第九章多元函数微分法及其应用教案.docx

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1、 第九章 多元函数微分法及其应用【教学目的及要求】1、 理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。2、 理解二元函数的极限及连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。3、 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，理解全微分存在的必要条件和充分条件，理解全微分形式的不变性。4、 理解方向导数及梯度的概念并驾驭其计算方法。5、驾驭多元复合函数偏导数的求法。6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。7、理解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。8、理解二元函数的二阶泰勒公式。9、理解多元函数极值和条件极值的概念，驾驭多元函数极值存在的必要条件，理解二元函数

2、极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简洁的应用问题。【教学重点】1、 二元函数的极限及连续性；2、 函数的偏导数和全微分；3、 方向导数及梯度的概念及其计算；4、 多元复合函数偏导数；5、 隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法；6、 曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；【教学难点】1、 二元函数的极限及连续性的概念；2、全微分形式的不变性；3、复合函数偏导数的求法；4、二元函数的二阶泰勒公式；5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；6、 拉格郎日乘数法，多元函数的最大值和最小值。【教学课时安排】

3、(18学时)第1 次课 第2 次课 2 第3 次课 3第4 次课 4 第5次课 5 第6次课 6第7次课 7 第8次课 8 第9次课 习题课【参考书】1同济高校数学系.高等数学（下），第五版.高等教化出版社.2 同济高校数学系.高等数学学习辅导及习题选解，第六版.高等教化出版社.3 同济高校数学系.高等数学习题全解指南（下），第六版.高等教化出版社9. 1 多元函数的根本概念一、平面点集n维空间1区域 由平面解析几何知道, 当在平面上引入了一个直角坐标系后, 平面上的点P及有序二元实数组(x, y)之间就建立了一一对应. 于是, 我们常把有序实数组(x, y)及平面上的点P视作是等同的. 这种

4、建立了坐标系的平面称为坐标平面. 二元的序实数组(x, y)的全体, 即R2=RR=(x, y)|x, yR就表示坐标平面. 坐标平面上具有某种性质P的点的集合, 称为平面点集, 记作 E=(x, y)| (x, y)具有性质P. 例如, 平面上以原点为中心、r为半径的圆内全部点的集合是 C=(x, y)| x2+y2r2. 假如我们以点P表示(x, y), 以|OP|表示点P到原点O的间隔 , 那么集合C可表成 C=P| |OP|0为半径的圆的内部的点P (x, y)的全体. 点P0的去心d邻域, 记作, 即 . 注: 假如不须要强调邻域的半径d, 则用U (P0)表示点P0的某个邻域, 点

5、P0的去心邻域记作. 点及点集之间的关系: 随意一点PR2及随意一个点集ER2之间必有以下三种关系中的一种: (1)内点: 假如存在点P的某一邻域U(P), 使得U(P)E, 则称P为E的内点; (2)外点: 假如存在点P的某个邻域U(P), 使得U(P)E=, 则称P为E的外点; (3)边界点: 假如点P的任一邻域内既有属于E的点, 也有不属于E的点, 则称P点为E的边点. E的边界点的全体, 称为E的边界, 记作E. E的内点必属于E; E的外点必定不属于E; 而E的边界点可能属于E, 也可能不属于E . 聚点: 假如对于随意给定的d0, 点P的去心邻域内总有E中的点, 则称P是E的聚点.

6、 由聚点的定义可知, 点集E的聚点P本身, 可以属于E, 也可能不属于E . 例如, 设平面点集 E=(x, y)|1x2+y22. 满意1x2+y22的一切点(x, y)都是E的内点; 满意x2+y2=1的一切点(x, y)都是E的边界点, 它们都不属于E; 满意x2+y2=2的一切点(x, y)也是E的边界点, 它们都属于E; 点集E以及它的界边E上的一切点都是E的聚点. 开集: 假如点集E 的点都是内点, 则称E为开集. 闭集: 假如点集的余集E c为开集, 则称E为闭集. 开集的例子: E=(x, y)|1x2+y22. 闭集的例子: E=(x, y)|1x2+y22. 集合(x, y

7、)|1x2+y22既非开集, 也非闭集. 连通性: 假如点集E内任何两点, 都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于E, 则称E为连通集. 区域(或开区域): 连通的开集称为区域或开区域. 例如E=(x, y)|1x2+y21是无界开区域; 集合(x, y)| x+y1是无界闭区域. 2. n维空间 设n为取定的一个自然数, 我们用Rn表示n元有序数组(x1, x2, , xn)的全体所构成的集合, 即 Rn=RR R=(x1, x2, , xn)| xiR, i=1, 2, , n. Rn中的元素(x1, x2, , xn)有时也用单个字母x来表示, 即x=(x1, x2, , xn).

8、当全部的xi (i=1, 2, , n)都为零时, 称这样的元素为Rn中的零元, 记为0或O . 在解析几何中, 通过直角坐标, R2(或R3)中的元素分别及平面(或空间)中的点或向量建立一一对应, 因此Rn中的元素x=(x1, x2, , xn)也称为Rn中的一个点或一个n维向量, xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个重量. 特殊地, Rn中的零元0称为Rn中的坐标原点或n维零向量. 二. 多元函数概念 例 圆柱体的体积V 和它的底半径r、高h之间具有关系 V =pr2h.这里, 当r、h在集合(r , h) | r0, h0内取定一对值(r , h)时, V对应的值就随之确定. 例

9、2 确定量的志向气体的压强p、体积V和确定温度T之间具有关系 ,其中R为常数. 这里, 当V、T在集合(V ,T) | V0, T0内取定一对值(V, T)时, p的对应值就随之确定. 定义1 设D是R2的一个非空子集, 称映射f : DR为定义在D上的二元函数, 通常记为z=f(x, y), (x, y)D (或z=f(P), PD)其中点集D称为该函数的定义域, x, y称为自变量, z称为因变量. 上述定义中, 及自变量x、y的一对值(x, y)相对应的因变量z的值, 也称为f在点(x, y)处的函数值, 记作f(x, y), 即z=f(x, y). 值域: f(D)=z| z=f(x,

10、 y), (x, y)D. 函数的其它符号: z=z(x, y), z=g(x, y)等. 类似地可定义三元函数u=f(x, y, z), (x, y, z)D以及三元以上的函数. 一般地, 把定义1中的平面点集D换成n维空间Rn内的点集D, 映射f : DR就称为定义在D上的n元函数, 通常记为 u=f(x1, x2, , xn), (x1, x2, , xn)D, 或简记为 u=f(x), x=(x1, x2, , xn)D, 也可记为 u=f(P), P(x1, x2, , xn)D . 关于函数定义域的约定: 在一般地探讨用算式表达的多元函数u=f(x)时, 就以使这个算式有意义的变元

11、x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域. 因此, 对这类函数, 它的定义域不再特殊标出. 例如, 函数z=ln(x+y)的定义域为(x, y)|x+y0(无界开区域); 函数z=arcsin(x2+y2)的定义域为(x, y)|x2+y21(有界闭区域). 二元函数的图形: 点集(x, y, z)|z=f(x, y), (x, y)D称为二元函数z=f(x, y)的图形, 二元函数的图形是一张曲面. 三. 多元函数的极限 及一元函数的极限概念类似, 假如在P(x, y)P0(x0, y0)的过程中, 对应的函数值f(x, y)无限接近于一个确定的常数A, 则称A是函数f(x, y)当(x

12、, y)(x0, y0)时的极限. 定义2 ：设二元函数f(P)=f(x, y)的定义域为D, P0(x0, y0)是D的聚点. 假如存在常数A, 对于随意给定的正数e总存在正数d, 使得当时, 都有 |f(P)-A|=|f(x, y)-A|0, 取, 则当, 即时, 总有|f(x, y)-0|0, 由于sin x在x0处连续, 故$d0, 当|x-x0|d时, 有 |sin x-sin x0|e. 以上述d作P0的d邻域U(P0, d), 则当P(x, y)U(P0, d)时, 明显 |f(x, y)-f(x0, y0)|=|sin x-sin x0|0, 使得对一切PD, 有|f(P)|M

13、; 且存在P1、P 2D, 使得 f(P1)=maxf(P)|PD, f(P2)=minf(P)|PD, 性质2 (介值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数必获得介于最大值和最小值之间的任何值. 小结1. 区域的概念；2. 多元函数的定义；3. 多元函数的极限及其求解；4. 多元函数的连续性。教学方式及教学过程中应留意的问题在教学过程中要留意区域的定义和多元函数的定义，多元函数的极限和连续性的理解是本节的重点，要结合实例，反复讲解。师生活动设计课后习题：7，8，9讲课提纲、板书设计作业 P63: 5（2）（4）（6），6（2）（3）（5）（6）9. 2 偏导数 一、偏导数的定义及其计算法 对

14、于二元函数z=f(x, y), 假如只有自变量x 改变, 而自变量y固定, 这时它就是x的一元函数, 这函数对x的导数, 就称为二元函数z=f(x, y)对于x的偏导数. 定义 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某一邻域内有定义, 当y固定在y0而x在x0处有增量Dx时, 相应地函数有增量f(x0+Dx, y0)-f(x0, y0). 假如极限 存在, 则称此极限为函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处对x的偏导数, 记作, , , 或.例如. 类似地, 函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处对y 的偏导数定义为, 记作 , , , 或fy(x0, y0). 偏导函数:

15、 假如函数z=f(x, y)在区域D内每一点(x, y)处对x的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x、y的函数, 它就称为函数z=f(x, y)对自变量的偏导函数, 记作, , , 或.偏导函数的定义式: . 类似地, 可定义函数z=f(x, y)对y的偏导函数, 记为 , , zy , 或. 偏导函数的定义式: . 探讨: 下列求偏导数的方法是否正确？ , . , . 偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如三元函数u=f(x, y, z)在点(x, y, z)处对x的偏导数定义为 , 其中(x, y, z)是函数u=f(x, y, z)的定义域的内点. 它们的求法也照旧是一元函数的微分

16、法问题. 例1 求z=x2+3xy+y2在点(1, 2)处的偏导数. 例2 求z=x2sin 2y的偏导数. 例3 设, 求证: . 例4 求的偏导数. 例5 已知志向气体的状态方程为pV=RT(R为常数), 求证: . 证 因为, ; , ; , ; 所以. 例5 说明的问题: 偏导数的记号是一个整体记号, 不能看作分子分母之商. 二元函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的偏导数的几何意义: fx(x0, y0)=f(x, y0)x是截线z=f(x, y0)在点M0处切线Tx对x轴的斜率. fy(x0, y0) =f(x0, y)y是截线z=f(x0, y)在点M0处切线Ty对y轴的斜

17、率. 偏导数及连续性: 对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续. 例如 在点(0, 0)有, fx(0, 0)=0, fy(0, 0)=0, 但函数在点(0, 0)并不连续.提示: , ; , . 当点P(x, y)沿x轴趋于点(0, 0)时, 有 ; 当点P(x, y)沿直线y=kx趋于点(0, 0)时, 有 . 因此, 不存在, 故函数f(x, y)在(0, 0)处不连续. 类似地, 可定义函数z=f(x, y)对y的偏导函数, 记为 , , zy , 或. 偏导函数的定义式: . 二. 高阶偏导数 设函数z=f(x, y)在区域D内具有偏导数, , 那么

18、在D内fx(x, y)、fy(x, y)都是x, y 的函数. 假如这两个函数的偏导数也存在, 则称它们是函数z=f(x, y)的二偏导数. 依据对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数 假如函数z=f(x, y)在区域D内的偏导数fx(x, y)、fy(x, y)也具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数z=f(x, y)的二阶偏导数. 依据对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数 , , , .其中, 称为混合偏导数., , , .同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 例6 设z=x3y2-3xy3-xy+1, 求、和. 由例6视察到的问题: 定理 假

19、如函数z=f(x, y)的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续, 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等. 类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数. 例7 验证函数满意方程. 证 因为, 所以 , , , .因此 . 例8证明函数满意方程, 其中. 证: , .同理 , .因此 .提示: .小结1.偏导数的概念及有关结论：定义，记号，几何意义，偏导数的存在及连续性；2.偏导数的计算方法：求导的先后依次。教学方式及教学过程中应留意的问题在教学过程中要留意偏导数的定义以及偏导数的求法，特殊是求导先后依次问题是本节的重点，要结合实例，反复讲解。师生活动设计1.设，方程确定是的函数，其中可微，连续，且，

20、求。2.课后习题：5，6讲课提纲、板书设计作业 P69: 1（4）（6）（8）,4，6（3），89. 3全微分及其应用 一、全微分的定义 依据一元函数微分学中增量及微分的关系, 有 偏增量及偏微分: f(x+Dx, y)-f(x, y)fx(x, y)Dx, f(x+Dx, y)-f(x, y)为函数对x的偏增量, f x(x, y)Dx为函数对x的偏微分; f(x, y+Dy)-f(x, y)fy(x, y)Dy, f(x, y+Dy)-f(x, y)为函数)对y的偏增量, f y(x, y)Dy为函数对y的偏微分. 全增量: Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y). 计算全增量

21、比拟困难, 我们盼望用Dx、Dy的线性函数来近似代替之. 定义 假如函数z=f(x, y)在点(x, y)的全增量 Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y) 可表示为 , 其中A、B不依靠于Dx、Dy 而仅及x、y 有关, 则称函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分, 而称ADx+BDy为函数z=f(x, y)在点(x, y)的全微分, 记作dz, 即 dz=ADx+BDy. 假如函数在区域D内各点处都可微分, 那么称这函数在D内可微分. 可微及连续: 可微必连续, 但偏导数存在不确定连续. 这是因为, 假如z=f(x, y)在点(x, y)可微, 则 Dz= f(x+Dx,

22、y+Dy)-f(x, y)=ADx+BDy+o(r),于是 , 从而 . 因此函数z=f(x, y)在点(x, y)处连续. 定理1(必要条件) 假如函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分, 则函数在该点的偏导数、必定存在, 且函数z=f(x, y)在点(x, y)的全微分为 . 证 设函数z=f(x, y)在点P(x, y)可微分. 于是, 对于点P的某个邻域内的随意一点P (x+Dx, y+Dy), 有Dz=ADx+BDy+o(r). 特殊当Dy=0时有 f (x+Dx, y)-f(x, y)=ADx+o(|Dx|). 上式两边各除以Dx, 再令Dx0而取极限, 就得 , 从而偏导数

23、存在, 且. 同理可证偏导数存在, 且. 所以 . 简要证明: 设函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分. 于是有Dz=ADx+BDy+o(r). 特殊当Dy=0时有 f (x+Dx, y)-f(x, y)=ADx+o(|Dx|). 上式两边各除以Dx, 再令Dx0而取极限, 就得 , 从而存在, 且. 同理存在, 且. 所以. 偏导数、存在是可微分的必要条件, 但不是充分条件. 例如, 函数在点(0, 0)处虽然有f x(0, 0)=0及f y(0, 0)=0, 但函数在(0, 0)不行微分, 即Dz-fx(0, 0)Dx+fy(0, 0)Dy不是较r高阶的无穷小. 这是因为当(Dx,

24、 Dy)沿直线y=x趋于(0, 0)时, . 定理2(充分条件) 假如函数z=f(x, y)的偏导数、在点(x, y)连续, 则函数在该点可微分. 定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数. 按着习惯, Dx、Dy分别记作dx、dy, 并分别称为自变量的微分, 则函数z=f(x, y)的全微分可写作 . 二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理. 叠加原理也适用于二元以上的函数, 例如函数u=f (x, y, z) 的全微分为 . 例1 计算函数z=x2y +y2的全微分. 例2 计算函数z=exy在点(2, 1)处的全微分. 例3 计算函数的全微分.

25、小结1.全微分的定义；2. 可微、可导、连续性之间的关系。教学方式及教学过程中应留意的问题在教学过程中要留意全微分的定义，可微、可导、连续性之间的关系是本节的重点，要结合实例，反复讲解。师生活动设计1.函数在可微的充分条件是（）在的某领域内存在；时是无穷小量；时是无穷小量2.课后习题：5讲课提纲、板书设计作业 P75: 1（1）（3），39. 4 多元复合函数的求导法则 设z=f(u, v), 而u=j(t), v=y(t), 如何求？ 设z=f(u, v), 而u=j(x, y), v=y(x, y), 如何求和？ 1. 复合函数的中间变量均为一元函数的情形 定理1 假如函数u=j(t)及v

26、=y(t)都在点t可导, 函数z=f(u, v)在对应点(u, v)具有连续偏导数, 则复合函数z=fj(t), y(t)在点t可导, 且有 . 简要证明1: 因为z=f(u, v)具有连续的偏导数, 所以它是可微的, 即有 .又因为u=j(t)及v=y(t)都可导, 因此可微, 即有 , , 代入上式得 , 从而 . 简要证明2: 当t获得增量Dt时, u、v及z相应地也获得增量Du、Dv及Dz . 由z=f(u, v)、u=j(t)及v=y(t)的可微性, 有 , , 令Dt0, 上式两边取极限, 即得 . 注:. 推广: 设z=f (u, v, w), u=j(t), v=y(t), w

27、=w(t), 则z=fj(t), y(t), w(t)对t 的导数为: . 上述称为全导数. 2. 复合函数的中间变量均为多元函数的情形 定理2 假如函数u=j(x, y), v=y(x, y)都在点(x, y)具有对x及y的偏导数, 函数z=f(u, v)在对应点(u, v)具有连续偏导数, 则复合函数z=f j(x, y), y(x, y)在点(x, y)的两个偏导数存在, 且有 , . 推广: 设z=f(u, v, w ), u=j(x, y), v=y(x, y), w=w(x, y), 则 , . 探讨: (1)设z=f(u, v), u=j(x, y), v=y(y), 则？ 提示

28、: , . (2)设z=f(u, x, y), 且u=j(x, y), 则？ 提示: , . 这里及是不同的, 是把复合函数z=fj(x, y), x, y中的y看作不变而对x的偏导数, 是把f(u, x, y)中的u及y看作不变而 对x的偏导数. 及也朋类似的区分. 3复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元函数的情形 定理3 假如函数u=j(x, y)在点(x, y)具有对x及对y的偏导数, 函数v=y(y)在点y可导, 函数z=f(u, v)在对应点(u, v)具有连续偏导数, 则复合函数z=fj(x, y), y(y)在点(x, y)的两个偏导数存在, 且有 , .例1 设z=eus

29、in v, u=xy, v=x+y, 求和. 例2 设, 而. 求和. 例3 设z=uv+sin t , 而u=et, v=cos t. 求全导数. 例4 设w=f(x+y+z, xyz), f具有二阶连续偏导数, 求及. 例5 设u=f(x, y)的全部二阶偏导数连续, 把下列表达式转换成极坐标系中的形式: (1); (2). 解 由直角坐标及极坐标间的关系式得 u=f(x, y)=f(rcos, rsin)=F(r, ), 其中x=rcos, y=rsin, , .应用复合函数求导法则, 得 , .两式平方后相加, 得 .再求二阶偏导数, 得 .同理可得 .两式相加, 得 .全微分形式不变

30、性: 设z=f(u, v)具有连续偏导数, 则有全微分 . 假如z=f(u, v)具有连续偏导数, 而u=j(x, y), v=y(x, y)也具有连续偏导数, 则 . 由此可见, 无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数, 它的全微分形式是一样的. 这特性质叫做全微分形式不变性. 例6 设z=e usin v, u=x y, v=x+y, 利用全微分形式不变性求全微分. 解 = e usin vdu+ e ucos v dv = e usin v(y dx+x dy )+ e ucos v(dx+dy) =( ye usin v+ e ucos v)dx+(xe usin v+ e

31、 ucos v )dy =e xy y sin(x+y)+cos(x+y)dx+ e xy x sin(x+y)+cos(x+y)dy . 小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导”；2. 全微分形式不变性。教学方式及教学过程中应留意的问题在教学过程中要留意复合函数求导的链式法则“分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导”， 全微分形式不变性，要结合实例，反复讲解。师生活动设计1. 已知，求2. 设函数在点处可微，且，求讲课提纲、板书设计作业 P82: 2，4，6，9，109. 5 隐函数的求导法则 一、一个方程的情形 隐函数存在定理1 设函数F(x, y)在点P(

32、x0, y0)的某一邻域内具有连续偏导数, F(x0, y0)=0, Fy(x0, y0)0, 则方程F(x, y)=0在点(x0, y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x), 它满意条件y0=f(x0), 并有 . 求导公式证明: 将y=f(x)代入F(x, y)=0, 得恒等式F(x, f(x)0, 等式两边对x求导得 , 由于F y连续, 且Fy(x0, y0)0, 所以存在(x0, y0)的一个邻域, 在这个邻域同Fy 0, 于是得 . 例1 验证方程x2+y2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=f(x

33、), 并求这函数的一阶及二阶导数在x=0的值. 解 设F(x, y)=x2+y2-1, 则Fx=2x, Fy=2y, F(0, 1)=0, Fy(0, 1)=20. 因此由定理1可知, 方程x2+y2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=f(x). , ; , . 隐函数存在定理还可以推广到多元函数. 一个二元方程F(x, y)=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F(x, y, z)=0可以确定一个二元隐函数. 隐函数存在定理2 设函数F(x, y, z)在点P(x0, y0, z0)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且F(x0, y0, z0)=0, Fz(x0, y0, z0)0 , 则方程F(x, y, z)=0在点(x0, y0, z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=f(x, y), 它满意条件z0=f(x0, y