高中物理竞赛辅导动量 角动量和能量.docx

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1、高中物理竞赛力学教程 动量 角动量和能量4.1 动量与冲量 动量定理 41 1动量在牛顿定律建立以前，人们为了量度物体作机械运动的“运动量”，引入了动量的概念。当时在探讨碰撞和打击问题时相识到：物体的质量和速度越大，其“运动量”就越大。物体的质量和速度的乘积mv遵从肯定的规律，例如，在两物体碰撞过程中，它们的变更必定是数值相等、方向相反。在这些事实根底上，人们就引用mv来量度物体的“运动量”，称之为动量。 412冲量要使原来静止的物体获得某一速度，可以用较大的力作用较短的时间或用较小的力作用较长的时间，只要力F和力作用的时间的乘积一样，所产生的变更这个物体的速度效果就一样，在物理学中把F叫做冲

2、量。 413质点动量定理由牛顿定律，简单得出它们的联络：对单个物体： 即冲量等于动量的增量，这就是质点动量定理。 在应用动量定理时要留意它是矢量式，速度的变更前后的方向可以在一条直线上，也可以不在一条直线上，当不在始终线上时，可将矢量投影到某方向上，重量式为： 对于多个物体组成的物体系，依据力的作用者划分成内力和外力。对各个质点用动量定理： 第1个 外+内= 第2个 外+内= 第n个 外+内= 由牛顿第三定律： 内+内+内=0因此得到：外+外+ +外=（+）-（+） 即：质点系全部外力的冲量和等于物体系总动量的增量。 4，2 角动量 角动量守恒定律动量对空间某点或某轴线的矩，叫动量矩，也叫角动

3、量。它的求法跟力矩完全一样，只要把力F换成动量P即可，故B点上的动量P对原点O的动量矩J为 OB （） 以下介绍两个定理：（1）.角动量定理：质点对某点或某轴线的动量矩对时间的微商，等于作用在该质点上的力比照同点或同轴的力矩，即 （为力矩）。（2）角动量守恒定律 假如质点不受外力作用，或虽受外力作用，但诸外力对某点的合力矩为零，则对该点来讲，质点的动量矩J为一恒矢量，这个关系叫做角动量守恒定律 即 rF=0，则J=rmv=rP=恒矢量4.3动量守恒定律 动量守恒定律是人们在长期理论的根底上建立的，首先在碰撞问题的探讨中发觉了它，随着理论范围的扩大，逐步相识到它具有普遍意义， 对于互相作用的系统

4、，在合外力为零的状况下，由牛顿第二定律和牛顿第三定律可得出物体的总动量保持不变。即： +=上式就是动量守恒定律的数学表达式。应用动量守恒定律应留意以下几点：（1）动量是矢量，互相作用的物体组成的系统的总动量是指组成物体系的全部物体的动量的矢量和，而不是代数和，在详细计算时，常常采纳正交分解法，写出动量守恒定律的重量方程，这样可把矢量运算转化为代数运算，（2）在合外力为零时，尽管系统的总动量恒定不变，但组成系统的各个物体的动量却可能不断变更，系统的内力只能变更系统内物体的动量，却不能变更系统的总动量。在合外力不为零时，系统的总动量就要发生变更，但在垂直于合外力方向上系统的动量应保持不变，即合外力

5、的重量在某一方向上为零，则系统在该方向上动量重量守恒。（3）动量守恒定律成立的条件是合外力为零，但在处理实际问题时，系统受到的合外力不为零，若内力远大于外力时，我们仍可以把它当作合外力为零进展处理，动量守恒定律成立。如遇到碰撞、爆炸等时间极短的问题时，可忽视外力的冲量，系统动量近似认为守恒。 （4）动量守恒定律是由牛顿定律导出的，牛顿定律对于分子、原子等微观粒子一般不适用，而动量守恒定律却仍适用。因此，动量守恒定律是一条根本规律，它比牛顿定律具有更大的普遍性。 动量守恒定律的推广 由于一个质点系在不受外力的作用时，它的总动量是守恒的，所以一个质点系的内力不能变更它质心的运动状态，这个探讨包含了

6、三层含意：图4-3-2图4-3-1（1）假如一个质点系的质心原来是不动的，那么在无外力作用的条件下，它的质心始终不动，即位置不变。（2）假如一个质点系的质心原来是运动的，那么在无外力作用的条件下，这个质点系的质心将以原来的速度做匀速直线运动。（3）假如一个质点系的质心在某一个外力作用下作某种运动，那么内力不能变更质心的这种运动。比方某一物体原来做抛体运动，假如突然炸成两块，那么这两块物体的质心仍旧接着做原来的抛体运动。 假如一个质量为的半圆形槽A原来静止在程度面上，原槽半径为R。将一个质量为的滑块B由静止释放（图4-3-1），若不计一切摩擦，问A的最大位移为多少？ 由于A做的是较困难的变加速运

7、动，因此很难用牛顿定律来解。由程度方向动量守恒和机械能守恒，可知B肯定能到达槽A右边的最高端，而且这一瞬间A、B相对静止。因为A、B组成的体系原来在程度方向的动量为零，所以它的质心位置应当不变，初始状态A、B的质心间隔 圆槽最低点的程度间隔 为：。所以B滑到槽A的右边最高端时，A的位移为（图4-3-2） 假如原来A、B一起以速度向右运动，用胶水将B粘在槽A左上端，某一时刻胶水突然失效，B开场滑落，仍旧忽视一切摩擦。设从B脱落到B再次与A相对静止的时间是，那么这段时间内A运动了多少间隔 ？ B脱落后，A将开场做变加速运动，但A、B两物体的质心仍旧以速度向右运动。所以在时间内A运动的间隔 为：4.

8、4 功和功率sF0图4-4-1441功的概念力和力的方向上位移的乘积称为功。即 式中是力矢量F与位移矢量s之间的夹角。功是标量，有正、负。外力对物体的总功或合外力对物体所做功等于各个力对物体所做功的代数和。 对于变力对物体所做功，则可用求和来表示力所做功，即 也可以用F=F（s）图象的“面积”来表示功的大小，如图4-4-1所示。 由于物体运动与参照系的选择有关，因此在不同的参照系中，功的大小可以有不同的数值，但是一对作用力与反作用力做功之和与参照系的选择无关。因为作用力反作用力做功之和取决于力和相对位移，相对位移是与参照系无关的。值得留意的是，功的定义式中力F应为恒力。如F为变力中学阶段常用如

9、下几种处理方法：（1）微元法；（2）图象法；（3）等效法。图4-4-2442. 几种力的功下面先介绍一下“保守力”与“耗散力”。 具有“做功与途径无关”这一特点的力称为保守力，如重力、弹力和万有引力都属于保守力。不具有这种特点的力称为非保守力，也叫耗散力，如摩擦力。（1）重力的功重力在地球旁边一个小范围内我们认为是恒力，所以从高度处将重力为mg的物移到高处。重力做功为：，明显与运动途径无关。（2）弹簧弹力的功 物体在弹簧弹力F=-kx的作用下，从位置运动至位置，如图4-4-2（a）所示，其弹力变更F=F（x）如图4-4-2（b）所示则该过程中弹力的功W可用图中斜线“面积”表示，功大小为（3）万

10、有引力的功 质量m的质点在另一质量M的质点的作用下由相对间隔 运动至相对间隔 的过程中，引力所做功为 443.功率作用于物体的力在单位时间内所做功称为功率，表达式为求瞬时功率，取时间则为式中v为某时刻的瞬时速度，为此刻v与F方向的夹角45 动能 动能定理451 质点动能定理质量m的质点以速度v运动时，它所具有动能为: 动能是质点动力学状态量，当质点动能发生变更时，是由于外力对质点做了功，其关系是: W外=上式说明外力对质点所做功，等于质点动能的变更，这就是质点动能定理。452质点系动能定理 若质点系由n个质点组成，质点系中任一质点都会受到来自于系统以外的作用力（外力）和系统内其它质点对它作用力

11、（内力），在质点运动时，这些力都将做功。设质点系由N个质点组成，选取适当的惯性系，对其中第i个质点用质点动能定理外+内=对全部n个质点的动能定理求和就有 外+内= 若用W外、W内、分别表示外、内、则上式可写成W外+ W内=-由此可见，对于质点系，外力做的功与内力做的功之和等于质点系动能的增量，这就是质点系动能定理。和质点动能定理一样，质点系动能定理只适用于惯性系，但质点系动能定理中的W内一项却是和所选的参照系无关的，因为内力做的功取决于相对位移，而相对位移和所选的参照系是无关的。这一点有时在解题时非常有效。46 势能461 势能 若两质点间存在着互相作用的保守力作用，当两质点相对位置发生变更时

12、，不管途径如何，只要相对位置的初态、终态确定，则保守力做功是确定的。存在于保守力互相作用质点之间的，由其相对位置所确定的能量称为质点的势能。规定保守力所做功等于势能变更的负值，即W保=。（1）势能的相对性。 通常选定某一状态为系统势能的零值状态，则任何状态至零势能状态保守力所做功大小等于该状态下系统的势能值。原则上零势能状态可以随意选取，因此势能具有相对性。（2）势能是属于保守力互相作用系统的，而不是某个质点独有的。（3）只有保守力才有相应的势能，而非保守力没有与之相应的势能。462 常见的几种势能（1）重力势能 在地球外表旁边小范围内，mg重力可视为恒力，取地面为零势能面，则h高处重物m的重

13、力势能为 （2）弹簧的弹性势能 取弹簧处于原长时为弹性势能零点，当弹簧伸长（压缩）x时，弹力F=-kx，弹力做的功为 由前面保守力所做功与势能变更关系可知 （3）引力势能 两个质点M、m相距无穷远处，规定，设m从无穷远处移近M，引力做功W，由于F引=，大小随r变更，可采纳微元法分段求和方式。如图4-5-1，取质点n由A到B，位移为，引力做功很小，、差异很小，则由无穷远至距r处，引力功W为 图4-6-1开场时，最终相对间隔 为=r又有 质点与匀称球体间引力势能，在球体外，可认为球体质量集中于球心，所以引力势能为 rR R为球半径 质量M，半径为R的薄球壳，由于其内部引力合力为零，故随意两点间挪动

14、质点m，引力均不做功，引力势能为恒量，所以质量m质点在薄球壳旁边引力势能为 =47 功能原理和机械能守恒定律471 功能原理依据质点系动能定理当质点系内有保守力作用和非保守力作用时，内力所做功又可分为而由保守力做功特点知，保守力做功等于势能增量的负值，即 于是得到用E表示势能与动能之和，称为系统机械能，结果得到 外力的功和非保守力内力所做功之和等于系统机械能的增量，这就是质点系的功能原理。可以得到（外力做正功使物体系机械能增加，而内部的非保守力作负功会使物体系的机械能削减）。 功能原理适用于分析既有外力做功，又有内部非保守力做功的物体系，请看下题：图4-7-1 劲度系数为k的轻质弹簧程度放置，

15、左端固定，右端连接一个质量为m的木块（图4-7-1）开场时木块静止平衡于某一位置，木块与程度面之间的动摩擦因数为。然后加一个程度向右的恒力作用于木块上。（1）要保证在任何状况下都能拉动木块，此恒力F不得小于多少？（2）用这个力F拉木块，当木块的速度再次为零时，弹簧可能的伸长量是多少？ 题目告知“开场时木块静止平衡于某一位置”，并未指明准确的位置，也就是说木块在该位置时所受的静摩擦力和弹簧的形变量都不清晰，因此要考虑各种状况。假如弹簧自然伸展时，木块在O点，那么当木块在O点右方时，所受的弹簧的作用力向右。因为木块初始状态是静止的，所以弹簧的拉力不能大于木块所受的最大静摩擦力。要将木块向右拉动，还

16、须要克制一个向左的静摩擦力，所以只要F2，即可保证在任何状况下都能拉动木块。 设物体的初始位置为，在向右的恒力F作用下，物体到x处的速度再次为零，在此过程中，外部有力F做功，内部有非保守力f做功，木块的动能增量为零，所以依据物体系的功能原理有可得因为木块一开场静止，所以要求 可见，当木块再次静止时，弹簧可能的伸长是 472 机械能守恒定律 若外力的与非保守内力的功之和为零时，则系统机械能守恒，这就是机械能守恒定律。 留意：该定律只适用于惯性系，它同时必需是选择同一惯性参照系。在机械能守恒系统中，由于保守内力做功，动能和势能互相转化，而总的机械能则保持不变。下面介绍一例由机械能守恒推出的重要定理

17、：伯努利方程志向流体 不行压缩的、没有粘滞性的流体，称为志向流体。定常流淌 视察一段河床比拟平缓的河水的流淌，你可以看到河水安静地流着，过一会儿再看，河水还是那样安静地流着，各处的流速没有什么变更。河水不断地流走，可是这段图4-7-2河水的流淌状态没有变更。河水的这种流淌就是定常流淌。流体质点经过空间各点的流速虽然可以不同，但假如空间每一点的流速不随时间而变更，这样的流淌就叫做定常流淌。自来水管中的水流，石油管道中石油的流淌，都可以看做定常流淌。流体的流淌可以用流线形象地表示。在定常流淌中，流线表示流体质点的运动轨迹。图4-7-2是液体流过圆柱体时流线的分布。A、B处液体流过的横截面积大，CD

18、处液体流过的横截面积小。液体在CD处流得急，流速大。AB处的流线疏，CD处的流线密，这样，从流线的分布可以知道流速的大小。流线疏的地方，流速小；流线密的地方，流速大。伯努利方程 如今探讨志向流体做定常流淌时流体中压强和流速的关系。图4-7-3表示一个细管，其中流体由左向右流淌。在管的处和处用横截面截出一段流体，即处和处之间的流体，作为探讨对象。 处的横截面积为，流速为，高度为，处左边的流体对探讨对象的压强为，方向垂直于向右。 处的横截面积为，流速为，高度为，处左边的流体对探讨对象的压强为，方向垂直于向左。 经过很短的时间间隔，这段流体的左端由移到。右端由移到。图4-7-3两端挪动的间隔 分别为

19、和。左端流入的流体体积为，右端流出的流体体积为，志向流体是不行压缩的，流入和流出的体积相等，记为。 如今考虑左右两端的力对这段流体所做的功。作用在液体左端的力，所做的功。作用在右端的力，所做的功。外力所做的总功 （1） 外力做功使这段流体的机械能发生变更。初状态的机械能是到这段流体的机械能，末状态的机械能是到这段流体的机械能。由到这一段，经过时间，虽然流体有所更换，但由于我们探讨的是志向流体的定常流淌，流体的密度和各点的流速没有变更，动能和重力势能都没有变更，所以这一段的机械能没有变更，这样机械能的变更就等于流出的那局部流体的机械能减去流入的那局部流体的机械能。 由于，所以流入的那局部流体的动

20、能为 重力势能为流出流体的动能为 重力势能为机械能的变更为 （2） 志向流体没有粘滞性，流体在流淌中机械能不会转化为内能，所以这段流体两端受的力所做的总功W等于机械能的变更，即 W= （3）将（1）式和（2）式代入（3）式，得 整理后得图4-7-4 （4）和是在流体中随意取的，所以上式可表示为对管中流体的随意处： 常量 （5） （4）式和（5）式称为伯努利方程。 流体程度流淌时，或者高度差的影响不显著时（如气体的流淌），伯努利方程可表达为 常量 （6） 从（6）式可知，在流淌的流体中，压强跟流速有关，流速v大的地方要强p小，流速v小的地方压强p大。知道压强和流速的关系，就可以说明本节开场所做的

21、试验了。经过漏斗吹乒乓球时，乒乓球上方空气的流速大，图4-7-5压强小，下方空气的压强大，乒乓球受到向上的力，所以会贴在漏斗上不会掉下来。向两张纸中间吹气，两张纸中间空气的流速大，压强小，外边空气的压强大，所以两张纸将互相贴近。同样的道理，两艘并排的船同向行驶时（图4-7-4）假如速度较大，两船会互相靠近，有相撞的危急。历史上就曾经发生过这类事故。在航海中。对并排同向行驶的船舶，要限制航速和两船的间隔 。伯努利方程的应用： 球类竞赛中的旋转球和不转球的飞行轨迹不同，是因为球四周空气流淌状况不同造成的。图4-7-5甲表示不转球程度向左运动时四周空气的流线。球的上方和下方流线对称，流速一样，上下不

22、产生压强差。如今考虑球的旋转，致使球的下方空气的流速增大，上方流速减小，四周空气流线如图乙所示。球的下方流速大，压强小，上方流速小，压强大。跟不转球相比，图4-1-6乙所示旋转球因为旋转而受到向下的力，飞行轨迹要向下弯曲。 例：如图4-7-6所示，用一弹簧把两物块A和B连接起来后，置于程度地面上。已知A和B的质量分别为和。问应给物块A上加多大的压力F，才可能在撤去力F后，A向上跳起后会出图4-7-6现B对地无压力的状况？弹簧的质量略去不计。设弹簧原长为，建立如图4-7-7所示的坐标，以k表示弹簧的劲度系数，则有 取图中O点处为重力势能零点，当A受力F由O点再被压缩了x时，系统的机械能为 图4-

23、7-7撤去F当A上升到最高处即弹簧较其自然长度再伸长时，系统的机械能为 A在x处时，其受力满意 ，以式的代入上式，乃有 当F撤去A上升到处时，弹簧的弹力大小为，设此时B受到地面的支持力为N，则对于B应有 要B对地无压力，即N=0，则上式变为 因为A由x处上升至处的过程中，对此系统无外力和耗散力作功，则其机械能守恒，即 = 联立解式，可得 。 明显，要出现B对地无压力的状况，应为（。当F=（时，刚好能出现B对地无压力的状况，但B不会分开地面；当F（时，B将出现分开地面对上跳起的状况。48 碰撞 质量和的两个物块，在直线上发生对心碰撞，碰撞前后速度分别为和及和，碰撞前后速度在一条直线上，由动量守恒

24、定律得到依据两物块在碰撞过程中的复原状况，碰撞又可分类为下列几种（1）弹性碰撞在碰撞过程中没有机械能损失的碰撞称为弹性碰撞，由动能守恒有结合动量守恒解得对上述结果可作如下探讨，则，即交换速度。若，且有=0，则，即质量大物速度几乎不变，小物以二倍于大物速度运动。若，且=0，则，则质量大物几乎不动，而质量小物原速率反弹。（2） 完全非弹性碰撞 两物相碰粘合在一起或具有一样速度，被称为完全非弹性碰撞，在完全非弹性碰撞中，系统动量守恒，损失机械能最大。 碰撞过程中损失的机械能为图4-9-1（3 ）一般非弹性碰撞，复原系数一般非弹性碰撞是指碰撞后两物分开，速度，且碰撞过程中有机械损失，但比完全非弹性碰撞

25、损失机械能要小。物理学中用复原系数来表征碰撞性质。复原系数e定义为 弹性碰撞， e=1。完全非弹性碰撞 ，e=0。一般非弹性碰撞 0e1。（4） 斜碰两物碰撞前后不在一条直线上，属于斜碰，如图4-9-1所示设两物间的复原系数为e，设碰撞前、速度为、，其法向、切向重量分别为、，碰后分别速度、，法向、切向速度重量、，则有若两物接触处光滑，则应有、切向速度重量不变 、若两物接触处有切向摩擦，这一摩擦力大小正比于法向正碰力，也是很大的力，它供应的切向冲量便不行忽视。49 质心及质心运动491 质心及质心位置 任何一个质点系中都存在着一个称为质心的特别点，它的运动与内力无关，只取决于外力。当须要将质点组

26、处理成一个质点时，它的质量就是质点组的总质量。当须要确定质心的运动时，就设想把质点组所受的全部外力集中作用在质心上。 留意：质心是一个假想的质点。 设空间有N个质点，其质量、位置分别记作、，质量组质心记为C，则质量、位置。 在、直角坐标系中，记录质心的坐标位置为492、质心的速度、加速度、动量质心速度，在空间直角坐标系中，质心速度可表达为质心的动量，质心的动量等于质点组中各个质点动量的矢量和。质心的加速度由上式可见，当质点组所受合外力为零时，质心将保持静止状态或匀速直线运动状态。同样，质点组的动量定理也可表述为外力的冲量的矢量和等于质心动量的增量。493、质心的动能与质点组的动能以二个质点为例

27、，质量、两质点相对于静止参照系速度、，质心C的速度，二质点相对于质心速度是和，可以证明有 即二个质点的总动能等于质心的动能与两质点相对质心动能之和。410天体的运动与能量4101、天体运动的机械能守恒二体系统的机械能E为系统的万有引力势能与各天体的动能之和。仅有一个天体在运动时，则E为系统的万有引力势能与其动能之和。由于没有其他外力作用，系统内万有引力属于保守力，故有机械能守恒，E为一恒量，如图4-10-1所示，设M天体不动，m天体绕M天体转动，则由机械动能守恒，有图4-10-1当运动天体背离不动天体运动时，不断增大，而将不断减小，可达无穷远处，此时而0，则应满意E0，即例如从地球放射人造卫星

28、要摆脱地球束缚必有图4-10-2我们称=11.2km/s为第二宇宙速度，它恰为第一宇宙速度为倍。另外在上面的二体系统中，由于万有引力属于有心力，所以对m而言，遵循角动量守恒 或 方向的夹角。它本质可变换得到开普勒第二定律，即行星与恒星连线在相等时间内扫过面积等。4102、天体运动的轨道与能量若M天体固定，m天体在万有引力作用下运动，其圆锥曲线可能是椭圆（包括圆）、抛物线或双曲线。i）椭圆轨道如图4-7-1所示，设椭圆轨道方程为 （ab）则椭圆长，短半轴为a、b，焦距，近地点速度，远地点速度，则有或由开普勒第二定律： 可解得代入E得ii)抛物线设抛物线方程为太阳在其焦点（）处，则m在抛物线顶点处

29、能量为可以证明抛物线顶点处曲率半径，则有得到图4-10-3抛物线轨道能量 iii）双曲线设双曲线方程为焦距，太阳位于焦点（C，0），星体m在双曲线正半支上运动。如图4-10-3所示，其渐近线OE方程为y=bx/a，考虑m在D处与无穷远处关系，有考虑到当，运动方向靠近渐近线，焦点与渐近线距为故有 或 联解得双曲线轨道能量小结 椭圆轨道 抛物线轨道 双曲线轨道以下举一个例子质量为m的宇宙飞船绕地球中心0作圆周运动，已知地球半径为R，飞船轨道半径为2R。图4-10-4现要将飞船转移到另一个半径为4R的新轨道上，如图4-10-4所示，求（1）转移所需的最少能量；（2）假如转移是沿半椭圆双切轨道进展的，

30、如图中的ACB所示，则飞船在两条轨道的交接处A和B的速度变更各为多少？解: （1）宇宙飞船在2R轨道上绕地球运动时，万有引力供应向心力，令其速度为，乃有 故得 此时飞船的动能和引力势能分别为所以飞船在2R轨道上的机械能为同理可得飞船在4R轨道上的机械能为 以两轨道上飞船所具有的机械能比拟，知其机械能的增量即为实现轨道转移所需的最少能量，即 （2）由（1）已得飞船在2R轨道上运行的速度为 同样可得飞船4R轨道上运行的速度为 设飞船沿图示半椭圆轨道ACB运行时，在A、B两点的速度分别为。则由开普勒第二定律可得 又由于飞船沿此椭圆轨道的一半运行中机械能守恒，故应有联立以上两式解之可得故得飞船在A、B

31、两轨道交接处的速度变更量分别为 a图4-10-5 例如：三个钢球A、B、C由轻质的长为的硬杆连接，直立在程度面上，如图4-10-5所示。已知三球质量，间隔 杆处有一面竖直墙。因受微小扰动，两杆分别向两边滑动，使B球竖直位置下降。致使C球与墙面发生碰撞。设C球与墙面碰撞前后其速度大小不变，且全部摩擦不计，各球的直径都比小许多，求B球落地瞬间三球的速度大小。 解： （1）球碰墙前三球的位置 视A、B、C三者为一系统，A、C在程度面上滑动时，只要C不与墙面相碰，则此系图4-10-7统不受程度外力作用，此系统质心的程度坐标不发生变更。以图4-10-6表示C球刚好要碰墙前三球的位置，以表示此时BC杆与程

32、度面间的夹角，则AB杆与程度面间的夹角也为，并令BA杆上的M点与系统质心的程度坐标一样，则应有故得 由上述知M点的程度坐标应与原来三秋所在的位置的程度坐标一样，故知此刻M点与右侧墙面的间隔 即为，即M点与C球的程度间隔 为，由此有，即。由上式解得，故有 （2）求三球碰墙前的速度 由于碰墙前M点的程度坐标不变，则在A、C沿程度面滑动过程中的任何时刻，由于图中的几何约束，C点与M点的程度间隔 总等于A点与M点的程度间隔 的倍，可见任何时刻C点的程度速度大小总为A点程度速度大小的倍。以、分别表示图5-2-2中三球的速度，则有 又设沿BC方向的重量为，则由于和分别为杆BC两端的小球速度，则此两小球速度

33、沿着杆方向的投影应当相等，即。再设沿BA方向的重量为，同上道理可得 留意到BA与BC两个方向刚好互相垂直，故得的大小为以两式带入上式，乃得 图4-10-8 由于系统与图5-2-1状态到图5-2-2状态的机械能守恒，乃有。以式代入上式。解方程知可得 （3）求C球在刚碰墙后三球的速度 如图4-10-8所示，由于C球与墙碰撞，导致C球的速度反向而大小不变，由于杆BC对碰撞作用力的传递，使B球的速度也随之变更，这一变更的结果是：B球速度沿CB方向的重量与C球速度沿CB方向的重量相等，即 由于BC杆只能传递沿其杆身方向的力，故B球在垂直于杆身方向（即BA方向）的速度不因碰撞而发生变更，A球的速度也不因碰

34、撞而发生变更，即其仍为。故得此时B球速度沿BA方向的重量满意 ， 乃得刚碰撞后B球速度大小为 （4）求B球落地时三球的速度大小 碰撞后，三球速度都有程度向左的重量，可见此后系统质心速度在程度方向的重量应当方向向左，且由于此后系统不受程度外力，则应维持不变。由上解得的三球速度，可得应当满意。以、诸式代入上式可解得 当B球落地时，A、B、C三小球均在同一程度线上，它们沿程度方向的速度相等，明显，这一速度也就是系统质心速度的程度重量。而B小球刚要落地时，A、C两球的速度均沿程度方向（即只有程度重量），B球的速度则还有竖直重量，以落表示此刻B球速度的大小。则由图4-10-8所示的状态到B小球刚要落地时，系统的机械能守恒，由此有以、各式代入上式可解得落= 综合上述得本题答案为：当B小球刚落地时，A、B、C三球的速度大小分别为、和。