坐标系与参数方程知识点总结.docx

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1、坐标系与参数方程1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的随意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如下图,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:(i)极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以相互垂直的两条数轴为几何背景;(ii)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系那么不行.但极坐标系与平面直角坐标系都是平面坐标系.(

2、2)极坐标设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.一般地,不作特别说明时,我们认为 EMBED Equation.DSMT4 可取随意实数.特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0, )(R).与直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有多数种表示.假如规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.3.极坐标与直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取一样的长度单位,如下图:(2)互化公式:设是坐标

3、平面内随意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如下: 极坐标 直角坐标: 直角坐标 极坐标: 在一般状况下,由确定角时,可依据点所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为的圆圆心为,半径为的圆圆心为,半径为的圆圆心为,半径为的圆圆心为,半径为的圆过极点,倾斜角为的直线(1)(2)过点,与极轴垂直的直线过点,与极轴平行的直线注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为

4、等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程.1直角坐标方程 极坐标方程 : 2极坐标方程 直角坐标方程： 二, 参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,假如曲线上随意一点的坐标都是某个变数的函数,并且对于的每一个允许值,由方程组所确定的点都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,干脆给出点的坐标间关系的方程叫做一般方程.2.参数方程与一般方程的互化(1)曲线的参数方程与一般方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到一般方程.(2)假如知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入一般方程,求出另一个变

5、数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与一般方程的互化中,必需使的取值范围保持一样.注：一般方程化为参数方程，参数方程的形式不愿定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，假如选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3圆的参数方程设圆的半径为，点从初始位置动身，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，那么。这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度。圆心为，半径为的圆的一般方程是，它的参数方程为：。4椭圆的参数方程以坐标原点为中心,焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为,其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其

6、中参数仍为离心角,通常规定参数的范围为0，2。注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它与这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角与旋转角数值可相等外即在到的范围内，在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当时，相应地也有，在其他象限内类似。5双曲线的参数方程以坐标原点为中心,焦点在轴上的双曲线的标准议程为其参数方程为，其中焦点在轴上的双曲线的标准方程是其参数方程为以上参数都是双曲线上随意一点的离心角。6抛物线的参数方程以坐标原点为顶点,开口向右的抛物线的参数方程为7直线的参数方程经过点，倾斜角为的直线的一般方程是 过，倾斜角为的直线的参数方程为 EMBED Equation.DSMT4 。注：1.直线参数方程中参数t的几何意义：过定点，倾斜角为的直线的参数方程为 EMBED Equation.DSMT4 ，其中表示直线上以定点为起点，任一点为终点的有向线段的数量，当点在上方时，0；当点在下方时，0；当点与重合时，=0。我们也可以把参数理解为以为原点，直线向上的方向为正方向的数轴上的点的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度一样。2.直线上两点A , B对应的参数分别为t1, t2，那么A, B两点之间的距离为|AB|=| t1-t2|第 6 页