第21届全国中学生物理竞赛复赛题试卷.docx

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1、第21届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答K3K2p1 V1 CCp0 V0EFGIHK1本卷共七题，满分140分.一、(20分)薄膜材料气密性能的优劣常用其透气系数来加以评判对于匀称薄膜材料，在确定温度下，某种气体通过薄膜浸透过的气体分子数，其中t为浸透持续时间，S为薄膜的面积，d为薄膜的厚度，为薄膜两侧气体的压强差k称为该薄膜材料在该温度下对该气体的透气系数透气系数愈小，材料的气密性能愈好图为测定薄膜材料对空气的透气系数的一种试验装置示意图EFGI为浸透室，U形管左管上端与浸透室相通，右管上端封闭；U形管内横截面积A0.150cm2试验中，首先测得薄膜的厚度d =0.66mm，再将薄膜固定于

2、图中处，从而把浸透室分为上下两局部，上面局部的容积，下面局部连同U形管左管水面以上局部的总容积为V1，薄膜可以透气的面积S =1.00cm2翻开开关K1、K2与大气相通，大气的压强p11.00atm，此时U形管右管中气柱长度，关闭K1、K2后，翻开开关K3，对浸透室上局部快速充气至气体压强，关闭K3并开场计时两小时后， U形管左管中的水面高度下降了试验过程中，始终保持温度为求该薄膜材料在时对空气的透气系数（本试验中由于薄膜两侧的压强差在试验过程中不能保持恒定，在压强差变更不太大的状况下，可用计时开场时的压强差和计时完毕时的压强差的平均值来代替公式中的普适气体常量R = 8.31Jmol-1K-

3、1，1.00atm = 1.013105Pa）二、(20分) 两颗人造卫星绕地球沿同一椭圆轨道同向运动，它们通过轨道上同一点的时间相差半个周期已知轨道近地点离地心的间隔 是地球半径R的2倍，卫星通过近地点时的速度，式中M为地球质量，G为引力常量卫星上装有同样的角度测量仪，可测出卫星与随意两点的两条连线之间的夹角试设计一种测量方案，利用这两个测量仪测定太空中某星体与地心在某时刻的间隔 （最终结果要求用测得量和地球半径R表示）三、(15分)m子在相对自身静止的惯性参考系中的平均寿命宇宙射线与大气在高空某处发生核反响产生一批m子，以v = 0.99c的速度（c为真空中的光速）向下运动并衰变依据放射性

4、衰变定律，相对给定惯性参考系，若t = 0时刻的粒子数为N(0), t时刻剩余的粒子数为N(t)，则有，式中t为相对该惯性系粒子的平均寿命若能到达地面的m子数为原来的5，试估算m子产生处相对于地面的高度h不考虑重力和地磁场对m子运动的影响四、(20分)目前，大功率半导体激光器的主要构造形式是由很多发光区等间隔 地排列在一条直线上的长条状，通常称为激光二极管条但这样的半导体激光器发出的是很多束发散光束，光能分布很不集中，不利于传输和应用为理解决这个问题，须要依据具体应用的要求，对光束进展必需的变换（或称整形）假如能把一个半导体激光二极管条发出的光变换成一束很细的平行光束，对半导体激光的传输和应用

5、将是特别有意义的为此，有人提出了先把多束发散光会聚到一点，再变换为平行光的方案，其根本原理可通过如下所述的简化了的状况来说明zLS1S3PaaS2ahh如图，S1、S2、S3 是等间隔 （h）地排列在始终线上的三个点光源，各自向垂直于它们的连线的同一方向发出半顶角为a =arctan的圆锥形光束请运用三个完全一样的、焦距为f = 1.50h、半径为r =0.75 h的圆形薄凸透镜，经加工、组装成一个三者在同一平面内的组合透镜，使三束光都能全部投射到这个组合透镜上，且经透镜折射后的光线能全部会聚于z轴（以S2为起点，垂直于三个点光源连线，与光束中心线方向一样的射线）上间隔 S2为 L = 12.

6、0 h处的P点（加工时可对透镜进展外形的变更，但不能变更透镜焦距）1求出组合透镜中每个透镜光心的位置2说明对三个透镜应如何加工和组装，并求出有关数据rP2P1qRAOaa五、(20分)如图所示，接地的空心导体球壳内半径为R，在空腔内始终径上的P1和P2处，放置电量分别为q1和q2的点电荷，q1q2q，两点电荷到球心的间隔 均为a由静电感应与静电屏蔽可知：导体空腔内外表将出现感应电荷分布，感应电荷电量等于2q空腔内部的电场是由q1、q2和两者在空腔内外表上的感应电荷共同产生的由于我们尚不知道这些感应电荷是怎样分布的，所以很难用场强叠加原理干脆求得腔内的电势或场强但理论上可以证明，感应电荷对腔内电

7、场的奉献，可用假想的位于腔外的（等效）点电荷来代替（在本题中假想(等效)点电荷应为两个），只要假想的（等效）点电荷的位置和电量能满意这样的条件，即：设想将整个导体壳去掉，由q1在原空腔内外表的感应电荷的假想（等效）点电荷与q1共同产生的电场在原空腔内外表所在位置处各点的电势皆为0；由q2在原空腔内外表的感应电荷的假想（等效）点电荷与q2共同产生的电场在原空腔内外表所在位置处各点的电势皆为0这样确定的假想电荷叫做感应电荷的等效电荷，而且这样确定的等效电荷是唯一的等效电荷取代感应电荷后，可用等效电荷、和q1、q2来计算原来导体存在时空腔内部随意点的电势或场强1试依据上述条件，确定假想等效电荷、的位

8、置及电量2求空腔内部随意点A的电势UA已知A点到球心O的间隔 为r，与的夹角为q ABCp-aDE六、(20分)如图所示，三个质量都是m的刚性小球A、B、C位于光滑的程度桌面上（图中纸面），A、B之间，B、C之间分别用刚性轻杆相连，杆与A、B、C的各连接处皆为“铰链式”的（不能对小球产生垂直于杆方向的作用力）已知杆AB与BC的夹角为p-a ，a p/2DE为固定在桌面上一块挡板，它与AB连线方向垂直现令A、B、C一起以共同的速度v沿平行于AB连线方向向DE运动，已知在C与挡板碰撞过程中C与挡板之间无摩擦力作用，求碰撞时当C沿垂直于DE方向的速度由v变为0这一极短时间内挡板对C的冲量的大小xO

9、yv0cabyd七、（25分）如图所示，有二平行金属导轨，相距l，位于同一程度面内（图中纸面），处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向竖直向下（垂直纸面对里）质量均为m的两金属杆ab和cd放在导轨上，与导轨垂直初始时刻， 金属杆ab和cd分别位于x = x0和x = 0处假设导轨及金属杆的电阻都为零，由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数为L今对金属杆ab施以沿导轨向右的瞬时冲量，使它获得初速设导轨足够长，也足够大，在运动过程中，两金属杆之间间隔 的变更远小于两金属杆的初始间距，因此可以认为在杆运动过程中由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数L是恒定不变的杆与导轨之间摩擦可不计求随意时刻两杆的位

10、置xab和xcd以及由两杆和导轨构成的回路中的电流i三者各自随时间t的变更关系一、开场时U形管右管中空气的体积和压强分别为 V2 = HA （1）p2= p1 经过2小时，U形管右管中空气的体积和压强分别为 （2） （3）浸透室下部连同U形管左管水面以上局部气体的总体积和压强分别为（4）（5）式中r 为水的密度，g为重力加速度由志向气体状态方程可知，经过2小时，薄膜下部增加的空气的摩尔数（6）在2个小时内，通过薄膜浸透过去的分子数 （7）式中NA为阿伏伽德罗常量浸透室上部空气的摩尔数削减，压强下降下降了Dp（8）经过2小时浸透室上局部中空气的压强为（9）测试过程的平均压强差 （10）依据定义，

11、由以上各式和有关数据，可求得该薄膜材料在0时对空气的透气系数（11）评分标准：本题20分(1)、(2)、(3)、(4)、(5)式各1分，(6)式3分，(7)、(8)、(9)、(10) 式各2分，(11) 式4分二、如图，卫星绕地球运动的轨道为一椭圆，地心位于轨道椭圆的一个焦点O处，设待测量星体位于C处依据题意，当一个卫星运动到轨道的近地点A时，另一个卫星恰好到达远地点B处，只要位于A点的卫星用角度测量仪测出AO和AC的夹角a1，位于B点的卫星用角度测量仪测出BO和BC的夹角a2，就可以计算出此时星体C与地心的间隔 OC因卫星椭圆轨道长轴的长度 (1)式中r近、与r远分别表示轨道近地点和远地点到

12、地心的间隔 由角动量守恒ABOa1 (2)式中m为卫星的质量由机械能守恒 (3)已知C， 得(4)所以(5)在ABC中用正弦定理(6)所以(7)地心与星体之间的间隔 为，在BOC中用余弦定理(8)由式(4)、(5)、(7)得(9)评分标准：本题20分(1)式2分，(2)、(3)式各3分，(6) 、(8)式各3分， (9) 式6分三、因m子在相对自身静止的惯性系中的平均寿命依据时间膨胀效应，在地球上观测到的m子平均寿命为t，(1)代入数据得t = 1.4105s(2)相对地面，若m子到达地面所需时间为t，则在t时刻剩余的m子数为(3)依据题意有(4)对上式等号两边取e为底的对数得(5)代入数据得

13、(6)依据题意，可以把m子的运动看作匀速直线运动，有(7)代入数据得(8) 评分标准：本题15分 (1)式或(2)式6分，(4)式或(5)式4分，(7) 式2分，(8) 式3分 zaLS1PaS2ahhS3O1O2(S2)O3图1MMu四、1考虑到使3个点光源的3束光分别通过3个透镜都成实像于P点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于z轴，三个光心O1、O2、O3的连线平行于3个光源的连线，O2位于z轴上，如图1所示图中表示组合透镜的平面，、为三个光束中心光线与该平面的交点 u就是物距依据透镜成像公式 (1)可解得 因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不

14、能穿插，必需有2utana h即u2h在上式中取“”号，代入f 和L的值，算得 1.757h (2)此解满意上面的条件 分别作3个点光源与P点的连线为使3个点光源都能同时成像于P点，3个透镜的光心O1、O2、O3应分别位于这3条连线上（如图1）由几何关系知，有 (3) 即光心O1的位置应在之下与的间隔 为(4)同理，O3的位置应在之上与的间隔 为0.146h处由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜中心之间间隔 必需等于0.854h，才能使S1、S2、S3都能成像于P点2如今探讨如何把三个透镜L1、L2、L3加工组装成组合透镜因为三个透镜的半径r = 0.75h，将它们的光心分别放置到O1、O2、O

15、3处时，由于0.854h0时，ab杆位于其初始位置的右侧；当X0时，ab杆位于其初始位置的左侧代入(14)式，得(16) 这时作用于ab杆的安培力(17)ab杆在初始位置右侧时，安培力的方向指向左侧；ab杆在初始位置左侧时，安培力的方向指向右侧，可知该安培力具有弹性力的性质金属杆ab的运动是简谐振动，振动的周期(18) 在随意时刻t， ab杆分开其初始位置的位移(19) A为简谐振动的振幅，j 为初相位，都是待定的常量通过参考圆可求得ab杆的振动速度 (20) (19)、(20)式分别表示随意时刻ab杆分开初始位置的位移和运动速度现已知在t0时刻，ab杆位于初始位置，即 X = 0速度 故有

16、解这两式，并留意到(18)式得 (21) (22) 由此得ab杆的位移（23）由 (15) 式可求得ab杆在系中的位置(24) 因相对质心，随意时刻ab杆和cd杆都在质心两侧，到质心的间隔 相等，故在系中，cd杆的位置 (25) 相对地面参考系S，质心以的速度向右运动，并留意到（18）式，得ab杆在地面参考系中的位置(26)cd杆在S系中的位置（27） 回路中的电流由 (16) 式得(28)解法：当金属杆在磁场中运动时，因切割磁力线而产生感应电动势，回路中出现电流时，两金属杆都要受到安培力的作用，安培力使ab杆的速度变更，使cd杆运动设随意时刻t，两杆的速度分别为v1和v2（相对地面参考系S）

17、，若规定逆时针方向为回路电动势和电流的正方向，则由两金属杆与导轨构成的回路中，因杆在磁场中运动而出现的感应电动势为(1)令u表示ab杆相对于cd杆的速度，有(2)当回路中的电流i变更时，回路中有自感电动势EL，其大小与电流的变更率成正比，即有(3)依据欧姆定律，留意到回路没有电阻，有由式(2)、(3)两式得(4)设在t时刻，金属杆ab相对于cd杆的间隔 为，在tDt时刻，ab相对于cd杆的间隔 为，则由速度的定义，有(5)代入 () 式得(6)若将视为i的函数，由(6)式可知，为常量，所以与i的关系可以用始终线方程表示，即 (7)式中b为常数，其值待定现已知在t0时刻，金属杆ab相对于cd杆的

18、间隔 为，这时i = 0，故得(8)或(9)表示t0时刻金属杆ab相对于cd杆的位置表示在随意时刻t时ab杆相对于cd杆的位置，故就是杆ab在t时刻相对于cd杆的相对位置相对于它们在t0时刻的相对位置的位移，即从t0到tt时间内ab杆相对于cd杆的位移(10)于是有(11)随意时刻t，ab杆和cd杆因受安培力作用而分别有加速度aab和acd，由牛顿定律有(12)(13)两式相减并留意到()式得(14)式中为金属杆ab相对于cd杆的加速度，而X是ab杆相对cd杆相对位置的位移是常数，说明这个相对运动是简谐振动，它的振动的周期(15)在随意时刻t，ab杆相对cd杆相对位置相对它们初始位置的位移(1

19、6)A为简谐振动的振幅，j 为初相位，都是待定的常量通过参考圆可求得X随时间的变更率即速度 (17)现已知在t0时刻，杆位于初始位置，即X = 0，速度故有 解这两式，并留意到(15) 式得 由此得(18)因t = 0时刻，cd杆位于x = 0 处，ab杆位于x = x0 处，两者的相对位置由x0表示；设t时刻，cd杆位于x = xcd 处，ab杆位于x = xab处，两者的相对位置由xabxcd表示，故两杆的相对位置的位移又可表示为X = xabxcdx0(19)所以(20)(12)和(13)式相加,得由此可知，两杆速度之和为一常数即v0，所以两杆的位置xab和xcd之和应为xabxcd =

20、 x0v0t(21)由(20)和(21)式相加和相减，留意到(15)式，得（22）（23）由(11)、（19）(22)、(23)式得回路中电流（24）评分标准：本题25分解法 求得(16)式8分，(17)、(18)、(19)三式各2分 (23)式4分，(24)、(25)二式各2分，(26)、(27)、(28)三式各1分第十九届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答2002年一、参考解答理论证明，甲的设计是正确的，所以乙的结论确定是错的。（1）设大气压为，水的密度为。拧开前的状况如图复解19-l的（a）图所示。由流KKDHAABBFCCEh1h2(a)(b)图复解 19-1体静力学可知，、中气体的压

21、强为 （1）中气体的压强为 （2）由（1）、（2）两式可得 即，当拧开后，中气体压强降至，此时 （3） 即管中容器水面以上的那一段水柱所受合力向上，所以管中水柱上升。（2）拧开后，水柱上升，因管上端已足够长，故水不会从管口喷出设到中的水面静止时中增加水量的体积为，则中削减水量的体积亦为，其水面将略有降低，因此及中气体压强路有下降，中的水将通过管流入中，当从流入水量的体积等于时，、中气体压强复原原值。因为、的半径为管半径的60倍，截面积比为3600倍，故、中少量水的增减（）引起的、中水面高度的变更可忽视不计，即和的数值保持不变。设中水面静止时与中水面的高度差为，（见图复解19-1（b），则有 （

22、4）由此可得 （5）（3）将图复解 19-l（a）和(b)两图相比拟可知，其差异在于体积为的水从移至中，另的水又由移入中，前者重力势能削减，而后者重力势能增大，前者的重力势能削减量为 （6）中增加的水柱的重心离中水面的高度为，故后者的重力势能增量为 （7）即。由此可知，体积为的水由流入中削减的势能的一局部转化为同体积的水由进入中所需的势能，其余局部则转化为水柱的动能，故发生上下振动，中水面静止处为平衡点由于水与管间有摩擦等缘由，动能逐步消耗，最终水面停留在距中水面处。二、参考解答由于圆柱形区域内存在变更磁场，在圆柱形区域内外空间中将产生涡旋电场，电场线为圆，圆心在圆柱轴线上，圆面与轴线垂直，如

23、图中虚点线所示在这样的电场中，沿随意半径方向挪动电荷时，由于电场力与挪动方向垂直，涡旋电场力做功为零，因此沿半径方向随意一段途径上的电动势均为零1随意点在磁场区域内：令为随意点（见图复解19-2-1），在图中连直线与。取闭合回路，可得回路电动势，式中，分别为从到、从到、从到的电动势。由前面的分析可知，故 （1）令的面积为，此面积上磁通量，由电磁感应定律，回路的电动势大小为 依据题给的条件有 （2）由图复解19-2-2可知 （3）由（1）、（2）、（3）式可得沿线段的电动势大小为 （4） ACCAOORRPxaaaabDQ图复解 19-21图复解 19-222随意点在磁场区域外：令为随意点（见图

24、复解19-2-2），。在图中连、。取闭合回路，设回路中电动势为，依据类似上面的探讨有 （5）对于回路，回路中磁通量等于回路所包围的磁场区的面积的磁通量，此面积为，通过它的磁通量。依据电磁感应定律可知回路中电动势的大小 （6）在图中连，令，则，于是 当时，中有 于是得 （7）由（5）、（6）、（7）式可得沿线的电动势的大小为 （8）三、参考解答以三个质点为系统，由对称性可知，开场时其质心应位于处，因为质点系所受的合外力为零，由质心运动定理可知，质心总是固定不动的。质点1、2在静电力作用下，彼此间间隔 必增大，但不行能保持在沿起始状态时1、2连线上运动，若是那样运动，由于杆不图复解 19-31A能

25、伸长，质点3必向左运动，三者的质心势必亦向左运动，这与“质心不动”相冲突，故不行能。由此可知，由于杆为刚性，质点1、2在静电力作用下，C要保持质心不动，质点1、2必将分别向题图中右上方和右下方运动，而质3点3将向左运动当3运动到处时，1、2将运动到、处，、三点在始终线上，1、2的速度方向向右，3的速度方向左（如图复解19-32B所示）。令、分别表示此时它们的速度大小，则由对称性可知此时三质点的总动能为 （1）再由对称性及动量守恒可知 （2）系统原来的电势能为 （3）其中为静电力常数运动到国复解19-3所示的位置时的电势能为 （4）依据能量守恒有 （5）由以上各式可解得 （6）四、参考解答1.（

26、1）调整活塞6使毛细管8中有色液柱处于适当位置，将阀门10关闭使两边气体隔绝，登记有色液柱的位置；（2）合上开关，测得电流；（3）翻开开关；（4）测出有色液体右移的最远间隔 ；（5）变更电源电压，重复测量屡次，登记屡次的和值。2.合上开关后，线捆贮有磁场能量，因二极管的存在，中无电流。翻开开关后，由于中有感应电动势，在线圈、电阻器和二极管组成的回路中有电流通过，最终变为零。在此过程中原来线圈中储存的磁场能量将转化为和上放出的热量，其中上放出的热量为 （1）此热量使试管中的气体加热、升温。因为是等压过程，所以气体吸热为 （2）式中为气体质量，为其摩尔质量，为温升，因为是等压过程，设气体体积变更量为，则由志向气体状态方程可得 （3）而 （4）由以上各式可得 （5）五、参考解答QQPPF1F2uvn1n2yyf1f2图复解 19-5-1利用焦点的性质，用作图法可求得小物的像，如下图所示。（1）用和分别表示物和像的大小，则由图中的几何关系可得 （1） 简化后即得物像距公式，即，之间的关系式 （2）（2）薄透镜中心旁边可视为筹薄平行板，入射光线经过两次折射后射出，放大后的光路如图复解1