高中数学必修5第三章不等式复习知识点总结与练习二.docx

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1、高中数学必修5_第三章不等式复习学问点总结与练习（二）第三节二元一次不等式(组)及简洁的线性规划问题学问能否忆起1二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示的平面区域：不等式表示区域AxByC0直线AxByC0某一侧的全部点组成的平面区域不包括边界直线AxByC0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共局部(2)二元一次不等式表示的平面区域确实定：二元一次不等式所表示的平面区域确实定，一般是取不在直线上的点(x0，y0)作为测试点来进展断定，满意不等式的，则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧2线性规划中的根本概念名称意义约束条

2、件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目的函数关于x，y的函数解析式，如z2x3y等线性目的函数关于x，y的一次解析式可行解满意线性约束条件的解(x，y)可行域全部可行解组成的集合最优解使目的函数获得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目的函数的最大值或最小值问题1.确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，常常采纳“直线定界，特殊点定域”的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线；(2)特殊点定域，即在直线AxByC0的某一侧取一个

3、特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满意不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧特殊地，当C 0时，常把原点作为测试点；当C0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点2最优解问题假如可行域是一个多边形，那么目的函数一般在某顶点处获得最大值或最小值，最优解就是该点的坐标，究竟哪个顶点为最优解，只要将目的函数的直线平行挪动，最先通过或最终通过的顶点便是特殊地，当表示线性目的函数的直线与可行域的某条边平行时，其最优解可能有多数个二元一次不等式(组)表示平面区域典题导入例1(2011湖北高考)直线2xy100与不等式组表示的平面区域的公共点有()A0个B1个C2个

4、D多数个自主解答由不等式组画出平面区域如图(阴影局部)直线2xy100恰过点A(5,0)，且斜率k2kAB，即直线2xy100与平面区域仅有一个公共点A(5,0)答案B由题悟法二元一次不等式(组)表示平面区域的推断方法：直线定界，测试点定域留意：不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点以题试法1(1)(2012海淀期中)若满意条件的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为()A3 B2C1 D0(2)(2012北京朝阳期末)在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面

5、积是9，则实数a的值为_解析：(1)不等式组所表示的平面区域如图中阴影局部，当a0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a1时，正好增加(1，1)，(0，1)，(1，1)，(2，1)，(3，1)5个整点，故选C.(2)不等式组所表示的平面区域是如图所示的ABC，且A(2,2)，B(a，a4)，C(a，a)，若a0，则有ABC的面积SABC4，故a0，BC的长为2a4，由面积公式可得ABC的面积SABC(a2)(2a4)9，解得a1.答案：(1)C(2)1求目的函数的最值典题导入例2(1)(2012新课标全国卷)设x，y满意约束条件则zx2y的取值范围为_(2)(20

6、12广州调研)已知实数x，y满意若目的函数zaxy(a0)获得最小值时的最优解有多数个，则实数a的值为_自主解答(1)依题意，画出可行域，如图阴影局部所示，明显，当直线yx过点B(1,2)时，z获得最小值为3；当直线过点A(3,0)时，z获得最大值为3，综上可知z的取值范围为3,3(2)画出平面区域所表示的图形，如图中的阴影局部所示，平移直线axy0，可知当平移到与直线2x2y10重合，即a1时，目的函数zaxy的最小值有多数多个答案(1)3,3(2)1若本例(2)条件变为目的函数zaxy(a0)仅在点处获得最小值，其它条件不变，求a的取值范围解：由本例图知，当直线axy0的斜率ka1，即a1

7、时，满意条件，所求a的取值范围为(，1)由题悟法1求目的函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是精确作出可行域，理解目的函数的意义2常见的目的函数有：(1)截距型：形如zaxby.求这类目的函数的最值常将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值(2)间隔 型：形如z(xa)2(yb)2.(3)斜率型：形如z.留意：转化的等价性及几何意义以题试法2(1)设z2xy，其中x，y满意若z的最大值为6，则k的值为_；z的最小值为_(2)已知O是坐标原点，点A(1,0)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则|的最小值是_解析：(1)在坐标平面内画出题中的不

8、等式组表示的平面区域及直线2xy6，结合图形分析可知，要使z2xy的最大值是6，直线yk必过直线2xy6与xy0的交点，即必过点(2,2)，于是有k2；平移直线2xy6，当平移到经过该平面区域内的点(2,2)时，相应直线在y轴上的截距到达最小，此时z2xy获得最小值，最小值是z2(2)22.(2)依题意得，(x1，y)，|可视为点(x，y)与点(1,0)间的间隔 ，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(1,0)向直线xy2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点(1,0)的间隔 最小，因此|的最小值是.答案：(1)22(2)线性规划的实际应用典题导

9、入例3(2012四川高考)某公司消费甲、乙两种桶装产品已知消费甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；消费乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元公司在消费这两种产品的支配中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克通过合理支配消费支配，从每天消费的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A1 800元B2 400元C2 800元 D3 100元自主解答设每天分别消费甲产品x桶，乙产品y桶，相应的利润为z元，则z300x400y，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x400y0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点

10、A(4,4)时，相应直线在y轴上的截距到达最大，此时z300x400y获得最大值，最大值是z300440042 800，即该公司可获得的最大利润是2 800元答案C由题悟法与线性规划有关的应用问题，通常涉及最优化问题如用料最省、获利最大等，其解题步骤是：设未知数，确定线性约束条件及目的函数；转化为线性规划模型；解该线性规划问题，求出最优解；调整最优解以题试法3(2012南通模拟)铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：ab(万吨)c(百万元)A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要消费1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购

11、置铁矿石的最少费用为_百万元解析：可设需购置A铁矿石x万吨，B铁矿石y万吨，则依据题意得到约束条件为目的函数为z3x6y，画出不等式组表示的平面区域如图所示当目的函数经过(1,2)点时目的函数取最小值，最小值为zmin316215.答案：15第四节根本不等式学问能否忆起一、根本不等式1根本不等式成立的条件：a0，b0.2等号成立的条件：当且仅当ab时取等号二、几个重要的不等式a2b22ab(a，bR)；2(a，b同号)ab2(a，bR)；2(a，bR)三、算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，根本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四、

12、利用根本不等式求最值问题已知x0，y0，则：(1)假如积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2.(简记：积定和最小)(2)假如和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)1.在应用根本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否获得”，若忽视了某个条件，就会出现错误2对于公式ab2，ab2，要弄清它们的作用和运用条件及内在联络，两个公式也表达了ab和ab的转化关系3运用公式解题时，既要驾驭公式的正用，也要留意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是ab；(a，b0)逆用就是ab2(a，b0)等还要留意“

13、添、拆项”技巧和公式等号成立的条件利用根本不等式求最值典题导入例1(1)已知x0，则f(x)2x的最大值为_(2)(2012浙江高考)若正数x，y满意x3y5xy，则3x4y的最小值是()A.B.C5 D6自主解答(1)x0，x0，f(x)2x2.(x)24，当且仅当x，即x2时等号成立f(x)2242，f(x)的最大值为2.(2)x0，y0，由x3y5xy得1.3x4y(3x4y)25(当且仅当x2y时取等号)，3x4y的最小值为5.答案(1)2(2)C本例(2)条件不变，求xy的最小值解：x0，y0，则5xyx3y2，xy，当且仅当x3y时取等号xy的最小值为.由题悟法用根本不等式求函数的

14、最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用根本不等式求出最值在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用根本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用根本不等式解题时都必需验证等号成立的条件以题试法1(1)当x0时，则f(x)的最大值为_(2)(2011天津高考)已知log2alog2b1，则3a9b的最小值为_(3)已知x0，y0，xyx2y，若xym2恒成立，则实数m的最大值是_解析：(1)x0，f(x)1，当且仅当x，即x1时取等号(2)由log2alog2b1得log2(ab)1，即ab2，3a9b3a32b23(当

15、且仅当3a32b，即a2b时取等号)又a2b24(当且仅当a2b时取等号)，3a9b23218.即当a2b时，3a9b有最小值18.(3)由x0，y0，xyx2y2，得xy8，于是由m2xy恒成立，得m28，即m10.故m的最大值为10.答案：(1)1(2)18(3)10根本不等式的实际应用典题导入例2(2012江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点已知炮弹放射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与放射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽视其

16、大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由自主解答(1)令y0，得kx(1k2)x20，由实际意义和题设条件知x0，k0，故x10，当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10千米(2)因为a0，所以炮弹可击中目的存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立关于k的方程a2k220aka2640有正根判别式(20a)24a2(a264)0a6.所以当a不超过6千米时，可击中目的由题悟法利用根本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关切的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需仔细阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模

17、型，转化为数学问题求解(2)当运用根本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能运用根本不等式求解，此时可依据变量的范围用对应函数的单调性求解.以题试法2(2012福州质检)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件(1)据市场调查，若价格每进步1元，销售量将相应削减2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，进步年销售量公司确定明年对该商品进展全面技术革新和营销策略改革，并进步定价到x元公司拟投入(x2600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣扬费用，投入x万元作为浮动宣扬费用试问：当该商品明年的销售量a至少应到达

18、多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价解：(1)设每件定价为t元，依题意，有t258，整理得t265t1 0000，解得25t40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元(2)依题意，x25时，不等式ax25850(x2600)x有解，等价于x25时，ax有解x2 10(当且仅当x30时，等号成立)，a10.2.因此当该商品明年的销售量a至少应到达10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元练习题小题能否全取1.(教材习题改编)如图所示的平面区域(阴影局部)，用不等式表示为()A2xy

19、30B2xy30C2xy30 D2xy30解析：选B将原点(0,0)代入2xy3得200330，所以不等式为2xy30.2(教材习题改编)已知实数x、y满意则此不等式组表示的平面区域的面积是()A.B.C1 D.解析：选A作出可行域为如图所示的三角形，S11.3(2012安徽高考)若x，y满意约束条件则zxy的最小值是()A3 B0C. D3解析：选A依据得可行域如图中阴影局部所示，依据zxy得yxz，平移直线yx，当其经过点(0,3)时获得最小值3.4.写出能表示图中阴影局部的二元一次不等式组是_解析：由可行域知不等式组为答案：5完成一项装修工程须要木工和瓦工共同完成请木工需付工资每人50元

20、，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则所请工人数的约束条件是_答案：1(2012三明模拟)已知点(3，1)和点(4，6)在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围为()A(24,7)B(7,24)C(，7)(24，) D(，24)(7，)解析：选B依据题意知(92a)(1212a)0.即(a7)(a24)0，解得7a24.2已知实数对(x，y)满意则2xy取最小值时的最优解是()A6 B3C(2,2) D(1,1)解析：选D约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令z2xy，y2xz，作初始直线l0：y2x，作与l0平行的直线l，则直线经过点(1,1)时

21、，(2xy)min3.3(2012山东高考)设变量x，y满意约束条件则目的函数z3xy的取值范围是()A. B.C1,6 D.解析：选A不等式组表示的平面区域如图所示，目的函数的几何意义是直线在y轴上截距的相反数，其最大值在点A(2,0)处获得，最小值在点B处获得，即最大值为6，最小值为.4在不等式组确定的平面区域中，若zx2y的最大值为3，则a的值是()A1 B2C3 D4解析：选A如图所示，作出可行域，是一个三角形区域，而由图可知，目的函数zx2y在点A(a，a)处获得最值，故a2a3，解得a1.5(2012石家庄质检)已知点Q(5,4)，动点P(x，y)满意则|PQ|的最小值为()A5

22、B.C2 D7解析：选A不等式组所表示的可行域如图所示，直线AB的方程为xy20，过Q点且与直线AB垂直的直线为y4x5，即xy10，其与直线xy20的交点为，而B(1,1)，A(0,2)，因为1，所以点Q在直线xy20上的射影不在线段AB上，则|PQ|的最小值即为点Q到点B的间隔 ，故|PQ|min5.6(2013山东烟台模拟)已知A(3，)，O是坐标原点，点P(x，y)的坐标满意设 Z为在上的投影，则Z的取值范围是()A， B3,3C，3 D3， 解析：选B约束条件所表示的平面区域如图在上的投影为|cos 2cos (为与的夹角)，xOA30，xOB60，30150，2cos 3,37(2

23、013成都月考)若点P(m,3)到直线4x3y10的间隔 为4，且点P在不等式2xy3表示的平面区域内，则m_.解析：由题意可得解得m3.答案：38(2012“江南十校”联考)已知x，y满意则x2y2的最大值为_解析：作出如图所示的可行域x2y2表示可行域内的点到原点的间隔 的平方，易知在点A(3，4)处取最大值(3)2(4)225.答案：259(2012上海高考)满意约束条件|x|2|y|2的目的函数zyx的最小值是_解析：由题意知约束条件表示的可行域为如图所示的菱形区域，所以当x2，y0时，目的函数zyx获得最小值2.答案：210画出不等式组表示的平面区域，并答复下列问题：(1)指出x，y

24、的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解：(1)不等式xy50表示直线xy50上及右下方的点的集合xy0表示直线xy0上及右上方的点的集合，x3表示直线x3上及左方的点的集合所以，不等式组表示的平面区域如图所示结合图中可行域得x，y3,8(2)由图形及不等式组知当x3时，3y8，有12个整点；当x2时，2y7，有10个整点；当x1时，1y6，有8个整点；当x0时，0y5，有6个整点；当x1时，1y4，有4个整点；当x2时，2y3，有2个整点；所以平面区域内的整点共有2468101242(个)11某玩具消费公司每天支配消费卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，消费一个卫兵需5分钟，消费一个骑

25、兵需7分钟，消费一个伞兵需4分钟，已知总消费时间不超过10小时若消费一个卫兵可获利润5元，消费一个骑兵可获利润6元，消费一个伞兵可获利润3元(1)用每天消费的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元)；(2)怎样安排消费任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解：(1)依题意每天消费的伞兵个数为100xy，所以利润W5x6y3(100xy)2x3y300.(2)约束条件为整理得目的函数为W2x3y300，如图所示，作出可行域初始直线l0：2x3y0，平移初始直线经过点A时，W有最大值由得最优解为A(50,50)，所以Wmax550(元)答：每天消费卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大

26、，为550元12变量x、y满意(1)设z，求z的最小值；(2)设zx2y2，求z的取值范围解：由约束条件作出(x，y)的可行域如图所示由解得A.由解得C(1,1)由解得B(5,2)(1)z表示的几何意义是可行域中的点与原点O连线的斜率. 视察图形可知zminkOB.(2)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的间隔 的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的间隔 中，dmin|OC|，dmax|OB|. 故z的取值范围为2,29小题能否全取1(教材习题改编)函数yx(x0)的值域为()A(，22，)B(0，)C2，) D(2，)解析：选Cx0，yx2，当且仅当x1时取等号2已知m0，n0，且

27、mn81，则mn的最小值为()A18 B36C81 D243解析：选Am0，n0，mn218.当且仅当mn9时，等号成立3(教材习题改编)已知0x1，则x的最小值为_解析：xx11415.当且仅当x1，即x3时等号成立答案：55已知x0，y0，lg xlg y1，则z的最小值为_解析：由已知条件lg xlg y1，可得xy10.则2 2，故min2，当且仅当2y5x时取等号又xy10，即x2，y5时等号成立答案：21已知f(x)x2(x0)，则f(x)有 ()A最大值为0B最小值为0C最大值为4 D最小值为4解析：选Cx0，f(x) 2224，当且仅当x，即x1时取等号2(2013太原模拟)设

28、a、bR，已知命题p：a2b22ab；命题q：2，则p是q成立的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B命题p：(ab)20ab；命题q：(ab)20.明显，由p可得q成立，但由q不能推出p成立，故p是q的充分不必要条件3函数y(x1)的最小值是()A22 B22C2 D2解析：选Ax1，x10.yx122 222.当且仅当x1，即x1时，取等号4(2012陕西高考)小王从甲地到乙地来回的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()Aav BvC.v Dv解析：选A设甲、乙两地的间隔 为s，则从甲地到乙地所需时间为，从乙地到甲地所需时间为

29、，又因为ab，所以全程的平均速度为va，即av0，b0，且不等式0恒成立，则实数k的最小值等于()A0 B4C4 D2解析：选C由0得k，而24(ab时取等号)，所以4，因此要使k恒成立，应有k4，即实数k的最小值等于4.7已知x，y为正实数，且满意4x3y12，则xy的最大值为_解析：124x3y2，xy3.当且仅当即时xy获得最大值3.答案：38已知函数f(x)x(p为常数，且p0)若f(x)在(1，)上的最小值为4，则实数p的值为_解析：由题意得x10，f(x)x1121，当且仅当x1时取等号，因为f(x)在(1，)上的最小值为4，所以214，解得p.答案：9(2012朝阳区统考)某公司

30、购置一批机器投入消费，据市场分析每台机器消费的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xN*)则当每台机器运转_年时，年平均利润最大，最大值是_万元解析：每台机器运转x年的年平均利润为18，而x0，故1828，当且仅当x5时，年平均利润最大，最大值为8万元答案：5810已知x0，a为大于2x的常数，(1)求函数yx(a2x)的最大值；(2)求yx的最小值解：(1)x0，a2x，yx(a2x)2x(a2x)2，当且仅当x时取等号，故函数的最大值为.(2)y2 .当且仅当x时取等号故yx的最小值为.11正数x，y满意1.(1)求xy的最小值；(2)求

31、x2y的最小值解：(1)由12 得xy36，当且仅当，即y9x18时取等号，故xy的最小值为36.(2)由题意可得x2y(x2y)19192 196，当且仅当，即9x22y2时取等号，故x2y的最小值为196.12为了响应国家号召，某地确定分批建立保障性住房供应社会首批支配用100万元购得一块土地，该土地可以建立每层1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每上升一层，整层楼每平方米建筑费用进步20元已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元(1)若建筑第x层楼时，该楼房综合费用为y万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出yf(x)的表达式；(2)为了使该楼

32、房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？解：(1)由题意知建筑第1层楼房每平方米建筑费用为720元，建筑第1层楼房建筑费用为7201 000720 000(元)72 (万元)，楼房每上升一层，整层楼建筑费用进步201 00020 000(元)2(万元)，建筑第x层楼房的建筑费用为72(x1)22x70(万元)，建筑第x层楼时，该楼房综合费用为yf(x)72x2100x271x100，综上可知yf(x)x271x100(x1，xZ)(2)设该楼房每平方米的平均综合费用为g(x)，则g(x)10x7102 710910.当且仅当10x，即x10时等号成立综上可知应把楼层建成10层，此时平均综合费用最低，为每平方米910元