高中数学选修22全套知识点及练习复习资料解析.docx

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1、选修2-2 学问点及习题答案解析导数及其应用1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数在处的瞬时变更率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即=2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点趋近于时，直线及曲线相切。简单知道，割线的斜率是，当点趋近于时，函数在处的导数就是切线的斜率k，即3. 导函数：当x变更时，便是x的一个函数，我们称它为的导函数. 的导函数有时也记作,即根本初等函数的导数公式:1假设(c为常数)，那么； 2 假设,那么;3 假设,那么 4 假设,那么;5 假设,那么 6 假设,那么7 假设,那么 8 假设,那么导数的运算法那么1. 2. 3. 复合函数求导

2、和,称那么可以表示成为的函数,即为一个复合函数1.函数的单调性及导数: 一般的,函数的单调性及其导数的正负有如下关系： 在某个区间内(1)假如，那么函数在这个区间单调递增；(2)假如，那么函数在这个区间单调递减.极值反映的是函数在某一点旁边的大小状况. 求函数的极值的方法是:1假如在旁边的左侧,右侧,那么是极大值2假如在旁边的左侧,右侧,那么是微小值;4.函数的最大(小)值及导数 求函数在上的最大值及最小值的步骤： 1求函数在内的极值；（2） 将函数的各极值及端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.推理及证明考点一 合情推理及类比推理依据一类事物的部分对象具有某种性质,退

3、出这类事物的全部对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特别到一般的过程,它属于合情推理依据两类不同事物之间具有某些类似(或一样)性,推想其中一类事物具有及另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.类比推理的一般步骤:(1) 找出两类事物的相像性或一样性;(2) 用一类事物的性质去推想另一类事物的性质,得出一个明确的命题(揣测);(3) 一般的,事物之间的各特性质并不是孤立存在的,而是互相制约的.假如两个事物在某些性质上一样或相像,那么他们在另一写性质上也可能一样或类似,类比的结论可能是真的.(4) 一般状况下,假如类比的相像性越多,相像的性质及推想的性质之间越相关,那么类比得出的命

4、题越牢靠.考点二 演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特别命题的过程,这种推理称为演绎推理.考点三 数学归纳法1. 它是一个递推的数学论证方法.2. 步骤.命题在1或时成立，这是递推的根底；B.假设在时命题成立； C.证明1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n=,且)结论都成立。考点三 证明1. 反证法: 2、分析法: 3、综合法:数系的扩大和复数的概念复数的概念(1) 复数:形如的数叫做复数，和分别叫它的实部和虚部.(2) 分类:复数中,当,就是实数; ,叫做虚数;当时,叫做纯虚数.(3) 复数相等:假如两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.(4) 共轭复数:当

5、两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴。(6) 两个实数可以比较大小，但两个复数假如不全是实数就不能比较大小。复数的运算1.复数的加，减，乘，除按以下法那么进展设那么1 2 3 2,几个重要的结论(1) (2) (3)假设为虚数,那么(1) ;(2) ;(3)4.关于虚数单位i的一些固定结论：1 2 3 2练习一组一、选择题1在平均变更率的定义中，自变量x在x0处的增量x()A大于零B小于零C等于零 D不等于零答案D解析x可正，可负，但不为0，故应选D.2设函数yf(x)，当自变

6、量x由x0变更到x0x时，函数的变更量y为()Af(x0x) Bf(x0)xCf(x0)x Df(x0x)f(x0)答案D解析由定义，函数值的变更量yf(x0x)f(x0)，故应选D.3函数f(x)x2x，那么f(x)从1到0.9的平均变更率为()A3 C2.09 答案D解析f(1)(1)2(1)2.f(0.9)(0.9)2(0.9)1.71.平均变更率为2.9，故应选D.4函数f(x)x24上两点A，B，1，1.3，那么直线的斜率为()A2 C2.09 答案B解析f(1)5，f(1.3)5.69.2.3，故应选B.5函数f(x)x22x，函数f(x)从2到2x的平均变更率为()A2x B2x

7、C2x D(x)22x答案B解析f(2)22220，f(2x)(2x)22(2x)2x(x)2，2x，故应选B.6函数yx21的图象上一点(1,2)及邻近一点(1x,2y)，那么等于()A2 B2xC2x D2(x)2答案C解析2x.故应选C.7质点运动规律S(t)t23，那么从3到3.3内，质点运动的平均速度为()A6.3 C3.3 答案A解析S(3)12，S(3.3)13.89，平均速度6.3，故应选A.8在x1旁边，取x0.3，在四个函数yx、yx2、yx3、y中，平均变更率最大的是()ABCD答案B解析x0.3时，yx在x1旁边的平均变更率k11；yx2在x1旁边的平均变更率k22x2

8、.3；yx3在x1旁边的平均变更率k333x(x)23.99；y在x1旁边的平均变更率k4.k3k2k1k4，故应选B.9物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数ss(t)，那么物体在时间间隔t0，t0t内的平均速度是()Av0 答案C解析由平均变更率的概念知C正确，故应选C.10曲线yx2和这条曲线上的一点，Q是曲线上点P旁边的一点，那么点Q的坐标为() 答案C解析点Q的横坐标应为1x，所以其纵坐标为f(1x)(x1)2，故应选C.二、填空题11函数yx32，当x2时，.答案(x)26x12解析(x)26x12.12在x2旁边，x时，函数y的平均变更率为答案解析.13函数y在x1旁

9、边，当x时的平均变更率为答案2解析2.14曲线yx21上两点A(2,3)，B(2x,3y)，当x1时，割线的斜率是；当x0.1时，割线的斜率是解析当x1时，割线的斜率k15.当x0.1时，割线的斜率k24.1.三、解答题15函数f(x)2x1，g(x)2x，分别计算在区间3，1，0,5上函数f(x)及g(x)的平均变更率解析函数f(x)在3，1上的平均变更率为2.函数f(x)在0,5上的平均变更率为2.函数g(x)在3，1上的平均变更率为2.函数g(x)在0,5上的平均变更率为2.16过曲线f(x)的图象上两点A(1,2)，B(1x,2y)作曲线的割线，求出当x时割线的斜率解析割线的斜率k.1

10、7求函数yx2在x1、2、3旁边的平均变更率，推断哪一点旁边平均变更率最大？解析在x2旁边的平均变更率为k12x；在x2旁边的平均变更率为k24x；在x3旁边的平均变更率为k36x.对随意x有，k1k2k3，在x3旁边的平均变更率最大C处沿直线分开路灯(1)求身影的长度y及人距路灯的间隔 x之间的关系式；(2)求人分开路灯的第一个10s内身影的平均变更率解析(1)如下图，设人从C点运动到B处的路程为，为身影长度，的长度为，由于，那么，即，所以yf(x)x.(2)841.4，在0,10内自变量的增量为x2x11.4101.4014，f(x2)f(x1)140.所以.即人分开路灯的第一个10s内身

11、影的平均变更率为.练习二组一、选择题1函数在某一点的导数是()A在该点的函数值的增量及自变量的增量的比B一个函数C一个常数，不是变数D函数在这一点到它旁边一点之间的平均变更率答案C解析由定义，f(x0)是当x无限趋近于0时，无限趋近的常数，故应选C.2假如质点A依据规律s3t2运动，那么在t03时的瞬时速度为()A6B18C54D81答案B解析s(t)3t2，t03，ss(t0t)s(t0)3(3t)233218t3(t)2183t.当t0时，18，故应选B.3yx2在x1处的导数为()A2xB2C2x D1答案B解析f(x)x2，x1，yf(1x)2f(1)(1x)212x(x)22x当x0

12、时，2f(1)2，故应选B.4一质点做直线运动，假设它所经过的路程刚好间的关系为s(t)4t23(s(t)的单位：m，t的单位：s)，那么t5时的瞬时速度为()A37B38C39D40答案D解析404t，s(5) (404t)40.故应选D.5函数yf(x)，那么以下说法错误的选项是()Ayf(x0x)f(x0)叫做函数值的增量叫做函数在x0到x0x之间的平均变更率Cf(x)在x0处的导数记为yDf(x)在x0处的导数记为f(x0)答案C解析由导数的定义可知C错误故应选C.6函数f(x)在xx0处的导数可表示为yx0，即()Af(x0)f(x0x)f(x0)Bf(x0)f(x0x)f(x0)C

13、f(x0)Df(x0) 答案D解析由导数的定义知D正确故应选D.7函数y2c(a0，a，b，c为常数)在x2时的瞬时变更率等于()A4a B2abCb D4ab答案D解析4abax，y2 (4abax)4ab.故应选D.8假如一个函数的瞬时变更率到处为0，那么这个函数的图象是()A圆 B抛物线C椭圆 D直线答案D解析当f(x)b时，f(x)0，所以f(x)的图象为一条直线，故应选D.9一物体作直线运动，其位移s刚好间t的关系是s3tt2，那么物体的初速度为()A0 B3C2 D32t答案B解析3t，s(0) 3.故应选B.10设f(x)，那么 等于()A C 答案C解析 .二、填空题11函数y

14、f(x)在xx0处的导数为11，那么； .答案11，解析 f(x0)11； f(x0).12函数yx在x1处的导数是答案0解析yx1，.y1 0.13函数f(x)4，假设f(2)2，那么a等于答案2解析a，f(1) a.a2.14f(x0) ，f(3)2，f(3)2，那么 的值是答案8解析 .由于f(3)2，上式可化为 3 23(2)8.三、解答题15设f(x)x2，求f(x0)，f(1)，f(2)解析由导数定义有f(x0) 2x0，16枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，假如它的加速度是5.01052，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6103s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度解析位移公式为s2sa

15、(t0t)20ta(t)20at， 0，a5.01052，t01.6103s，0800.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800.17 在曲线yf(x)x23的图象上取一点P(1,4)及旁边一点(1x,4y)，求(1)(2)f(1)解析(1)2x.(2)f(1) (2x)2.18函数f(x)(1x)在点x00处是否有导数？假设有，求出来，假设没有，说明理由解析f(x)yf(0x)f(0)f(x) (1x)1， (1x)1， ，x0时，无极限函数f(x)(1x)在点x00处没有导数，即不行导(x0表示x从大于0的一边无限趋近于0，即x0且x趋近于0)练习三组1假如曲线yf(x)在点(x0，f(x0)

16、处的切线方程为x2y30，那么()Af(x0)0Bf(x0)0Cf(x0)0 Df(x0)不存在答案B解析切线x2y30的斜率k，即f(x0)0.故应选B.2曲线yx22在点处切线的倾斜角为()A1 D答案B解析y (xx)x切线的斜率ky11.切线的倾斜角为，故应选B.3在曲线yx2上切线的倾斜角为的点是()A(0,0) B(2,4) 答案D解析易求y2x，设在点P(x0，)处切线的倾斜角为，那么2x01，x0，.4曲线yx33x21在点(1，1)处的切线方程为()Ay3x4 By3x2Cy4x3 Dy4x5答案B解析y3x26x，y13.由点斜式有y13(x1)即y3x2.5设f(x)为可

17、导函数，且满意 1，那么过曲线yf(x)上点(1，f(1)处的切线斜率为()A2B1 C1D2答案B解析 1，即y11，那么yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为1，应选B.6设f(x0)0，那么曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线()A不存在 B及x轴平行或重合C及x轴垂直 D及x轴斜交答案B解析由导数的几何意义知B正确，故应选B.7曲线yf(x)在x5处的切线方程是yx8，那么f(5)及f(5)分别为()A3,3 B3，1C1,3 D1，1答案B解析由题意易得：f(5)583，f(5)1，故应选B.8曲线f(x)x3x2在P点处的切线平行于直线y4x1，那么P点的坐标为()A(

18、1,0)或(1，4) B(0,1)C(1,0) D(1,4)答案A解析f(x)x3x2，设x0，y3x3x0(x)2(x)3x，313x0(x)(x)2，f(x0)31，又k4，314，1.x01，故P(1,0)或(1，4)，故应选A.9设点P是曲线yx3x上的随意一点，P点处的切线倾斜角为，那么的取值范围为() 答案A解析设P(x0，y0)，f(x) 3x2，切线的斜率k3，3.故应选A.10设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为0，那么点P横坐标的取值范围为()A1， B1,0C0,1 D，1答案A解析考察导数的几何意义y2x2，且切线倾斜角0，切线的斜率

19、k满意0k1，即02x21，1x.11函数f(x)x23，那么f(x)在(2，f(2)处的切线方程为答案4xy10解析f(x)x23，x02f(2)7，yf(2x)f(2)4x(x)24x. f(2)4.又切线过(2,7)点，所以f(x)在(2，f(2)处的切线方程为y74(x2)即4xy10.12假设函数f(x)x，那么它及x轴交点处的切线的方程为答案y2(x1)或y2(x1)解析由f(x)x0得x1，即及x轴交点坐标为(1,0)或(1,0)f(x) 1.切线的斜率k12.切线的方程为y2(x1)或y2(x1)13曲线C在点P(x0，y0)处有切线l，那么直线l及曲线C的公共点有个答案至少一

20、解析由切线的定义，直线l及曲线在P(x0，y0)处相切，但也可能及曲线其他部分有公共点，故虽然相切，但直线及曲线公共点至少一个14曲线yx33x26x10的切线中，斜率最小的切线方程为答案3xy110解析设切点P(x0，y0)，那么过P(x0，y0)的切线斜率为，它是x0的函数，求出其最小值设切点为P(x0，y0)，过点P的切线斜率k36x063(x01)2x01时k有最小值3，此时P的坐标为(1，14)，其切线方程为3xy110.三、解答题15求曲线y上一点处的切线方程解析y .y4，曲线在点处的切线方程为：y(x4)即5x16y80.16函数f(x)x33x及yf(x)上一点P(1，2)，

21、过点P作直线l.(1)求使直线l和yf(x)相切且以P为切点的直线方程；(2)求使直线l和yf(x)相切且切点异于点P的直线方程yg(x)解析(1)y 3x23.那么过点P且以P(1，2)为切点的直线的斜率k1f(1)0，所求直线方程为y2.(2)设切点坐标为(x0，3x0)，那么直线l的斜率k2f(x0)33，直线l的方程为y(3x0)(33)(xx0)又直线l过点P(1，2)，2(3x0)(33)(1x0)，3x02(33)(x01)，解得x01(舍去)或x0.故所求直线斜率k33，于是：y(2)(x1)，即yx.17求证：函数yx图象上的各点处的切线斜率小于1.解析y 11，yx图象上的

22、各点处的切线斜率小于1.18直线l1为曲线yx2x2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积解析(1)y1 3，所以l1的方程为：y3(x1)，即y3x3.设l2过曲线yx2x2上的点B(b，b2b2)，yb 2b1，所以l2的方程为：y(b2b2)(2b1)(xb)，即y(2b1)xb22.因为l1l2，所以3(2b1)1，所以b，所以l2的方程为：yx.(2)由得即l1及l2的交点坐标为.又l1，l2及x轴交点坐标分别为(1,0)，.所以所求三角形面积S.练习三组1以下结论不正确的选项是()A假

23、设y0，那么y0B假设y5x，那么y5C假设yx1，那么yx2 答案D2.曲线yx32在点处切线的倾斜角为()A30B45C135 D60答案B解析y11，倾斜角为45.3.函数y(x1)2(x1)在x1处的导数等于()A1 B2 C3 D4答案D解析y(x1)2(x1)(x1)2(x1)2(x1)(x1)(x1)23x22x1，y14.4.设f(x)32d(a0)，那么f(x)为R上增函数的充要条件是()Ab240Bb0，c0Cb0，c0 Db230，f(x)为增函数，f(x)322c0恒成立，(2b)243ac4b2120，b230，右侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值D

24、假如在点x0旁边的左侧f(x)0，那么f(x0)是极大值答案C解析导数为0的点不肯定是极值点，例如f(x)x3，f(x)3x2，f(0)0，但x0不是f(x)的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.6.函数yf(x)在区间a，b上的最大值是M，最小值是m，假设Mm，那么f(x)()A等于0B大于0C小于0 D以上都有可能答案A解析Mm，yf(x)是常数函数f(x)0，故应选A.7.内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为()ARB2R RR答案C解析设圆锥高为h，底面半径为r，那么R2(Rh)2r2，r22h2Vr2hh(2h2)2h3Vh2.令V0得hR.当0h0；当h2R时，V

25、g(x)，所以阴影部分的面积为f(x)g(x).12f(x)x3的切线的斜率等于1，那么其切线方程有()A1个B2个C多于两个 D不能确定答案B解析f(x)x3，f(x)3x2，令3x21，得x，即切点坐标为或.由点斜式可得切线方程为yx或yx，即yx或yx.故应选B.13.假设曲线yx2b在点(0，b)处的切线方程是xy10，那么()Aa1，b1Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1答案A解析y2xa，y0(2xa)0a1，将(0，b)代入切线方程得b1.14.关于归纳推理，以下说法正确的选项是()A归纳推理是一般到一般的推理B归纳推理是一般到个别的推理C归纳推理的结论肯定是正确的D归纳推理

26、的结论是或然性的答案D解析归纳推理是由特别到一般的推理，其结论的正确性不肯定故应选D.15.以下说法正确的选项是()A由合情推理得出的结论肯定是正确的B合情推理必需有前提有结论C合情推理不能揣测D合情推理得出的结论无法断定正误答案B解析由合情推理得出的结论不肯定正确，A不正确；B正确；合情推理的结论本身就是一个揣测，C不正确；合情推理结论可以通过证明来断定正误，D也不正确，故应选B.16.“四边形是矩形，四边形的对角线相等，补充以上推理的大前提是()A正方形都是对角线相等的四边形B矩形都是对角线相等的四边形C等腰梯形都是对角线相等的四边形D矩形都是对边平行且相等的四边形答案B解析由大前提、小前

27、提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形故应选B.17.证明命题“f(x)在(0，)上是增函数，一个同学给出的证法如下：f(x)，f(x).x0，1,00，即f(x)0，f(x)在(0，)上是增函数，他运用的证明方法是()A综合法B分析法C反证法 D以上都不是答案A解析该证明方法符合综合法的定义，应为综合法故应选A.18.否认结论“至多有两个解的说法中，正确的选项是()A有一个解B有两个解C至少有三个解 D至少有两个解答案C解析在逻辑中“至多有n个的否认是“至少有n1个，所以“至多有两个解的否认为“至少有三个解，故应选C.19.用数学归纳法证明11)时，第一步应验证不等式()A10，b0，b0Ca0，b0 Da0答案D解析复数za在复平面内的对应点坐标为(a，b)，该点在第二象限，需a0，故应选D.24是虚数单位，()iii i答案B解析i，应选B.25.复数z是实数的充分而不必要条件为()AzBzCz2是实数 Dz是实数答案A解析由z可知z必为实数，但由z为实数不肯定得出z，如z2，此时z，故z是z为实数的充分不必要条件，应选A.26.复数i3(1i)2()A2B2 C2iD2i答案A解析考察复数代数形式的运算i3(1i)2i(2i)2.27.复数2()A34iB34iC34i D34i答案A解析234i.