八年级数学直角三角形教师讲义带答案.docx

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1、直角三角形一、直角三角形的性质 重点：直角三角形的性质定理与其推论：直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半;推论：1在直角三角形中，假如一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半;2在直角三角形中，假如一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30.难点：1.性质定理的证明方法.2.性质定理与其推论在解题中的应用.二、直角三角形全等的推断重点：驾驭直角三角形全等的断定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等HL难点：创立全等条件与三角形中各定理联络解综合问题。三、角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的间隔 相等. 定

2、理的数学表示：如图4， OE是AOB的平分线，F是OE上一点，且CFOA于点C，DFOB于点D， CFDF. 定理的作用：证明两条线段相等；用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.2.关于三角形三条角平分线的定理：1关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的间隔 相等.定理的数学表示：如图6，假如AP、BQ、CR分别是ABC的内角BAC、 ABC、ACB的平分线，那么： AP、BQ、CR相交于一点I； 假设ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，那么DIEIFI. 定理的作用：用于证明三角形内的线段相等；用

3、于实际中的几何作图问题.2三角形三条角平分线的交点位置与三角形形态的关系：三角形三个内角角平分线的交点肯定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心即内切圆的圆心.3.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：1会作线段的垂直平分线； 2会作角的角平分线；3会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简洁综合问题的图形.四、勾股定理的证明与应用勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：假如直角三角形的两直角边分别为，斜边为，那么勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦早在三千多年前，周朝数学

4、家商高就提出了“勾三，股四，弦五形式的勾股定理，后来人们进一步发觉并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理的证明方法许多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会变更依据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：，化简可证方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为 所以方法三：，化简得证. 勾股定理的适用范围勾股定理提示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角

5、形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因此在应用勾股定理时，必需明了所考察的对象是直角三角形. 勾股定理的应用直角三角形的随意两边长，求第三边在中，那么，知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题假如三角形三边长，满意，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边勾股定理的逆定理是断定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形来确定三角形的可能形态，在运用这肯定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，假设它们相等时，以，为三边的三角形是直角三角形；假设，时，以，为三边的三角形是钝角三角形；假设，时，以，为三边的三角形是锐角三角形；定理中，与只

6、是一种表现形式，不行认为是唯一的，如假设三角形三边长，满意，那么以，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边勾股定理的逆定理在用问题描绘时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形可以构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，为正整数时，称，为一组勾股数记住常见的勾股数可以进步解题速度，如；等用含字母的代数式表示组勾股数：为正整数；为正整数，为正整数勾股定理的应用勾股定理可以扶植我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在运用勾股定理时，必需把握直角三角形的前提条件，理解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进展计

7、算，应设法添加协助线通常作垂线，构造直角三角形，以便正确运用勾股定理进展求解. 勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能扶植我们通过三角形三边之间的数量关系推断一个三角形是否是直角三角形，在详细推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进展比较，切不行不加思索的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 勾股定理与其逆定理的应用勾股定理与其逆定理在解决一些实际问题或详细的几何问题中，是密不行分的一个整体通常既要通过逆定理断定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决常见图形：10、互逆命题的概念假如一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设

8、，这样的两个命题叫做互逆命题。假如把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。勾股定理的作用： 1直角三角形的两边求第三边。 2直角三角形的一边，求另两边的关系。3用于证明线段平方关系的问题。4利用勾股定理，作出长为的线段勾股定理经典例题透析类型一：勾股定理的干脆用法 1、在RtABC中，C=90 (1)a=6， c=10，求b， (2)a=40，b=9，求c； (3)c=25，b=15，求a. 思路点拨: 写解的过程中，肯定要先写上在哪个直角三角形中，留意勾股定理的变形运用。 解析：(1) 在ABC中，C=90，a=6，c=10,b= (2) 在ABC中，C=90，a=40，b=9,c=

9、 (3) 在ABC中，C=90，c=25，b=15,a= 举一反三 【变式】:如图B=ACD=90, AD=13,CD=12, BC=3,那么AB的长是多少 【答案】ACD=90 AD=13, CD=12 AC2 =AD2CD2 =132122 =25 AC=5 又ABC=90且BC=3 由勾股定理可得 AB2=AC2BC2 =5232 =16 AB= 4 AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，：在中，. 求：BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，那么有，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长. 解析：作于D，那么因， 的两个锐角互余 在

10、中，假如一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半. 依据勾股定理，在中， . 依据勾股定理，在中， . . 举一反三【变式1】如图，：，于P. 求证：. 解析：连结BM，依据勾股定理，在中， . 而在中，那么依据勾股定理有 . 又 ， . 在中，依据勾股定理有 ， . 【变式2】：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 分析：如何构造直角三角形是解此题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，依据此题给定的角应选后两种，进一步依据此题给定的边选第三种较为简洁。 解析：延长AD、BC交于E。 A=60，B=90，E=30

11、。 AE=2AB=8，CE=2CD=4， BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=。 DE2= CE2-CD2=42-22=12，DE=。 S四边形ABCD=SABE-SCDE=ABBE-CDDE=类型三：勾股定理的实际应用 一用勾股定理求两点之间的间隔 问题 3、如下图，在一次夏令营活动中，小明从营地A点动身，沿北偏东60方向走了到达B点，然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。 1求A、C两点之间的间隔 。 2确定目的地C在营地A的什么方向。 解析：1过B点作BE/AD DAB=ABE=60 30+CBA+ABE=180 CBA=90 即ABC为直角三角形 由可得：BC=

12、500m，AB= 由勾股定理可得： 所以 2在RtABC中， BC=500m，AC=1000m CAB=30 DAB=60 DAC=30 即点C在点A的北偏东30的方向 举一反三 【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形态如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH如下图，点D在离厂门中线0.8米处，且CD， 与地面交于H 解：OC1米 (大门宽度一半)， OD0.8米 卡车宽度一半 在RtOCD中，由勾股定理得： CD.米， C.米.米 因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通

13、过厂门 二用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进展电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现方案在四个村庄结合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你扶植计算一下，哪种架设方案最省电线 思路点拨：解答此题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进展比较，得出结论 解析：设正方形的边长为1，那么图1、图2中的总线路长分别为 AB+BC+CD3，AB+BC+CD3 图3中，在RtABC中 同理 图3中的路途长为 图4中，延长EF交BC于H，那么FHBC，BHCH 由FBH

14、 与勾股定理得： EAEDFBFC EF12FH1 此图中总线路的长为4EA+EF 32.8282.732 图4的连接线路最短，即图4的架设方案最省电线 举一反三 【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A动身，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程 解： 如图，在Rt中，底面周长的一半cm， 依据勾股定理得 提问：勾股定理 AC cm勾股定理 答：最短路程约为cm类型四：利用勾股定理作长为的线段 5、作长为、的线段。 思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。 作法：如下

15、图 1作直角边为1单位长的等腰直角ACB，使AB为斜边； 2以AB为一条直角边，作另始终角边为1的直角。斜边为； 3顺次这样做下去，最终做到直角三角形，这样斜边、的长度就是 、。 举一反三 【变式】在数轴上表示的点。 解析：可以把看作是直角三角形的斜边， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。 作法：如下图在数轴上找到A点，使OA=3，作ACOA且截取AC=1，以OC为半径， 以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。类型五：逆命题与勾股定理逆定理 6、写出以下原命题的逆命题并推断是否正确 1原命题：猫有四只脚正确 2原命题：对顶角相等

16、正确 3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端间隔 相等正确 4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边间隔 相等正确 思路点拨：驾驭原命题与逆命题的关系。 解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫不正确 2. 逆命题：相等的角是对顶角不正确 3. 逆命题：到线段两端间隔 相等的点，在这条线段的垂直平分线上正确 4. 逆命题：到角两边间隔 相等的点，在这个角的平分线上正确 总结升华：此题是为了学习勾股定理的逆命题做打算。 7、假如ABC的三边分别为a、b、c，且满意a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，推断ABC的形态。 思路点拨：要推断ABC的形态，须要找到a、b、c的关系，而题目中只有

17、条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。 解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ： a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。 (a-3)20, (b-4)20, (c-5)20。 a=3，b=4，c=5。 32+42=52, a2+b2=c2。 由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形。 总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来探讨图形的位置关系的,在证明中也常要用到。 举一反三【变式1】四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形AB

18、CD的面积。 【答案】：连结AC B=90，AB=3，BC=4 AC2=AB2+BC2=25勾股定理 AC=5 AC2+CD2=169，AD2=169 AC2+CD2=AD2 ACD=90勾股定理逆定理 【变式2】:ABC的三边分别为m2n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且mn),推断ABC是否为直角三角形. 分析:此题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明:a2+b2=c2即可 证明： 所以ABC是直角三角形. 【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。 请问FE与DE是否垂直请说明。 【答案】答：DEEF。 证明：设BF=a，那么BE=EC=2a, A

19、F=3a，AB=4a, EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2； DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。 连接DF如图 DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 DF2=EF2+DE2, FEDE。勾股定理经典例题精析类型一：勾股定理与其逆定理的根本用法 1、假设直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再依据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。 解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，依据题意得： 3x2+4x2202 化简得x216

20、； 直角三角形的面积3x4x6x296 总结升华：直角三角形边的有关计算中，经常要设未知数，然后用勾股定理列方程组求解。 举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。 【答案】如图，等边ABC，作ADBC于D 那么：BDBC等腰三角形底边上的高与底边上的中线相互重合 ABACBC2等边三角形各边都相等 BD1 在直角三角形ABD中，AB2AD2+BD2，即：AD2AB2BD2413 AD SABCBCAD 注：等边三角形面积公式：假设等边三角形边长为a，那么其面积为a。【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。 【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，

21、y，依据题意得： 由1得：x+y7， x+y249，x2+2xy+y249 (3) (3)(2)，得：xy12 直角三角形的面积是xy126cm2 【变式3】假设直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。 思路点拨：首先要确定斜边最长的边长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。 解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得： n+12+n+22n+32 化简得：n24 n2，但当n2时，n+1190，BD、CE分别为AC、AB上的高，F为BC的中点，求证：FED=FDE。分析：因为BD、CE分别为AC、AB上的高，所以BDC=BEC=90。在RtBDC中DF为斜边上中线，所以。同

22、理在RtBEC中，所以DF=EF，所以FED=FDE。例7：2021 年上海市中考题：如图6，在ABC中，AD是高，CE是中线。DC=BE，DGCE，G为垂足。求证：1G是CE的中点；2B=2BCE。分析：1E是RtADB斜边上中点，连DE，那么，所以DE=DC。又因为DGCE，所以G为CE的中点。2因为DE=DC，所以1=2。因为EDB=1+2，所以EDB=22。由性质拓展知：B=EDB，所以B=22，即B=2BCE。例8：2021 年呼和浩特市中考如图7，在ABC中，C=2B，D是BC上的一点，且ADAB，点E是BD的中点，连AE。求证：1AEC=C；2求证：BD=2AC。分析：1因为AE

23、是RtBAD斜边BD上中线，由性质拓展可知：AEC=2B。又因为C=2B，所以AEC=C。2由1AEC=C，所以AE=AC，AE是RtBAD斜边上中线。由性质可得：，所以，故BD=2AC。例9：第四届“祖冲之杯初二竞赛如图8，在梯形ABCD中，ABCD，A+B=90，E、F分别是AB、CD的中点。求证：。分析：延长AD、BC交于G，连GE、GF。由于A+B=90，所以G=90。E、F分别为DC、AB中点。由性质可得：。由性质拓展可得：GDE=AGE，GAF=AGF。因为CDAB，所以GDE=GAF，所以AGE=AGF，所以G、E、F三点在同始终线上，所以。例10：如图9，在四边形ABCD中，A

24、CBC，BDAD，且AC=BD，M、N分别是AB、DC边上的中点。求证：MNDC。分析：M是RtADB与RtACB斜边上中点，连DM、CM，由性质可得：，所以DMC为等腰三角形。又因为N为CD的中点，所以MNDC。经典习题精讲1、如下图，BEAC，DFAC，垂足分别为E，F，O是AC与BD的交点且是BD的中点，求证BE=DF。2、如下图，AD是ABC中BAC的平分线，ABC=2C，求证：AB+BD=AC。CABDE3、如下图，在ABC中，B=90，CAE和ACF的平分线相交于D，求D的度数。ABCFD4、如下图，在RtABC中，ACB=90，D为AB的中点，DEBC于E，求证CDE=A。6、如

25、下图，AB/CD，AD=AB=BC，DC=2AB，求证BDBC。7、在等腰三角形中，腰上的高等于腰长的一半，求等腰三角形的顶角的度数。8、如下图，在ABC中，AB=AC，DAAC，BAC=120，求证BD=DC。C9、如下图，在四边形ABCD中，AD/BC，BD=BC，AB=AC，BAC=90，求ABD的度数。10、如下图，D是ABC的边BC的中点，DEAC,DFAB，垂足分别为E,F,且BF=CE,求证AD平分BAC。11、如下图，AD是BAC的平分线，DE,DF分别是ABD, ACD的高，求证AD垂直平分EF。12、如下图，B=90,AD=AB=BC,DEAC,求证BE=DC.13、如下图

26、，AD/BC,DCAD,AE平分BAD，且点E是CD的中点，那么AD,BC与AB之间有何数量关系？14、如下图，POMN,PDOA,PEOB，垂足分别为O,D,E,且PD=PE，求证AOM=BON.15、推断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形。1a=15，b=8，c=17；2a=13，b=14，c=15.ACDPB16、如下图，在ABC中，AB=AC，点P为边BC上一点，且PB=3，PC=7，求AB-AP的值。17、如下图，AB=4，BC=3，CD=13，AD=12，ABBC，求四边形ABCD的面积。DACB18、如下图，有一块边长为24cm的正方形绿地，在绿地旁边B处有健身器材，B

27、C=10m。由于居住在A处的居民践踏了绿地，小颖想在A处立一个标牌：“少走 米，踏之何忍？小颖不知 处应填什么数字，你能通过计算帮助小颖在标牌的 处填上适当的数字吗？19、a，b，c为ABC的三边，且满意，试推断ABC的形态。DFCEBA20、如下图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=BC，求证AFEF。21、四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图甲所示，它是由四个一样的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，假设大正方形的面为13，每个直角三角形两条直角边的和是5，求中间的小正方形的面积。22、如下图，在四边形ABCD中，BD平分ABC, BAD+C=180,求证AD=CD.23、如下图，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使C点落在C处，BC交AD于E，AD=8,AB=4,求BED的面积。24、假设a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出以下结论：1以的长为边的三条线段能组成一个三角形。2以的长为边的三条线段能组成一个三角形。3以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形。4以的长为边的三条线段组成直角三角形。其中正确结论的序号是 。DCBAO25、如下图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，但ADCD，