高等数学研究教案2.docx

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1、泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称高等数学讨论授课对象2006级本科授课题目第十一讲二元函数的微分与极值课时数4教学目的通过教学使学生驾驭二元函数的微分法、无条件极值、条件的极值求法，驾驭最值的求法，会利用这些理论解决消费实际的应用问题。重点难点1重点无条件极值、条件的极值求法，最值的求法；2难点应用无条件极值、条件的极值、最值理论解应用题。教学提纲第十一讲 二元函数的微分与极值一、多元函数的微分1.多元函数的极限2、偏导数3、全微分二、极值与最值1二元函数的无条件极值2二元函数的条件极值 拉格朗日数乘法3二元函数的最值三、应用1.曲面的切平面与法线方程2.场论初步教学过

2、程与内容教学后记第十一讲二元函数的微分与极值二元函数的导数、极值、最值是历年考试的重点，二元函数的微分、二元函数的微分在几何中的应用、场论初步也应引起重视。一、多元函数的微分1.多元函数的极限, 也记作 或f (P)A(PP0).【说明】(1)二重极限存在, 是指P以任何方式趋于时, 函数都无限接近于A. (2)假如当P以两种不同方式趋于时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在.例1： 设, 求证. 【证明】 因为 , 因此. 例2：讨论：函数在点(0, 0)有无极限？ 【解】: 当点P(x, y)沿x轴趋于点(0, 0)时, ; 当点P (x, y)沿直线y=kx有 . 因此, 函数f(

3、x, y)在(0, 0)处无极限。2、偏导数【说明】关于求导时，短暂把看成常数。例：验证函数满意方程.【证明】 因为, 所以 , , .因此 .3、全微分 假如函数z=f(x, y)在点(x, y)的全增量 Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y)可表示为, 即其中A、B不依靠于Dx、Dy 而仅与x、y 有关, 则称函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分, 而称ADx+BDy为函数z=f(x, y)在点(x, y)的全微分, 记作dz, 即 dz=ADx+BDy. 【说明】 （）假如函数z=f(x, y)在点(x, y)可微, 则函数在该点的偏导数、必定存在，但反过来不对；（）

4、假如函数z=f(x, y)在点(x, y)可微, 则函数在该点连续；（）、在(x, y)存在，函数z=f(x, y)在(x, y)不肯定连续例4：讨论函数在点(0, 0)处连续性、偏导数的存在性、及可微性。【解】函数在点(0, 0)处连续；由偏导数的定义知f x(0, 0)=0及f y(0, 0)=0； 但函数在(0, 0)不行微分,这是因为当(Dx, Dy)沿直线y=x趋于(0, 0)时, .不趋向0.4、偏导数的求法 （1）复合函数求导法，例5：（1）,求（2）,求【解】(1) (2) （2）隐函数求导法若函数由方程确定，方程两边关于求导， ，所以，同理，例6：（1）若函数由方程确定，求。

5、（C）（2）若函数由方程组确定，求。【解】(1)C (2)方程两边关于求导解得例7：设是由方程所确定的函数，其中具有2阶导数且时，求(1)；（2）记，求.【解】(1),(2)（3）高阶导数,例7：设函数在内具有二阶导数，且满意等式.验证.【说明】 利用复合函数偏导数计算方法求出代入即可得【解】设，则.，.将代入得.例8：设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满意，又,求【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题：，干脆利用复合函数求偏导公式即可，留意利用【解】 ，故 ，所以 =二、极值与最值1二元函数的无条件极值(1) 二元函数的极值肯定在驻点和不行导点获得。对于不行导点，难以推断是否是极值点；对

6、于驻点可用极值的充分条件断定。(2)二元函数获得极值的必要条件： 设在点处可微分且在点处有极值，则，即是驻点。(3) 二元函数获得极值的充分条件：设在的某个领域内有连续上二阶偏导数，且，令，则当且 A0，f为微小值；时，不是极值点。【留意】 当B2AC = 0时，函数z = f (x, y)在点可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论例9： 求函数z = x3 + y2 2xy的极值【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是微小值，并求出相应的极值.【解】先求函数的一、二阶偏导数：，, , 再求函数的驻点令= 0，= 0，

7、得方程组求得驻点(0，0)、利用定理2对驻点进展讨论：(1)对驻点(0, 0)，由于A = 0, B =2， C = 2，B2AC0,故(0, 0)不是函数z = f(x, y) 的极值点(2)对驻点，由于A =4, B =2，C = 2,B2AC =40, 且A0,则 为函数的一个微小值例10：设z=z(x,y)是由确定的函数，求的极值点和极值.【分析】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比拟大的。这表达了考研的根本要求。【解】 因为 ，所以 ， .令 得 故 将上式代入，可得 或 由于 ， ，所以 ，故，又，从而点(9,3)是z(x,y)的微小值点，微小值为z(9,3)=3.类

8、似地，由 ，可知，又，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点，极大值为z(-9, -3)= -3.【点评】本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应留意x,y,z满意原方程。2二元函数的条件极值拉格朗日数乘法：设某领域内有连续偏导数，引入协助函数解联立方程组得可能是在条件下的极值点例11经过点的全部平面中，哪一个平面与坐标面在第一卦限所围的立体的体积最小并求此最小体积【分析】条件极值常常考应用题。这一点大家应引起重视。【解】设所求平面方程为 因为平面过点，有 设所求平面与三个坐标平面所围立体的体积为V， 则作拉格朗日函数求函数L的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：

9、代入解得a = b = c = 3由于最小体积肯定存在又函数有惟一的驻点故a = b = c = 3为所求即平面x + y + z = 3与坐标面在第一卦限所围物体的体积最小最小体积为例12求函数在在约束条件和下的最大和最小值.【解】设得方程组即解得 或得 ，3二元函数的最值二元函数的最值肯定在驻点和不行导点及边界点获得。例13:D是直线与坐标轴围成的三角形闭区域，求在上的最大值和最小值。 驻点。例14:求函数在区域D上的最大值和最小值，其中： 。【分析】 由于D为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。【解】 因为 ，解方程： 得开区域内的可能极值点为.其对应函数值

10、为又当y=0 时，在上的最大值为4，最小值为0.当，构造拉格朗日函数 解方程组 得可能极值点：，其对应函数值为 比拟函数值，知f(x, y)在区域D上的最大值为8，最小值为0.【评注】当，代入目的函数转换成一元函数求解更简洁。例5:已知函数z=f(x,y) 的全微分，并且. 求f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值.【解】 由题设，知 ，于是 ，且 ，从而 ，再由，得 C=2, 故 （下略）三、应用1.曲面的切平面与法线方程曲面在点M0的切平面. 这切平面的方程式是 Fx(x0, y0, z0)(x-x0)+Fy(x0, y0, z0)(y-y0)+Fz(x0, y0, z0)(z-z0)=0

11、. 法线方程为 . 例16： 求球面x2+y2+z2=14在点(1, 2, 3)处的切平面及法线方程式. 【解】 F(x, y, z)= x2+y2+z2-14, Fx=2x, Fy=2y , Fz=2z , Fx(1, 2, 3)=2, Fy(1, 2, 3)=4, Fz(1, 2, 3)=6. 法向量为n=(2, 4, 6), 或n=(1, 2, 3). 所求切平面方程为2(x-1)+4(y-2)+6(z-3)=0, 即x+2y+3z-14=0. 法线方程为2.场论初步（1）数量场：（方向导数）函数u=f(x, y，z)在点P0(x0, y0,z0)可微分, 那么函数在该点沿任一方向l 的

12、方向导数都存在, 且有 , 其中cos a, cos b,是方向l 的方向余弦. （2）数量场（梯度）设三元函数可微grad f(x0, y0, z0)=fx(x0, y0, z0)i+fy(x0, y0, z0)j+fz(x0, y0, z0)k.=结论: 函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向与获得最大方向导数的方向一样, 而它的模为方向导数的最大值. （）矢量场：（散度）已知（）矢量场：（旋度）已知泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称高等数学讨论授课对象授课题目 第十二讲重积分的计算方法讨论课时数4教学目的通过教学使学生驾驭计算二重积分与三重积分的各种方法。重点难

13、点1.化累次积分计算二重积分与三重积分2.利用极坐标计算二重积分3、用球坐标计算三重积分难点是二重积分与三重积分的计算技巧教学提纲第十二讲重积分的计算方法讨论一、二重积分的计算方法二重积分的根本计算方法有两种，一是化累次积分的方法,二是极坐标的方法。1.化累次积分计算二重积分2.利用极坐标计算二重积分二、二重积分的计算技巧3.变更累次积分的次序计算二重积分4.分割积分区域计算二重积分5.利用函数的奇偶性化简二重积分三、三重积分的计算1、用函数奇偶性化简三重积分2用直角坐标计算三重积分（先1后2，先2后1，）3、用柱坐标计算三重积分4、用球坐标计算三重积分教学过程与内容教学后记第十二讲重积分的计

14、算方法讨论重积分的计算一方面本身是很重要的，另一方面它是曲线积分、曲面积分和概率统计的根底，分割积分区域、利用函数的奇偶性简化积分和利用对称性（轮换）简化积分是重积分计算的技巧。一、二重积分的根本计算方法二重积分的根本计算方法有两种，一是化累次积分的方法,二是极坐标的方法。1.化累次积分计算二重积分 X-型区域: D : j1(x)yj2(x), axb . Y -型区域: D : y1(x)yy2(x), cyd . 例1： 计算, 其中D是由直线y=1、x=2及y=x所围成的闭区域. 【解法一】把D看成是X-型区域: 1x2, 1yx . 于是， 【评注】积分还可以写成. 【解法二】也可把

15、D看成是Y-型区域: 1y2, yx2 . 于是. 例2. 计算, D是由直线y=1、x=-1及y=x所围成的闭区域. 【解】 画出区域D, 可把D看成是X-型区域: -1x1, xy1. 于是. 也可D看成是Y-型区域:-1y1, -1x0内的随意分段光滑简洁闭曲线C，有；（II）求函数的表达式.【分析】 证明（I）的关键是如何将封闭曲线C与围绕原点的随意分段光滑简洁闭曲线相联络，这可利用曲线积分的可加性将C进展分解讨论；而（II）中求的表达式，明显应用积分与途径无关即可. Y【解】 （I） l2 C o X l3如图，将C分解为：，另作一条曲线围绕原点且与C相接，则 .（II） 设，在单连

16、通区域内具有一阶连续偏导数，由（）知，曲线积分在该区域内与途径无关，故当时，总有. 比拟、两式的右端，得由得，将代入得所以，从而【评注】 本题难度较大，关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形. 二元函数的全微分求法定义：若函数使,则称函数是表达式的一个原函数。判别法： 设开区域是一个单连通域，函数以及在内具有一阶连续偏导数,则在内存在原函数的充分必要条件是等式在内恒成立。求法：一般取.例：验证在整个在平面内是存在原函数,并求出一个原函数。【解】 这里,且在整个在平面内恒成立,因此在整个在平面内存在原函数.=.对于常微分方程,由上面可知这个微分方程的通解为 (为随意常数).泰山学院信

17、息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称高等数学讨论授课对象授课题目 第十四讲曲面积分与高斯公式课时数4教学目的通过教学使学生驾驭两类曲面积分的来源、定义、性质和计算方法，重点驾驭高斯公式及曲面积分与途径无关的条件重点难点1重点两类曲面积分的计算方法；2难点高斯公式及补面法。教学提纲第十四讲曲面积分与高斯公式1.第一类曲面积分(1)问题的提出， 第一类曲面积分与曲面的方向(侧)无关(2)第一类曲面积分的计算-代入法2. 第二类曲面积分(1)问题的提出:第二类曲面积分与方向(侧)有关，变更方向，积分变号(2)计算-代入法 (3)高斯公式 补面法 (4)曲面积分与积分途径无关问题 (5)奇点

18、的处理方法。教学过程与内容教学后记第十四讲曲面积分与高斯公式一、.第一类曲面积分1问题的提出设有一块光滑的金属曲面S 。它的密度是不匀称的。在其点(x,y,z)处密度为f（x,y,z），并设f在S上连续,则金属曲面S的质量M说明: 第一类曲面积分与曲面的方向(侧)无关2第一类曲面积分的计算(代入法)设S 是一个光滑曲面， S 的方程是Z=f(x,y) ,当 f1时可得空间曲面面积的计算公式，即例1：I=,S是半球面（）。【解】, , =例2：为椭球面S:的动点，若S在处的切平面与面垂直。（） 求点的轨迹；（） 计算，其中为椭球面位于上方的局部。二、 第二类曲面积分1问题的提出磁通量问题。表示【

19、说明】第二类曲面积分与方向(侧)有关，变更方向，积分变号2第二类曲面积分计算(代入法) 用代入法计算时,一般应分成三个计算: （假如曲面积分取的上侧取号，假如曲面积分取的下侧取-号）.类似有（假如曲面积分取的前侧取号，假如曲面积分取的后侧取-号）。（假如曲面积分取的右侧取号，假如曲面积分取的左侧取-号）.例3:计算曲面积分，其中是圆面 下侧。【分析】 由于在上， ，所以【点评】本题展示的化简积分的方法是特别重要的。例4:计算曲面积分，其中是旋转抛物面介于平面及之间的下侧【分析】 可干脆代公式计算, 而须要分成前后两局部分别计算.【解】（略）3高斯公式设 D 是R内的一个有界闭区域，其边界由光滑

20、曲面或逐片光滑曲面组成，方向是外侧（相对于区域D而言）。又设函数P，Q，R都在D内关于 x,y,z有连续偏导数，则下列高斯公式成立： 由Gauss公式可计算某些空间立体积分 V= 例5： 计算, 式中S为球面的内侧【解】 由高斯公式 知 =例6：计算曲面积分 其中为曲面的上侧。【分析】（补面法）本题曲面不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，而在添加的平面域上干脆投影即可。【解】 补充曲面：，取下侧. 则 =其中为与所为成的空间区域，D为平面区域. 由于区域D关于x轴对称，因此. 又=其中.【评注】 （1）留意在计算过程中尽量利用对称性进展简化。本题也可通过干

21、脆投影进展计算，但计算过程比拟困难。（2）本题中的三重积分计算用“先二后一”法，若用“先一后二”法计算量是大的例7：计算外侧。 【分析】该题，它们在S所包围的区域内不连续(在原点没定义，偏导数不存在)，所以不能用高斯公式。【解】 由积分表达式及S的对称性知所以记上半球（上侧）为S上，登记半球（下侧）为S下 =2所以 4.曲面积分与积分途径无关问题设是空间二维单连通区域，函数、在内具有一阶连续偏导数，则曲面积分在内与所取曲面无关而只取决于的边界曲面(或沿内任一闭曲面的曲面积分为零)的充分必要条件是等式在内恒在成立。例8：设对于半空间x0内随意的光滑有向封闭曲面S，都有 ，其中在（，）内具有一阶连

22、续导数，且，求【解】 由于对于半空间x0内随意的光滑有向封闭曲面S，都有 ，所以即解得5.奇点的处理方法定理：设函数、在在空间坐标系上除了点外都有，则对随意分段光滑闭曲面，是一个定值。例9：计算曲面积分其中是曲面的外侧。【解】 在在空间坐标系上除了点原点外都有 则对随意分段光滑闭曲面，是一个定值。把曲面换成=6.对称性与轮换法例10：设曲面，求.【解】 由于曲面关于平面x=0对称，因此=0. 又曲面具有轮换对称性，于是=例11：设求。【解】 =所以=泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称高等数学讨论授课对象2006级本科授课题目第十五讲 无穷级数讨论课时数4教学目的通过教学使

23、学生驾驭正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径，求幂级数的和函数，把一个函数绽开成幂级数的方法，理解如何把一个周期函数绽开成傅里叶级数。重点难点1重点正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径，求幂级数的和函数，把一个函数绽开成幂级数；2难点求幂级数的和函数，把一个函数绽开成幂级数。教学提纲第十五讲 无穷级数讨论一、 级数的根本概念1数项级数的根本概念2数项级数的性质二、数项的级数的审敛法1.比拟判别法 比拟法的极限形式 比值判别法 根式判别法4 肯定收敛与条件收敛三、 幂级数1 幂级数的根本概念2 幂级数的收敛半径3 幂级数的逐项求导与逐项积分3 求幂级数的和函数的步骤4 把一个函数绽开成幂级数的方法四

24、、傅里叶级数1.根本概念2. 傅里叶级数的推广教学过程与内容教学后记第十五讲 无穷级数讨论一、级数的根本概念1数项级数的根本概念（1）称为无穷级数，简称级数。（2）为级数的第n项局部和。（3）若，则称级数收敛，记为；否则称级数发散。(4)三个重要级数调和级数:发散;P-级数：几何级数： 这三个级数是断定一般级数收敛的参照级数。2数项级数的性质(1) 若收敛于s，则收敛于，即(2) 若，分别收敛于，则收敛于，即(3)级数去掉、加上、变更有限项收敛性不变。(4)收敛级数随意加 括号仍收敛，且和不变。(5)(级数收敛的必要条件)若收敛，则说明:收敛的必要条件常用于断定级数发散。例如,由于，故级数发散

25、二、级数的审敛法1正项级数审敛法 若则称为正项级数正项级数的局部和数列单调递增，即,所以 正项级数收敛的充要条件是局部和数列有界（1）（比拟判别法）均为正项级，且,则若收敛，则收敛；若发散，则发散。()（比拟法的极限形式）均为正项级，若为正数，则的收敛性一样；若，则当收敛时，必有收敛；若，则当发散时，必有发散。(2) （比值判别法） 为正项级数，若，则收敛；若，则发散；若，则可能收敛可能发散。(3)（根式判别法） 为正项级数，若，则收敛；若，则发散；若，则可能收敛可能发散。例1：求级数的和。【解】例2:断定下列级数的收敛性（1） （2） (3) （4） (5) 【解】（1） ,又发散，故原级数发散 （2）取参照级数为因为，又级数收敛，故原级数收敛.(3) 取参照级数为,收敛。 （4），故级数收敛。 (5) ，故级数收敛。例3： 证明 【证明】 设，只须证正项级数收敛 因为 又 所以由比值法知收敛，故收敛 由收敛的必要条件可知2. 一般项级数的收敛性（肯定收敛与条件收敛）除正项级数和负项级数以外的无穷级数称为随意项级数。随意项级数的收敛性主要通过其肯定值级数的收敛性转化为正项级数处理，另外交织级数用莱布尼兹判别法断定收敛性 若正项级数收敛，则级数必收敛，