圆的公共弦长为，则a=_. 【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 ，利用圆心（0，0）到直线的间隔 d为，解得a=1【考点定位】本试题考察了直线与圆的位置关系以及点到直线的间隔 公式的运用。考察了同学们的运算实力和推理实力。15.（2

22、009四川卷文）抛物线的焦点到准线的间隔 是 .【解析】焦点（1，0），准线方程，焦点到准线的间隔 是216.（2009湖南卷文）过双曲线C：的一个焦点作圆的两条切线， 切点分别为A，B，若（O是坐标原点），则双曲线线C的离心率为 2 . 解: , 17.（2009福建卷理）过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则_解析：由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，又。18.（2009辽宁卷理）以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 。【解析】留意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F(4,0), 于是由双曲线性质|PF|PF|2a4 而

23、|PA|PF|AF|5 两式相加得|PF|PA|9,当且仅当A、P、F三点共线时等号成立.【答案】919.（2009四川卷文）抛物线的焦点到准线的间隔 是 .【解析】焦点（1，0），准线方程，焦点到准线的间隔 是220.（2009宁夏海南卷文）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若为的中点，则抛物线C的方程为 。【解析】设抛物线为y2kx，与yx联立方程组，消去y，得：x2kx0，k22，故.21.(2009湖南卷理)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 ，则双曲线C的离心率为 .【解析】连虚轴一个端点、一个焦点

24、及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是是虚半轴长，是焦半距，且一个内角是，即得，所以，所以，离心率22.（2009年上海卷理）已知、是椭圆（0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=_.【解析】依题意，有，可得4c2364a2，即a2c29，故有b3。23.（2009上海卷文）已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且。若的面积为9，则 .【解析】依题意，有，可得4c2364a2，即a2c29，故有b3。三、解答题1.(2009年广东卷文)（本小题满分14分）已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的间隔 之和为12.圆:的圆心

25、为点.(1)求椭圆G的方程(2)求的面积(3)问是否存在圆包围椭圆G请说明理由.【解析】（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c; 则 , 解得 , 所求椭圆G的方程为：.(2 )点的坐标为 （3）若，由可知点（6，0）在圆外， 若，由可知点（-6，0）在圆外； 不管K为何值圆都不能包围椭圆G.2.（2009全国卷理）（本小题满分12分） 如图，已知抛物线与圆相交于、四个点。 （I）求得取值范围； （II）当四边形的面积最大时，求对角线、的交点坐标分析：（I）这一问学生易下手。将抛物线与圆的方程联立，消去，整理得（）抛物线与圆相交于、四个点的充要条件是：方程（）有两个不相等的正根即可.易得.考

26、生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以（II）考纲中明确提出不考察求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的 方法处理本小题是一个较好的切入点 设四个交点的坐标分别为、。则由（I）根据韦达定理有，则 令，则 下面求的最大值。方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很便利。它的主要手段是配凑系数或常数，但要留意取等号的条件，这和二次均值类似。 当且仅当，即时取最大值。经检验此时满意题意。方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。详细解法略。下面来处理点的坐标。设点的坐标为：由三点共线，则得。以下略。3.（2009浙江理）（本题满分15分）

27、已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为 （I）求椭圆的方程； （II）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值解析：（I）由题意得所求的椭圆方程为，（II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，设线段MN的中点的横坐标是，则，设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为14.（2009浙江文）（本题满分15分）已知抛物线：上一点到其焦点的间隔 为 （I）求与

28、的值； （II）设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点若是的切线，求的最小值解析（）由抛物线方程得其准线方程：，根据抛物线定义点到焦点的间隔 等于它到准线的间隔 ，即，解得抛物线方程为：，将代入抛物线方程，解得（）由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为。则，当 则。联立方程，整理得：即：，解得或，而，直线斜率为，联立方程整理得：，即： ，解得：，或，而抛物线在点N处切线斜率：MN是抛物线的切线， 整理得，解得（舍去），或，5.（2009北京文）（本小题共14分）已知双曲线的离心率为，右准线方程为。（）求双曲线C的方程；（）已知直线与双曲线C交于不同

29、的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值.【解析】本题主要考察双曲线的标准方程、圆的切线方程等根底学问，考察曲线和方程的关系等解析几何的根本思想方法，考察推理、运算实力（）由题意，得，解得， ，所求双曲线的方程为.（）设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为， 由得（判别式）, ,点在圆上，.6.（2009北京理）（本小题共14分）已知双曲线的离心率为，右准线方程为（）求双曲线的方程；（）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.【解法1】本题主要考察双曲线的标准方程、圆的切线方程等根底学问，考察曲线和方程的关系等解析几何的根本思想方法，考察推理、运算实力（）

30、由题意，得，解得， ，所求双曲线的方程为.（）点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由及得，切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，且，设A、B两点的坐标分别为，则，且，. 的大小为.【解法2】（）同解法1.（）点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由及得 切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，设A、B两点的坐标分别为，则， 的大小为.（且，从而当时，方程和方程的判别式均大于零）.7.（2009江苏卷）（本题满分10分）在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在轴上。（1）求抛物线C的标准方程；（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；（3）设过点的直线

31、交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的间隔 为，求关于的表达式。【解析】 必做题本小题主要考察直线、抛物线及两点间的间隔 公式等根本学问，考察运算求解实力。满分10分。 8.(2009山东卷理)（本小题满分14分）设椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的随意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，

32、使得该圆的随意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所求的圆为,此时圆的切线都满意或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满意,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的随意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.因为,所以, 当时因为所以,所以,所以当且仅当时取”=”. 当时,. 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,综上, |AB |的取值范围为即: 【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考察了椭圆的标准方程确实定,直线

33、与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,可以运用解方程组法探讨有关参数问题以及方程的根与系数关系.9. (2009山东卷文)（本小题满分14分）设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,动点的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形态;（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的随意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)已知,设直线与圆C:(1R2)相切于A1,且与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|获得最大值并求最大值.解:（1）因为,所以, 即.当m=0时,方程表示两直线,方程为;当时, 方程

34、表示的是圆当且时,方程表示的是椭圆; 当时,方程表示的是双曲线.(2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 则使=,即,即, 且,要使, 需使,即,所以, 即且, 即恒成立.所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为, 所求的圆为.当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满意.综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的随意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.(3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1R2)相切于A1, 由（2）知, 即 ,因为与轨迹E只有一个公共点B1,由（2）知得,即

35、有唯一解则=, 即, 由得, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点,由 中,所以, B1(x1,y1)点在椭圆上,所以,所以,在直角三角形OA1B1中,因为当且仅当时取等号,所以,即当时|A1B1|获得最大值,最大值为1.【命题立意】:本题主要考察了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法探讨有没有交点问题,有几个交点的问题.10.（2009江苏卷）（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知圆和圆.（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设P为平面上的点，满意：存在过点P的无穷多对相互垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直

36、线被圆截得的弦长相等，试求全部满意条件的点P的坐标。【解析】 本小题主要考察直线与圆的方程、点到直线的间隔 公式，考察数学运算求解实力、综合分析问题的实力。满分16分。(1)设直线的方程为：，即由垂径定理，得：圆心到直线的间隔 ，结合点到直线间隔 公式，得：化简得：求直线的方程为：或，即或(2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为：，即：因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：圆心到直线与直线的间隔 相等。故有：，化简得：关于的方程有无穷多解，有：解之得：点P坐标为或。11.（2009全国卷文）（本小题满分12分）已知椭圆C: 的离心率为 ，过右焦点F的直线

37、l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的间隔 为（）求a,b的值；（）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出全部的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。解析：本题考察解析几何与平面对量学问综合运用实力，第一问干脆运用点到直线的间隔 公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，留意特别状况的处理。解：（）设 当的斜率为1时，其方程为到的间隔 为 故 ， 由 得 ，=（）C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。由 （）知C的方程为+=6. 设 () C 成立的充要条件是， 且整理得 故 将 于是 ,

38、=, 代入解得，此时 于是=， 即 因此， 当时， ； 当时， 。（）当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立。综上，C上存在点使成立，此时的方程为.12.（2009广东卷理）（本小题满分14分）已知曲线与直线交于两点和，且记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为设点是上的任一点，且点与点和点均不重合（1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；（2）若曲线与有公共点，试求的最小值解xAxBD：（1）联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，中点的轨迹方程为（）.（2）曲线，即圆：，其圆心坐标为，半径

39、由图可知，当时，曲线与点有公共点；当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线的间隔 ，得，则的最小值为.13.（2009安徽卷理）（本小题满分13分）点在椭圆上，直线与直线垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为.（I）证明: 点是椭圆与直线的唯一交点；（II）证明:构成等比数列.解：本小题主要考察直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等根底学问。考察综合运用学问分析问题、解决问题的实力。本小题满分13分。解：（I）（方法一）由得代入椭圆,得.将代入上式,得从而因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P.(方法二)明显P是椭圆与的交点，若Q是椭圆与的交

40、点，代入的方程，得即故P与Q重合。（方法三）在第一象限内，由可得椭圆在点P处的切线斜率切线方程为即。因此，就是椭圆在点P处的切线。根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线的唯一交点。（II）的斜率为的斜率为由此得构成等比数列。14.（2009安徽卷文）（本小题满分12分）已知椭圆（ab0）的离心率为，以原点为圆心。椭圆短半轴长半径的圆与直线y=x+2相切，（）求a与b；（）设该椭圆的左，右焦点分别为和，直线过且与x轴垂直，动直线与y轴垂直，交与点p.求线段P垂直平分线与的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型。【思路】（1）由椭圆建立a、b等量关系，再根据直线与椭圆相切求出a、b.（2）根据几何关系转化为代数方程可求得，这之中的消参就很重要了。【解析】（1）由于 又 b2=2,a2=3因此，.（2）由（1）知F1，F2两点分别为（-1，0），（1,0），由题意可设P（1，t）.（t0）.那么线段PF1中点为，设M(x、y)是所求轨迹上的随意点.由于则消去参数t得,其轨迹为抛物线（除原点）15.（2009江西卷文）（本小题满分14分）