高中数学教案三角函数的图象与性质.docx
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1、精编习题三角函数的图象及性质一、学问网络 二、高考考点(一)三角函数的性质1、三角函数的定义域,值域或最值问题;2、三角函数的奇偶性及单调性问题;常见题型为:三角函数为奇函数(或偶函数)的充要条件的应用;寻求三角函数的单调区间;比拟大小的推断等.3、三角函数的周期性;寻求 型三角函数的周期以及难度较高的含有肯定值的三角函数的周期.(二)三角函数的图象1、根本三角函数图象的变换;2、 型三角函数的图象问题;重点是“五点法”作草图的逆用:由给出的一段函数图象求函数解析式;3、三角函数图象的对称轴或对称中心:寻求或应用;4、利用函数图象解决应用问题.(三)化归实力以及关于三角函数的认知变换程度.三、
2、学问要点(一)三角函数的性质1、定义域及值域2、奇偶性(1)根本函数的奇偶性奇函数:ysinx,ytanx;偶函数:ycosx.(2) 型三角函数的奇偶性()g(x) (xR)g(x)为偶函数 由此得 ;同理, 为奇函数 .() 为偶函数 ; 为奇函数 .3、周期性(1)根本公式()根本三角函数的周期ysinx,ycosx的周期为 ;ytanx,ycotx的周期为 .() 型三角函数的周期 的周期为 ; 的周期为 .(2)认知() 型函数的周期 的周期为 ; 的周期为 .() 的周期 的周期为; 的周期为 .均同它们不加肯定值时的周期一样,即对y 的解析式施加肯定值后,该函数的周期不变.留意这
3、一点及()的区分.()若函数为 型两位函数之和,则探求周期适于“最小公倍数法”.()探求其它“杂”三角函数的周期,根本策略是试验猜测证明.(3)特别情形探讨()ytanxcotx的最小正周期为 ;() 的最小正周期为 ;()ysin4xcos4x的最小正周期为 .由此领悟“最小公倍数法”的适用类型,以防施错对象.4、单调性(1)根本三角函数的单调区间(族)依从三角函数图象识证“三部曲”:选周期:在原点旁边选取那个包含全部锐角,单调区间完好,并且最好关于原点对称的一个周期;写特解:在所选周期内写出函数的增区间(或减区间);获通解:在中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍,即得这一函数
4、的增区间族(或减区间族)循着上述三部曲,便可得出课本中标准的三角函数的单调区间族.提醒:上述“三部曲”也合适于寻求简洁三角不等式的解集或探求三角函数的定义域.(2)y 型三角函数的单调区间此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为换元、分解:令u ,将所给函数分解为内、外两层:yf(u),u ;套用公式:依据对复合函数单调性的认知,确定出f(u)的单调性,而后利用(1)中公式写出关于u的不等式;复原、结论:将u 代入中u的不等式,解出x的取值范围,并用集合或区间形成结论.(二)三角函数的图象1、对称轴及对称中心(1)根本三角函数图象的对称性()正弦曲线ysinx的对称轴为 ;正弦曲线ysinx的对
5、称中心为( ,0) .()余弦曲线ycosx的对称轴为 ;余弦曲线ycosx的对称中心 ()正切曲线ytanx的对称中心为 ;正切曲线ytanx无对称轴.认知:两弦函数的共性:x 为两弦函数f(x)对称轴 为最大值或最小值;( ,0)为两弦函数f(x)对称中心 0.正切函数的特性:( ,0)为正切函数f(x)的对称中心 0或 不存在.(2) 型三角函数的对称性(听从上述认知)()对于g(x) 或g(x) 的图象x 为g(x)对称轴 为最值(最大值或最小值);( ,0)为两弦函数g(x)对称中心 0.()对于g(x) 的图象( ,0)为两弦函数g(x)的对称中心 0或 不存在.2、根本变换(1)
6、对称变换(2)振幅变换(纵向伸缩)(3)周期变换(横向伸缩)(4)相位变换(左右平移)(5)上、下平移3、y 的图象(1)五点作图法(2)对于A,T, , 的认知及寻求:A:图像上最高点(或最低点)到平衡位置的间隔 ; 2A:图像上最高点及最低点在y轴上投影 间的间隔 . :图象的相邻对称轴(或对称中心)间的间隔 ; :图象的对称轴及相邻对称中心间的间隔 . : 由T 得出. :解法一:运用“代点法”求解,以图象的最高点(或最低点)坐标代入为上策,若以图象及x轴交点坐标代入函数式求 ,则须留意检验,以防所得 值为增根;解法二:逆用“五点作图法”的过程(参见经典例题).四、经典例题例1、求下列函
7、数的值域:(1) (2) (3) (4) (5) (6) 分析:对于形如(1)(2)(3)的函数求值域,根本策略是()化归为 的值域;()转化为sinx(或cosx)的二次函数;对于(4)(5)(6)之类含有肯定值的函数求值域,根本策略则是()在适当的条件下考察y2;()转化为分段函数来处理;()运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化.解:(1) ,即所求函数的值域为 .(2)由 留意到这里xR, , 所求函数的值域为1,1.(3)这里 令sinxcosxt则有 且由 于是有 因此,所求函数的值域为 .(4)留意到这里y0,且 即所求函数的值域为 .(5)留意到所给函数为偶函数,又当 此时
8、同理,当 亦有 .所求函数的值域为 .(6)令 则易见f(x)为偶函数,且 是f(x)的一个正周期.只需求出f(x)在一个周期上的取值范围.当x0, 时, 又留意到 ,x 为f(x)图象的一条对称轴只需求出f(x)在0, 上的最大值.而在0, 上, 递增. 亦递增由得f(x)在0, 上单调递增. 即 于是由、得所求函数的值域为 .点评:解(1)(2)运用的是根本化归方法;解(3)运用的是求解关于sinxcosx及sinxcosx的函数值域的特定方法;解(4)借助平方转化;解(5)(6)则是利用函数性质化繁为简,化暗为明.这一点在解(6)时表现得淋漓尽致.例2、求下列函数的周期:(1) ;(2)
9、 ;(3) ;(4) ;(5) 分析:及求值域的情形相像,求三角函数的周期,首选是将所给函数化为 k的形式,而后运用已知公式.对于含有肯定值的三角函数,在不能利用已有认知的状况下,设法转化为分段函数来处理.解:(1) 所求最小正周期 .(2) 所求周期 .(3) .留意到 的最小正周期为 ,故所求函数的周期为 .(4) 留意到3sinx及-sinx的周期为2 ,又sinx0(或sinx0)的解区间重复出现的最小正周期为2 .所求函数的周期为2 .(5) 留意到sin2x的最小正周期 ,又sinx0(或sinx0)个单位,所得的图象关于y轴对称,则m的最小正值为 。(5)对于函数 ,给出四个论断
10、:它的图象关于直线x 对称;它的图象关于点( ,0)对称;它的周期为 ;它在区间 ,0上单调递增.以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的命题,它是。分析:(1)这里 的递增区间 的正号递减区间 递增且 应填 (2)由f(x)递增得 易见, 由f(x)递减得 当k0时, 留意到 而不会属于其它减区间,故知这里a的最大值为 .(3)()令 所给函数图象的对称中心为( ,0) ;() 解法一(干脆寻求)在中令 则有又在中令k0得 ,令k1得 所求间隔 为 解法二(借助转化):留意到所求间隔 等于函数的最小周期的一半,又由得这一函数的最小正周期为T ,故所求间隔 为 .(4
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