应用概率统计课后习题答案详解[3].docx

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1、习 题 一 解 答. 设、表示三个随机事务，试将以下事务用、及其运算符号表示出来：(1) 发生，、不发生；(2) 、不都发生，发生；(3) 、中至少有一个事务发生，但不发生；(4) 三个事务中至少有两个事务发生；(5) 三个事务中最多有两个事务发生；(6) 三个事务中只有一个事务发生解：1 (2) (3) (4) (5) (6). 袋中有15只白球 5 只黑球，从中有放回地抽取四次，每次一只设表示“第i次取到白球i1，2，3，4 ，表示“至少有 3 次取到白球 试用文字表达以下事务：(1) ， (2) ,(3) ， (4) 解：1至少有一次获得白球2没有一次获得白球3最多有2次获得白球4第2次

2、和第3次至少有一次获得白球. 设、为随机事务，说明以下式子中、之间的关系(1) 2解：1 (2). 设表示粮食产量不超过500公斤，表示产量为200-400公斤 ，表示产量低于300公斤，表示产量为250-500公斤，用区间表示以下事 件：(1) ， (2) ，(3) ，(4)，(5)解：(1); (2) (3) (4) (5). 在图书馆中任选一本书，设事务表示“数学书，表示“中文版， 表示“ 1970 年后出版问：(1) 表示什么事务？(2) 在什么条件下，有成立？(3) 表示什么意思？(4) 假设，说明什么问题？解：1选了一本1970年或以前出版的中文版数学书2图书馆的数学书都是1970

3、年后出版的中文书3表示1970年或以前出版的书都是中文版的书4说明全部的非数学书都是中文版的，而且全部的中文版的书都不是数学书. 互斥事务及对立事务有什么区分？试比较以下事务间的关系(1) X 20 及X 20 ；(2) X 20及X 18 ； (3) X 20及X 25 ；(4) 5 粒种子都出苗及5粒种子只有一粒不出苗；(5) 5 粒种子都出苗及5粒种子至少有一粒不出苗解：1对立; (2)互斥；3相容；4互斥；5对立(古). 抛掷三枚匀整的硬币，求出现“三个正面的概率解：古. 在一本英汉词典中，由两个不同的字母组成的单词共有 55 个，现从26个英文字母中随机抽取两个排在一起，求能排成上述

4、单词的概率解：古. 把 10 本书随意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率是多少？解：首先将指定的三本书放在一起，共种放法，然后将进展排列，共有种不同排列方法。故古10. 号码由 6 位数字组成，每个数字可以是 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 共 10 个数字中的任何一个数字不考虑 局的详细规定，求：(1) 号码中 6 个数字全不一样的概率；(2) 假设某一用户的 号码为 283125 ，假设不知道 号码，问一次能打通 的概率是多少？解：(1) ，(2) 古11. 50 粒牧草种子中混有3粒杂草种子，从中任取4粒，求杂草种子数分别为0，1，23 粒的概律解： 古12. 袋内放

5、有两个伍分、三个贰分和五个壹分的硬币，从中任取五个，求钱额总和超过一角的概率解：设为事务“钱额总和超过一角，那么=两个五分其余任取3个+一个五分3个两分一个一分+一个五分2个两分2个一分，故：古13. 10 把钥匙中有3把能翻开门，今任取两把，求能翻开门的概率解：，或古14. 求习题 11 中至少有一粒杂草种子的概率解：此题及11解法有关，即为几15.有一码头，只能停岸一艘轮船，设有甲、乙两艘轮船在0道T小时这段时间内等可能地到达这个码头，到后都停小时，求两船不相遇的概率解：设分别为甲、乙船到达码头的时刻，A为事务“两船相遇。那么，。所求概率为几16.蒲丰投针问题设平面上画着一些有相等间隔 2

6、aa0的平行线。向此平面上投一枚质地匀整的长为2l(la)的针，求针及直线相交的概率。解：设为针的中点到最近一条直线的间隔 为针及直线的夹角，那么， ，于是有17. 某种动物由诞生活到20岁的概率为0.8, 活到25岁的概率为0.4，求如今20岁的这种动物能活到25岁的概率。解：设A为该动物能活到20岁，B为能活到25岁，那么，所求概率为18由长期统计资料说明，某一地区6月份下雨记为事务A的概率为4/15，刮风记为事务B的概率为7/15，既下雨又刮风的概率为1/10，求解：由条件概率公式知 19为防止意外，在矿内设有两种报警系统，单独运用时，系统有效的概率为 0.92 ，系统有效的概率为 0.

7、93 ，在系统失灵的条件下，系统有效的概 率为 0.85，求：(1) 发生意外时，这两种系统至少有一个系统有效的概率(2) 系统失灵的条件下，系统有效的概率解：由题意。1所求概率为：其中：2所求概率为 其中 20. 100件产品中有10件次品，用不放回的方式从中每次取1件，连取3 次，求第三次才获得正品的概率解：设第三次才获得正品的概率为A，样本空间为 所以条件21. 在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为 0.4 ；假设乙机未被击落，就进展还击，击落甲机的概率为 0.5 ；假设甲机仍未被击落，那么再进攻乙机，击落乙机的概率为 0.6 求在这几个回合中(1) 甲机被击落的概率；(2) 乙

8、机被击落的概率解：设A为甲机第一次被击落，为乙机第次被击落，这里互不相容。依题义有1所求概率为 2所求概率为 ,其中故所求概率为全概22. 一个袋子中装有6只白球，4只黑球，从中任取一只，然后放回，并同时加进2只及取出的球同色的球，再取第二只球，求第二只球是白色的概率解：设A为“第一次获得白球，B为“第二次获得白球共4白2黑，那么23. 10 张消遣票中有4张电影票， 10个人依次抽签问第一个人及第二个人抽到电影票的概率是否一样？解：设为事务“第个人抽到电影票，那么 “ 和“ ，由于通信系统受到干扰，当发出信号“ 时，收报台分别以概率 0.8 及 0.2 收到信号 “ 和“ ，同样，当发报台发

9、出信号“ 时，收报台分别以概率 0 .9 和 0.1 收到信号“ 和“ 求(1) 收报台收到信号“ 的概率(2) 当收报台收到信号“ 时，发报台确系发出信号“ 的概率解：设A，B分别为发出和承受信号“。，分别为发出和承受信号“-那么依题意有（） 所求概率为 （） 所求概率为 25. 某工厂有甲、乙两车间消费同一种产品，两车间产品的次品率分别为0 .03 和 0.02 ，消费出来的产品放在一起，且知甲车间的产量比乙车间的产量多一倍，求：(1) 该厂产品的合格率；(2) 假设任取一个产品，经检验是次品，求它是由甲车间消费的概率解：设分别为甲、乙车间消费的产品，B为次品，那么依题义有(1) 所求概率

10、为 (2) 所求概率为 26. 在习题20 中，假设第二只取到的是白球，问第一只球是白球的概率大还是黑球的概率大？解：第二只球是白球的概率 假设第一只球是白色时为事务，第一只球是黑球时为事务所以又因为是对立事务，而且事务B对都无影响所以 第一只球是白球的概率大27. 两射手彼此独立地向同一目的射击，设甲击中的概率为 0.9 ，乙击中的概率为 0.8 求(1) 目的被击中的概率；(2) 两人都击中的概率；(3) 甲中、乙不中的概率；(4)甲不中、乙中的概率解：A为甲击中，B为乙击中，那么A，B独立，且所求概率分别为12，3428. 加工一个零件要经过三道工序，各道工序的合格率分别为 0.95，0

11、.9，0.85，设各道工序是否合格是独立的，求加工出来的零件的合格率解：设分别表示第一，第二，第三道工序出现的合格品，那么依题意互相独立，且又设A表示加工出来的零件是合格品，那么所以29. 某厂用两种工艺消费一种产品，第一种工艺有三道工序，各道工序出现废品的概率为0.05，0.1，0.15；第二种工艺有两道工序，各道工序出现废品的概率都是 0.15 ，各道工序独立工作设用这两种工艺在合格品中得到优等品的概率分别为0.95，0.85试比较用哪种工艺得到优等品的概率更大？解：第一道工序的合格率为，优等品率为第二道工序的合格率为，优等品率为30. 三个人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为

12、， 求此密码被译出的概率解：设A，B，C分别为甲、乙、丙三人能单独译出的事务，那么A，B，C互相独立，所求概率为代入数据即可。或考虑逆事务的概率：31. 某动物的成活率为60% ，现饲养5只，设各动物是否成活互不影响，求：(1)恰有2只成活的概率； (2) 至少有2只成活的概率解：设A为动物能成活，那么设为5只中的成活数，那么，其中（） 所求概率为（） 所求概率为32. 某单位有 12 台个人计算机，各计算机是否被运用是独立的设计算机的运用率为 0.7 ，求在同一时刻有 9 台或更多计算机在运用的概率解：设A为事务“计算机被运用那么，设X为同时运用的计算机数目，那么，所求概率为例为5%即在携带

13、病毒的人中，有5%的试验结果为阴性，假阳性比例为1%即在不携带病毒的人中，有1%的试验结果为阳性.据统计人群中携带病毒者约占1，假设某人的血液检验结果呈阳性，试问该人携带爱滋病毒的概率.解：设A为检查为阳性，B为携带病毒，求。，由贝叶斯法那么有习 题 二 解 答1 五张卡片上分别写有号码1，2，3，4，5。随即抽取其中三张，设随机变量X表示取出三张卡片上的最大号码。（1） 写出X的全部可能取值；2求X的分布率。解：1明显是：3，4，5。（2） X的分布律X345P2 下面表中列出的是否时。某个随机变量的分布律1X135P2X123P答：1是 2不是3一批产品共有N件，其中M件次品。从中随意抽取

14、n(n=M)件产品，求这n件产品中次品数X的分布律。此分布律为超几何分布解：抽取n件产品的抽法有种，抽取到次品的抽法有种，所以所求概率为：P=,k=0,1,2,3.n4.设随机变量X的分布律为PX=k=,k=1,2,3,4,5.求：1PX=1或X=2； 2P; (3)P. 解：1PX=1或X=2PX=1 PX=2。 2PPPX=1 PX=2。 3PPX=1 PX=2。5一批产品共10件，其中7件正品，3件次品。从该批产品中每次任取一件，在以下两种状况下，分别求直至获得正品为止所需次数X的分布律。1每次取后不放回；2每次取后放回。X1234P解：1 (2) =1，2，6.某射手每发子弹命中目的概

15、率为0.8，现互相独立地射击5发子弹，求：1命中目的弹数地分布律；2命中目的的概率。解：1设X为命中目的的弹数，那么其分布律为PX=K=,(k=0,1,2,3,4,5). (2)P命中目的1-PX=0=17设随机变量X听从泊松分布P(),且PX=1=PX=2,求PX=4.解：由PX=1=PX=2得：ee解得：2或0舍弃。故：PX=4=e= e8.设随机变量X的分布律为：1PX=k=,k=1,2,.N(2) PX=k=a,k=0,1,2,试确定常数a解：1由1 得：N *=1,解得：a=1(2) 由1 得：1，解得：a= e9. 某车间有同类设备100台，各台设备工作互不影响。假设每台设备发生故

16、障得概率是0.01且一台设备的故障可由一个人来处理，问至少装备多少修理工人，才能保证设备发生故障但不能刚好修理的概率小于0.01利用泊松定理近似计算。 解：设X为发生故障设备得台数，那么，即X近似听从参数为的poisson分布。设设备须要N个人看管“，那么查表得10.设随机变量X的密度函数为f(x)=c e (-x+),求：1常数c;(2)X落在区间0，1内的概率；3P解：1因为1即：+1， ce=1,解得：c(2)P=(3)P=P=+=+= e11设随机变量X的密度函数为，求1常数c; (2)P0.3Xa=PXb=0.64; (5)X分布函数。解：(1) =+ =cxdx =1 所以，解得

17、C=2(2) P0.3X0.7=2xdx =(3)由得：当a 1时，故，a不行能小于0或大于1；当0a1时，所以，即得：a4由题设可知，b的取值范围为：0b15当x 1时，F(x)12.解：由题设可知，把X的分布函数的取值范围分为四段：当x -1时，F(x)0；当-1 x 0时，F(x)；当0 1时，F(x)113.解：1PX2 F(2) 1e2 7 ；PX 2 1PX21-0.86470.1353；2设X的密度函数为f(x).当X0时，f(x)0；当X0时，f(x)；14.解：11；即： ； 0；即： ；由式得：A，B2P-1X1F(1)F(-1)3X的密度函数：f(x)，15.解：当x a

18、1PX a所以，17.解：设乘客候车时间为X分。由于乘客到达该汽车站的任一时刻是等可能的，且公共汽车每隔5分钟通过车站一次，所以，X在区间0,5内匀整分布。所以X的密度函数为18.解：因为X在-2 , 5上听从匀整分布，所以，X的密度函数为：而要方程有实根，那么要求，即得：X-1或X2即，方程有实根的概率为：PX-1+PX219.解：1220.解：1 ， 所以2 ， 所以21.解：由题设得：，即：，即：查表得：0，所以c=322.解：1即：；查表并计算得：3032查表并计算得：6063X10.17 单位：cm所以，消费该种配件是合格品的概率为：查表得：24.解：X-2024X+202461X3

19、1-1-3X240416P25.解：因为Y1X是严格单调的函数，所以：当0y1时，即，0x1时，当Y为其他值时，即，X在区间0，1外时，所以：Y1X的密度函数为：或：解 Y=1-X的分布函数为 其中是的分布函数，它满意，而26.解：1由题设可得：那么在三次测量中至少有一次的概率：3由题设可得：习 题 三 解 答1：设二维随变量X，Y只能取以下数组中的值：0，0，-1，1，-1，1/3，2，0，且取这几组值的概率依次为1/6，1/3，1/12，5/12。求此二维随机变量X，Y的分布列。解：此二维随机变量X，Y的分布列是： YX01/31-101/121/301/60025/12002一袋中有四个

20、球，它们依次标有数字1，2，2，3。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取球，设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性一样。以X，Y分别记第一、二次获得的球上标有的数字，求X，Y的概率分布。解：由题意得：X，Y的可能取值为：1，2，1，3，2，1，2，2，2，3，3，1，3，2。那么由概率的乘法公式得：PX=1,Y=2=(1/4)(2/3)=1/6 PX=1,Y=3=(1/4)(1/3)=1/12 PX=2,Y=1=(2/4)(1/3)=1/6 PX=2,Y=2=(2/4)(1/3)=1/6 PX=2,Y=3=(2/4)(1/3)=1/6 PX=3,Y=1=(1/4(1/3)=1/12 P

21、X=3,Y=2=(1/4)(2/3)=1/6 而事务(1,1),(3,3)为不行能事务，所以PX=1,Y=1=0，PX=3,Y=3=0。那么X，Y的结合分布列为：YX123101/61/1221/61/61/631/121/60 3在一个箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只，考虑两种试验，1有放回抽样，2无放回抽样，我们定义随机变量X，Y如下 解：1所求结合概率分布为：YXX01025/365/3615/361/36 2所求结合概率分布为： YXX01045/6610/66110/661/664.设二维随机变量X，Y的概率密度为 =1确定常数k；2求X，Y的分布

22、函数；3求P0X1，0Y2。解：1由概率密度函数的性质知 = =* =1 即 k=12.(2)由定义，有 当时 当时于是3 = 5.随机变量X，Y的分布密度为1求系数C；2求随机变量X，Y落在内的概率。解：1由利用极坐标运算得于是 2利用极坐标运算得： =1-6.求出在D上听从匀整分布的随机变量(X,Y)的分布密度及分布函数,其中D为x轴，y轴及直线y=2x+1围成的三角形区域解：由于面积=1/4，所以X,Y的结合密度函数为分布函数分区域探讨1 当从而 2 当3 当4 当5 当 综上可得： 7. 设随机变量X,Y的概率密度为求PX+Y.解：PX+Y1=1PX+Y1=1=8：设二维随机变量X，Y

23、要区域D上听从匀整分布，其中D 是曲线y=和y=x所围成，试求X，Y的分布密度及边缘分布密度。解：面积那么 a关于X的边缘概率密度当时, 当时所以b关于Y的边缘概率密度当时, 当时所以91第1题中的随机变量X和Y是否互相独立提示：考虑事务X=-1，y=1？ 2第6题中的随机变量X及Y是否互相独立提示：考虑事务 ？解：1，而 依据定义得：X及Y不互相独立。210二维随机变量X，Y的概率密度为：求边缘概率密度及；（1） ，（2） 问X和Y是否互相独立？解：1当0x1时， 其它， 所以 所以关于X的概率密度为类似地，当0y1， 其它， 所以 （3） 故由条件概率密度的定义可知，3x=1，y=1时，4

24、y-3(4x-3)=1此时所以X和Y不互相独立。111假设X，Y在以原点为中心，边长为2的正方形内听从匀整分布，问X和Y是否互相独立？2假设X，Y在以原点为中心，R为半径的圆内听从匀整分布，问X和Y是否互相独立？解：1因为X，Y听从匀整分布，故当x1时，f(x,y)=0 所以当时， 于是得关于X的概率密度为同理可得关于Y得概率密度为，故X和Y是互相独立。2因为X，Y听从匀整分布，故当xR时，所以 当时，即同理得：, ,故X和Y不互相独立。12.设X和Y互相独立，它们的概率密度分别为求ZXY的概率密度.解：因为X和Y互相独立，所以有 当时当时13.设随机变量X，Y的概率密度为 ，求的概率密度。解

25、：Z的分布函数为 式中，G是xOy平面内由不等式所确定的区域，当z0时，再用极坐标来求积分求导得 所以 14设X，Y的分布密度为 求Z=的概率密度。解：Z的分布函数为当时，；当时，所以综上得 15设X,Y的结合分布密度为 求k值。解：由概率密度的性质，由题意得， ， 所以 k=。16求15题中X和Y的边缘分布。解 1因为当x3时，f(x,y)=0,所以 当时，（2） 因为当y3时，f(x,y)=0,所以 当时，由上可知习 题 四 解 答1. 解：由数学期望的定义知：因为 53511X-1012P 所以 3511P 从而由期望和方差的定义知： =2. 解：甲品种母猪产仔的期望为乙品种母猪产仔的期

26、望为由于， 因此乙种母猪平均产仔数多。3. 解：设在获得合格品以前已取出的废品数为X，那么X的可能取值为0，1，2，3 且 那么其分布率为X0123P4.解：设孵出小鸡的个数为X，那么 = 5.解：(1) (2) =16.解：=500+1000+0=15009. =0=1+1=210.解：由题意有 按定义有=由公式11.解：设球的直径为，那么,所以 又因为球的体积为 所以13. 解:由期望的性质和题设条件知(1) =+=(2)=10- =14.解： 由期望的定义得，由公式有 而所以于是12习 题 五 解 答 2 解: 3 解: 即 查表得 4 解: 依题意 =5 解: 依题意 ，由标准正态分布

27、和的关系知： 同理可得 ,.由的可加性知： 6 解: 查表可得 (1)(2) (3)(4) (5)(6) (7)F(8)F (9)F7 解: 依题意可得 ，由标准正态分布和分布之间的关系知：(2)由定理5.2可得，当，来自总体的样本，那么有，由t分布和F分布得关系可得：8 解：1依据定理5.1 有 PS2.9=P=P查表得 (2) 依据定理5.1 有 习 题 六 解 答2、解：由例3P114知：的矩法估计分别为， 代入数据得样本均值为：且 于是3、解：似然函数为对其求对数得： 求导，并令其为0 解得： 即为的极大似然估计4、解：因为，可知样本均听从N(,1) 所以 是的无偏估计量。 于是 即的无偏估计量方差较小。 5、解：设总体，因为总体方差，所以总体均值的置信程度为的置信区间为 ，又n25，样本均值，从而得故得 得置信下限为：得置信上限为：故的置信程度为95的置信区间为480.4，519.69、解:(1)的置信程度为0.95的置信区间长度为 ，即