人教版高中数学《三角函数》全部教案.docx

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1、 三角函数第一教时教材：角的概念的推广目的：要求学生驾驭用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边一样的角”的含义。过程：一、提出课题：“三角函数” 回忆初中学过的“锐角三角函数”它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于如今，我们探讨的三角函数是“随意角的三角函数”，它对我们今后的学习和探讨都起着非常重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。二、角的概念的推广1 回忆：初中是任何定义角的？（从一个点动身引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、简洁理解，但它的弊端在于“狭隘” 2 讲解：“旋转”形成角（P4）突出“旋转” 留意：“顶点”“始边”

2、“终边”“始边”往往合于轴正半轴 3 “正角”与“负角”这是由旋转的方向所确定的。记法：角或 可以简记成4 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。1 角有正负之分 如：a=210 b=-150 g=-6602 角可以随意大 实例：体操动作：旋转2周（3602=720） 3周（3603=1080）3 还有零角 一条射线，没有旋转三、关于“象限角” 为了探讨便利，我们往往在平面直角坐标系中来探讨角 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30 390 -330是第象限

3、角 300 -60是第象限角 585 1180是第象限角 -2000是第象限角等四、关于终边一样的角 1视察：390，-330角，它们的终边都与30角的终边一样2终边一样的角都可以表示成一个0到360的角与个周角的和 390=30+360 -330=30-360 30=30+0360 1470=30+4360 -1770=30-5360 3全部与a终边一样的角连同a在内可以构成一个集合 即：任何一个与角a终边一样的角，都可以表示成角a与整数个周角的和4例一 （P5 略）五、小结： 1 角的概念的推广 用“旋转”定义角 角的范围的扩大 2“象限角”与“终边一样的角” 第二教时教材：弧度制目的：要

4、求学生驾驭弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集一一对应关系的概念。过程：一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制角度制的定义。 二、提出课题：弧度制另一种度量角的单位制 它的单位是rad 读作弧度orC2rad1radrl=2roAAB 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。 如图：AOB=1rad AOC=2rad 周角=2prad 1 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是02 角a的弧度数的肯定值 （为弧长，为半径）3 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量一样（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不

5、同。三、角度制与弧度制的换算 抓住：360=2prad 180=p rad 1= 例一 把化成弧度 解： 例二 把化成度 解： 留意几点：1度数与弧度数的换算也可借助“计算器”中学数学用表进展； 2今后在详细运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3表示3rad sinp表示prad角的正弦 3一些特殊角的度数与弧度数的对应值应当记住（见课本P9表） 4应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。 例三 用弧度制表示：1终边在轴上的角的集合 2终边在轴上的角的集合 3终边在坐标轴上的角的集合 解：1终边在轴上的角

6、的集合 2终边在轴上的角的集合 3终边在坐标轴上的角的集合 第三教时教材：弧度制（续）目的：加深学生对弧度制的理解，逐步习惯在详细应用中运用弧度制解决详细的问题。过程：一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。 口答教学与测试P101-102练习题 15 并留意紧扣，稳固弧度制的概念，然后再讲P101例二 二、由公式： 比相应的公式简洁 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的肯定值与半径的积 例一 （课本P10例三） 利用弧度制证明扇形面积公式其中是扇形弧长，是圆的半径。oRS 证： 如图：圆心角为1rad的扇形面积为：l 弧长为的扇形圆心角为 比拟这与扇形面积公式 要简洁 例二 教学与测试

7、P101例一 直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 解： ： ： oAB 例三 如图，已知扇形的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。解：设扇形的半径为r，弧长为，则有 扇形的面积例四 计算 解： 例五 将下列各角化成0到的角加上的形式 解：R=4560 例六 求图中马路弯道处弧AB的长（准确到1m）图中长度单位为：m 解： 三、练习：P11 6、7 教学与测试P102 练习6四、作业： 课本 P11 -12 练习8、9、10 P12-13 习题4.2 514教学与测试P102 7、8及思索题第四教时教材：随意角的三角函数（定义）目的：要求学生驾驭随意角的三角函数的定义

8、，继而理解a角与b=2kp+a(kZ)的同名三角函数值相等的道理。过程：一、提出课题：讲解定义：1 设a是一个随意角，在a的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）则P与原点的间隔 （图示见P13略）2比值叫做a的正弦 记作： 比值叫做a的余弦 记作： 比值叫做a的正切 记作： 比值叫做a的余切 记作： 比值叫做a的正割 记作： 比值叫做a的余割 记作： 留意突出几个问题： 角是“随意角”，当b=2kp+a(kZ)时，b与a的同名三角函数值应当是相等的，即但凡终边一样的角的三角函数值相等。 事实上，假如终边在坐标轴上，上述定义同样适用。（下面有例子说明） 三角函数是以“比值”为函数值的函数 ，

9、而x,y的正负是随象限的改变而不同，故三角函数的符号应由象限确定（今后将专题探讨） 定义域： 二、例一 已知a的终边经过点P(2,-3)，求a的六个三角函数值xoyP(2,-3) 解： sina=- cosa= tana=- cota=- seca= csca=- 例二 求下列各角的六个三角函数值 0 p 解： 的解答见P16-17 当a=时 sin=1 cos=0 tan不存在 cot=0 sec不存在 csc=1 例三 教学与测试P103 例一 求函数的值域解： 定义域：cosx0 x的终边不在x轴上 又tanx0 x的终边不在y轴上当x是第象限角时， cosx=|cosx| tanx=|

10、tanx| y=2 ,|cosx|=-cosx |tanx|=-tanx y=-2 , |cosx|=-cosx |tanx|=tanx y=0例四 教学与测试P103 例二 已知角a的终边经过P(4,-3),求2sina+cosa的值 已知角a的终边经过P(4a,-3a),(a0)求2sina+cosa的值 解：由定义 ： sina=- cosa= 2sina+cosa=- 若 则sina=- cosa= 2sina+cosa=- 若 则sina= cosa=- 2sina+cosa=三、小结：定义及有关留意内容四、作业： 课本 P19 练习1 P20习题4.3 3 教学与测试P104 4、

11、5、6、 7第五教时教材：三角函数线目的：要求学生驾驭用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。过程：一、复习三角函数的定义，指出：“定义”从代数的角度提醒了三角函数是一个“比值”二、提出课题：从几何的观点来提醒三角函数的定义：用单位圆中的线段表示三角函数值三、新授：2 介绍（定义）“单位圆”圆心在原点O，半径等于单位长度的圆3 作图：（课本P14 图4-12 ）此处略 设随意角a的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，角a的终边也与单位圆交于P，坐标轴正半轴分别与单位圆交于A、B两点 过P(x,y)作PMx轴于M，过点A(1,0)作单位圆切线，与a角的终边

12、或其反向延长线交于T，过点B(0,1)作单位圆的切线，与a角的终边或其反向延长线交于S4 简洁介绍“向量”（带有“方向”的量用正负号表示）“有向线段”（带有方向的线段）方向可取与坐标轴方向一样，长度用肯定值表示。例：有向线段OM，OP 长度分别为 当OM=x时 若 OM看作与x轴同向 OM具有正值x 若 OM看作与x轴反向 OM具有负值x5 有向线段MP,OM,AT,BS分别称作 a角的正弦线,余弦线,正切线,余切线 四、例一利用三角函数线比拟下列各组数的大小：1 与 2 tan与tan 3 cot与cotABoT2T1 S2 S1P2P1 M2 M1 S1 解： 如图可知： tan tan

13、cot cot 例二 利用单位圆找寻合适下列条件的0到360的角xyoTA21030xyoP1P21 sina 2 tana 解： 1 2 30a150 30a90或210a270xyoP1P2M1M2例三 求证：若时，则sina1sina2证明： 分别作a1,a2的正弦线x的终边不在x轴上 sina1=M1P1 sina2=M2P2 M1P1 M2P2 即sina1sina2五、小结：单位圆，有向线段，三角函数线六、作业： 课本 P15 练习 P20习题4.3 2 补充：解不等式：() 1sinx 2 tanx 3sin2x第七教时教材：三角函数的值在各象限的符号目的：通过启发让学生依据三角

14、函数的定义，确定三角函数的值在各象限的符号，并由此娴熟地处理一些问题。过程：一、复习三角函数的定义；用单位圆中的线段表示三角函数值二、提出课题 然后师生共同操作：1 第一象限：sina0,cosa0,tana0,cota0,seca0,csca0 第二象限：sina0,cosa0,tana0,cota0,seca0,csca0 第三象限：sina0,cosa0,tana0,cota0,seca0,csca0 第四象限：sina0,cosa0,tana0,cota0,seca0,csca0 记忆法则： 为正 全正为正 为正 2 由定义：sin(a+2kp)=sina cos(a+2kp)=cos

15、a tan(a+2kp)=tana cot(a+2kp)=coa sec(a+2kp)=seca csc(a+2kp)=csca三、例一 （P18例三 略）例二 （P18例四）求证角q为第三象限角的充分条件是 证：必要性：若q是第三象限角，则必有sinq0,tanq0 充分性： 若 两式成立 若sinq0 则q角的终边可能位于第三、第四象限，也可能位于y轴的非正半轴若tanq0，则角q的终边可能位于第一或第三象限 都成立 q角的终边只能位于第三象限 角q为第三象限角例三 （P19 例五 略）四、练习：1 若三角形的两内角a，b满意sinacosb0，则此三角形必为（B）A：锐角三角形 B：钝角

16、三角形 C：直角三角形 D：以上三种状况都可能2 若是第三象限角，则下列各式中不成立的是（B）A：sina+cosa0 B：tana-sina0C：cosa-cota0 D：cotacsca03 已知q是第三象限角且，问是第几象限角？解： 则是第二或第四象限角 又 则是第二或第三象限角 必为第二象限角4 已知，则q为第几象限角？解： 由 sin2q0 2kp2q2kp+p kpqkp+ q为第一或第三象限角五、小结：符号法则，诱导公式六、作业： 课本 P19 练习4,5,6 P20-21习题4.3 6-10第八教时教材：同角三角函数的根本关系目的：要求学生能依据三角函数的定义，导出同角三角函数

17、的根本关系，并能正确运用进展三角函数式的求值运算。过程：一、 复习随意角的三角函数的定义：计算下列各式的值： 二、1导入新课：引导学生视察上述题目的结果（并像公式“方向”引导）引导猜测： 2理论证明：（采纳定义） 3推广：这种关系称为平方关系。类似的平方关系还有： 这种关系称为商数关系。类似的商数关系还有： 这种关系称为倒数关系。类似的倒数关系还有： 4点题：三种关系，八个公式，称为同角三角函数的根本关系。 5留意： 1“同角”的概念与角的表达形式无关，如： 2上述关系（公式）都必需在定义域允许的范围内成立。 3据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系

18、”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用（事实上，至多只要用一次）。 三、 例题：例一、（课本P25 例一） 略 注：已知角的象限，利用平方关系，也只可能是一解。例二、（课本P25 例二） 略 注：依据已知的三角函数值可以分象限探讨。例三、（课本P25 例三） 略事实上： 即 而 四、 小结：三种关系，八个公式五、 作业：P27 练习 14P2728 习题44 14第九教时教材：同角三角函数的根本关系(2)求值目的：要求学生能运用同角三角函数的根本关系求一些三角函数（式）的值，并从中理解一些三角运算的根本技巧。过程：二、 复习同角的三角函数的根本关系：练习：已知解：若a在第一、二象

19、限，则 若a在第三、四象限，则六、 例一、（见P25 例四）化简： 解：原式例二、已知，求解： 强调（指出）技巧：1分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式 2“化1法” 例三、已知，求解：将 两边平方，得： 例四、已知 解：由题设： ()例五、已知，求 解：1 由 由 联立： 2 例六、已知 求 解：sin2a + cos2a = 1 化简，整理得： 当m = 0时，当m = 8时，七、 小结：几个技巧八、 作业：课课练P12 例题举荐 1、2、3P13 课时练习 6、7、8、9、10 P14 例题举荐 1 精编P35 14第十教时教材：同角三角函数的根本关系(3)证明 教学与测试第50课目

20、的：运用同角三角函数的根本关系式进展三角函数恒等式的证明。过程：三、 复习同角的三角函数的根本关系：例：（练习、教学与测试P25 例一）已知，求解： 即： 九、 提出课题：利用同角的三角函数的根本关系证明三角恒等式（或化简）例一、（见P25 例四）化简： 解：原式例二、已知（教学与测试例二）解： （留意象限、符号）例三、求证： （课本P26 例5）证一： （利用平方关系）证二： （利用比例关系）证三： （作差）例三、已知方程的两根分别是，求 （教学与测试 例三） 解： （化弦法）例四、已知 证：由题设： 例五、消去式子中的解：由由 （平方消去法）例六、（备用）已知解：由题设： /： +： 十、

21、 小结：几种技巧十一、 作业：课本P27 练习 5，6， P28 习题4.4 8，9 教学与测试P106 4，5，6，7，8，思索题第十一教时教材：诱导公式（1） 360 k + a, 180 - a, 180 + a, 360 - a, - a目的：要求学生驾驭上述诱导公式的推导过程，并能运用化简三角式，从而理解、领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想。过程：一、 诱导公式的含义：随意角的三角函数 0到360角的三角函数 锐角三角函数 sin(360k+a) = sina, cos(360k+a) = cosa. tan(360k+a) = tga, cot(360k+a) = ctga.

22、sec(360k+a) = seca, csc(360k+a) = csca二、 诱导公式1 公式1：（复习） 2 对于任一0到360的角，有四种可能（其中a为不大于90的非负角） （以下设a为随意角）xyoP (x,y)3 公式2： 设a的终边与单位圆交于点P(x,y)，则180+a终边与单位圆交于点P(-x,-y) sin(180+a) = -sina, cos(180+a) = -cosa. P (-x,-y) tan(180+a) = tga, cot(180+a) = ctga. sec(180+a) = -seca, csc(180+a) = -cscaxyoP(x,-y)P(x,

23、y)M4公式3： 如图：在单位圆中作出与角的终边，同样可得： sin(-a) = -sina, cos(-a) = cosa. tan(-a) = -tana, cot(-a) = -cota. sec(-a) = seca, csc(-a) = -csca5 公式4： sin(180-a) = sin180+(-a) = -sin(-a) = sina, cos(180-a) = cos180+(-a) = -cos(-a) = -cosa, 同理可得： sin(180-a) = sina, cos(180-a) = -cosa. tan(180-a) = -tana, cot(180-a)

24、 = -cota. sec(180-a) = -seca, csc(180-a) = csca6公式5： sin(360-a) = -sina, cos(360-a) = cosa. tan(360-a) = -tana, cot(360-a) = -cota. sec(360-a) = seca, csc(360-a) = -csca三、小结：360 k + a, 180 - a, 180 + a, 360 - a, - a的三角函数值等于a的同名三角函数值再加上一个把a看成锐角时原函数值的符号四、 例题：P2930 例一、例二、例三 P3132 例四、例五、例六 略五、 作业：P30 练习

25、 P32 练习 P33 习题4.5第十二教时教材：诱导公式（2） 90 k a, 270 a, 目的：能娴熟驾驭上述诱导公式一至五，并运用求随意角的三角函数值，同时学会另外四套诱导公式，并能应用，进展简洁的三角函数式的化简及论证。过程：三、 复习诱导公式一至五：练习：1已知 解： 2已知 解：四、 诱导公式sin(90 -a) = cosa, cos(90 -a) = sina. tan(90 -a) = cota, cot(90 -a) = tana. sec(90 -a) = csca, csc(90 -a) = seca1 公式6：（复习） xyoPP(x,y)MMM2 公式7： 如图，

26、可证： 则 sin(90 +a) = MP = OM = cosa sin(90 +a) = cosa, cos(90 +a) = -sina. tan(90 +a) = -cota, cot(90 +a) = -tana. sec(90 +a) = -csca, csc(90+a) = seca cos(90 +a) = OM = PM = -MP = -sina 从而：或证：sin(90 +a) = sin180- (90 -a) = sin(90 -a) = cosacos(90 +a) = cos180- (90 -a) = -sin(90 -a) = -cosasin(270 -a)

27、 = -cosa, cos(270 -a) = -sina. tan(270 -a) = cota, cot(270 -a) = tana. sec(270 -a) = -csca, csc(270-a) = seca 3 公式8：sin(270 -a) = sin180+ (90 -a) = -sin(90 -a) = -cosa（其余类似可得，学生自己完成） sin(270 +a) = -cosa, cos(270 +a) = sina. tan(270 +a) = -cota, cot(270 +a) = -tana. sec(270 +a) = csca, csc(270+a) = -

28、seca4 公式9： （学生证明）三、小结：90 a, 270 a的三角函数值等于a的余函数的值，前面再加上一个把a看成锐角时原函数值的符号六、 例一、 证： 左边 = 右边 等式成立例二、 解： 例三、 解： 从而：例四、 解： 七、 作业：1.2. 课课练P1617 课时9 例题举荐 13 练习 610第十三教时教材：诱导公式(3)综合练习 目的：通过复习与练习，要求学生能更娴熟地运用诱导公式，化简三角函数式。过程：四、 复习：诱导公式十二、 例一、（教学与测试 例一）计算：sin315-sin(-480)+cos(-330) 解：原式 = sin(360-45) + sin(360+12

29、0) + cos(-360+30) = -sin45 + sin60 + cos30 =小结：应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：1用“- a”公式化为正角的三角函数2用“2kp + a”公式化为0，2p角的三角函数3用“pa”或“2p - a”公式化为锐角的三角函数例二、已知（教学与测试例三）解： 小结：此类角变换应熟识例三、求证： 证：若k是偶数，即k = 2 n (nZ) 则： 若k是奇数，即k = 2 n + 1 (nZ) 则：原式成立小结：留意探讨例四、已知方程sin(a - 3p) = 2cos(a - 4p)，求的值。（精编 38例五） 解： sin(a - 3p) = 2cos

30、(a - 4p) - sin(3p - a) = 2cos(4p - a) - sin(p - a) = 2cos(- a) sina = - 2cosa 且cosa 0 例五、已知（精编P40 例八）解：由题设： 由此：当a 0时，tana 0, cosa 0, a为第二象限角， 当a = 0时，tana = 0, a = kp, cosa = 1， cosa = -1 , 综上所述：例六、若关于x的方程2cos2(p + x) - sinx + a = 0 有实根，务实数a的取值范围。 解：原方程变形为：2cos2x - sinx + a = 0 即 2 - 2sin2x - sinx + a = 0 - 1sinx1 ； a的取值范围是十三、 作业：教学与测试P108 58，思索题课课练P4647 23，25，26