高等数学复习资料大全1.docx

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1、高等数学复习教程第一讲 函数、连续及极限一、理论要求1.函数概念及性质函数的根本性质单调、有界、奇偶、周期几类常见函数复合、分段、反、隐、初等函数2.极限极限存在性及左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法那么求极限3.连续函数连续左、右连续及连续理解并会应用闭区间上连续函数的性质最值、有界、介值二、题型及解法A.极限的求法 1用定义求2代入法对连续函数，可用因式分解或有理化消退零因子3变量交换法4两个重要极限法5用夹逼定理和单调有界定理求6等价无穷小量交换法7洛必达法那么及级数法8其他微积分性质，数列及级数的性质 1.等价小量及洛必达2.解： 洛必达3. 重要极限、b

2、为正常数，解：令变量交换5.解：令变量交换6.设连续，求 洛必达及微积分性质7.在0连续，求a解：令 连续性的概念三、补充习题作业 1. 洛必达2. 洛必达或3. 洛必达及微积分性质第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求1.导数及微分 导数及微分的概念、几何意义、物理意义会求导根本公式、四那么、复合、高阶、隐、反、参数方程求导会求平面曲线的切线及法线方程2.微分中值定理 理解、定理会用定理证明相关问题3.应用 会用导数求单调性及极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率半径二、题型及解法A.导数微分的计算 根本公式、四那么、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.确定，求2.确定，求解：两边

3、微分得0时，将0代入等式得13.确定，那么 B.曲线切法线问题 4.求对数螺线处切线的直角坐标方程。解：5(x)为周期为5的连续函数，它在1可导，在0的某邻域内满意f(1)-3f(1)=8(x)。求f(x)在6，f(6)处的切线方程。解：需求，等式取0的极限有：f(1)=0C.导数应用问题 6.，求点的性质。解：令，故为微小值点。7.，求单调区间及极值、凹凸区间及拐点、渐进线。解：定义域8.求函数的单调性及极值、渐进线。解：，D.幂级数绽开问题 9.或：10.求解：= E.不等式的证明 11.设，证：1令 2令F.中值定理问题 12.设函数具有三阶连续导数，且，求证：在-1，1上存在一点证：其

4、中将1，1代入有两式相减：13.，求证： 证：令令 关键：构造函数三、补充习题作业1.2.曲线3.4.证明x0时 证：令 第三讲 不定积分及定积分一、理论要求1.不定积分 驾驭不定积分的概念、性质线性、及微分的关系会求不定积分根本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部2.定积分 理解定积分的概念及性质理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题长、面、体会用定积分求物理问题功、引力、压力及函数平均值二、题型及解法A.积分计算 1.2.3.设，求解：4.B.积分性质 5.连续，,且，求并探讨在的连续性。解： 6. C.积分的应用 7.设在0，1连续，在0，1上，

5、且，又及10所围面积2。求，且时S绕x轴旋转体积最小。解： 8.曲线，过原点作曲线的切线，求曲线、切线及x轴所围图形绕x轴旋转的外表积。解：切线绕x轴旋转的外表积为 曲线绕x轴旋转的外表积为 总外表积为三、补充习题作业1.2.3.第四讲 向量代数、多元函数微分及空间解析几何一、理论要求1.向量代数 理解向量的概念单位向量、方向余弦、模理解两个向量平行、垂直的条件向量计算的几何意义及坐标表示2.多元函数微分 理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质理解偏导数、全微分概念能娴熟求偏导数、全微分娴熟驾驭复合函数及隐函数求导法3.多元微分应用 理解多元函数极值的求法，会用乘数法求极值4.空间解

6、析几何 驾驭曲线的切线及法平面、曲面的切平面及法线的求法会求平面、直线方程及点线间隔 、点面间隔 二、题型及解法A.求偏导、全微分 1.有二阶连续偏导，满意，求解：2.3.，求B.空间几何问题 4.求上随意点的切平面及三个坐标轴的截距之和。解：5.曲面在点处的法线方程。C.极值问题 6.设是由确定的函数，求的极值点及极值。三、补充习题作业1.2.3. 第五讲 多元函数的积分一、理论要求1.重积分 熟识二、三重积分的计算方法直角、极、柱、球会用重积分解决简洁几何物理问题体积、曲面面积、重心、转动惯量2.曲线积分 理解两类曲线积分的概念、性质、关系，驾驭两类曲线积分的计算方法熟识公式，会用平面曲线

7、积分及途径无关的条件3.曲面积分 理解两类曲面积分的概念质量、通量、关系熟识及公式，会计算两类曲面积分二、题型及解法A.重积分计算 1.为平面曲线绕z轴旋转一周及8的围域。解：2.为及围域。3.，求 (49/20)B.曲线、曲面积分 4. 解：令 5.,。解：取包含(0,0)的正向， 6.对空间x0内随意光滑有向闭曲面S， ，且在x0有连续一阶导数，,求。解： 第六讲 常微分方程一、理论要求1.一阶方程 娴熟驾驭可别离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法2.高阶方程 会求3.二阶线性常系数 (齐次)(非齐次)(非齐次)二、题型及解法A.微分方程求解 1.求通解。2.利用代换化简并求通解。3.设

8、是上凸连续曲线，处曲率为，且过处切线方程为1，求及其极值。解：三、补充习题作业1.函数在随意点处的增量。(2.求的通解。3.求的通解。4.求的特解。第七讲 无穷级数一、理论要求1.收敛性判别 级数敛散性质及必要条件常数项级数、几何级数、p级数敛散条件正项级数的比较、比值、根式判别法交织级数判别法2.幂级数 幂级数收敛半径、收敛区间及收敛域的求法幂级数在收敛区间的根本性质和函数连续、逐项微积分及绽开3级数 理解级数概念及收敛定理会求的级数及正余弦级数第八讲 线性代数一、理论要求1.行列式 会用按行列绽开计算行列式2.矩阵 几种矩阵单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随矩阵加减、数乘、乘法

9、、转置，方阵的幂、方阵乘积的行列式矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价用初等变换求矩阵的秩及逆理解并会计算矩阵的特征值及特征向量理解相像矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件驾驭将矩阵化为相像对角矩阵的方法驾驭实对称矩阵的特征值及特征向量的性质3.向量 理解n维向量、向量的线性组合及线性表示驾驭线性相关、线性无关的判别理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩理解基变换及坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法理解标准正交基、正交矩阵的概念及性质4.线性方程组 理解齐次线性方程组有非零解及非齐次线性方程组有解条件理解齐次、非齐次线性方程组的根底解系及通解驾驭用初等行变换

10、求解线性方程组的方法5.二次型 二次型及其矩阵表示，合同矩阵及合同变换二次型的标准形、标准形及惯性定理驾驭用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法理解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法第九讲 概率统计初步一、理论要求1.随机事务及概率理解样本空间根本事务空间的概念，理解随机事务的关系及运算会计算古典型概率及几何型概率驾驭概率的加减、乘、全概率及贝叶斯公式2.随机变量及分布理解随机变量及分布的概念理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度驾驭0-1、二项、超几何、泊松、匀称、正态、指数分布，会求分布函数3.二维随机变量理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布理解随机变量

11、的独立性及不相关概念驾驭二维匀称分布、理解二维正态分布的概率密度会求两个随机变量简洁函数的分布4.数字特征理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念驾驭常用分布函数的数字特征，会求随机变量的数学期望5.大数定理理解切比雪夫不等式，理解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理理解隶莫弗定理及列维-林德伯格定理6.数理统计概念理解总体、简洁随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩理解分布、t分布、F分布的概念和性质，理解分位数的概念理解正态分布的常用抽样分布7.参数估计驾驭矩估计及极大似然估计法理解无偏性、有效性及一样性的概念，会验证估计量的无偏性会求单个正态总体的均值和方差的置信区间8.假设检

12、验驾驭假设检验的根本步骤理解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验第十讲 总结1.极限求解变量交换作对数交换，洛必达法那么，其他重要极限，微积分性质，级数，等价小量交换1. (几何级数)2. (对数交换)3.4.5.6.，求2.导数及微分复合函数、隐函数、参数方程求导1.2.，求3.确定函数，求4.，验证5.,求3.一元函数积分1.求函数在区间上的最小值。02.3.4.5.6.4.多元函数微分1.，求2.由给出，求证：3.求在O(0,0)(1,1)(4,2)的梯度。4.，求6.证明满意7.求内的最值。5.多元函数积分1.求证：2.3.4.变更积分次序5.围域。6.常微分方程1.求通解。2.求通解。3.求通解。4.求通解。5.求特解。6.求特解。高等数学考研题型分析 填空题：极限指数变换，罗必达、求导隐函数，切法线、不定积分、二重积分、变上限定积分选择题：等价小量概念，导数应用，函数性质，函数图形，多元极限计算题：中值定理或不等式，定积分几何应用，偏导数及几何应用，常微分方程及应用