专升本高等数学知识点汇总.docx

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1、专升本高等数学学问点汇总常用学问点：一、常见函数的定义域总结如下：1一般形式的定义域：xR2 分式形式的定义域：x03 根式的形式定义域：x04 对数形式的定义域：x0二、函数的性质1、函数的单调性当时，恒有，在所在的区间上是增加的。当时，恒有，在所在的区间上是削减的。2、 函数的奇偶性定义：设函数的定义区间关于坐标原点对称即假设，那么有(1) 偶函数，恒有。(2) 奇函数，恒有。三、根本初等函数1、常数函数：，定义域是，图形是一条平行于轴的直线。2、幂函数：， (是常数)。它的定义域随着的不同而不同。图形过原点。3、指数函数定义: ， (是常数且，).图形过0,1点。4、对数函数定义: ，

2、(是常数且，)。图形过1,0点。5、三角函数(1) 正弦函数: ， ， 。(2) 余弦函数: .， ， 。(3) 正切函数: .， ， .(4) 余切函数: .， ， .5、反三角函数(1) 反正弦函数: ，。(2) 反余弦函数: ，。 (3) 反正切函数: ，。(4) 反余切函数: ，。极限一、求极限的方法1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。因此遇到大部分简洁题目的时候，可以干脆代入进展极限的求解。2、传统求极限的方法1利用极限的四那么运算法那么求极限。2利用等价无穷小量代换求极限。3利用两个重要极限求极限。4利用罗比达法那么就极限。二、函数极限的四那么运

3、算法那么设， ，那么12. 推论a)， (为常数)。b3， ().4设为多项式， 那么5设均为多项式， 且， 那么 三、等价无穷小常用的等价无穷小量代换有：当时，。对这些等价无穷小量的代换，应当更深一层地理解为：当时，其余类似。四、两个重要极限重要极限I 。它可以用下面更直观的构造式表示：重要极限II 。其构造可以表示为：八、洛必达(LHospital)法那么“型和“型不定式，存在有或。一元函数微分学一、导数的定义设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在处获得增量点仍在该邻域内时，相应地函数获得增量。假如当时，函数的增量及自变量的增量之比的极限= 留意两个符号和在题目中可能换成其他的符号表示。

4、二、求导公式1、根本初等函数的导数公式1 (为常数) 2为随意常数3 特别状况 4， 5 67 89 1011 122、导数的四那么运算公式1 23为常数 43、复合函数求导公式：设, ，且及都可导，那么复合函数的导数为。三、导数的应用1、函数的单调性那么在内严格单调增加。那么在内严格单调削减。2、函数的极值的点函数的驻点。设为1假设时，；时，那么为的极大值点。2假设时，；时，那么为的微小值点。3假如在的两侧的符号一样，那么不是极值点。3、曲线的凹凸性，那么曲线在内是凹的。，那么曲线在内是凸的。4、曲线的拐点1当在的左、右两侧异号时，点为曲线的拐点，此时.2当在的左、右两侧同号时，点不为曲线的

5、拐点。5、函数的最大值及最小值极值和端点的函数值中最大和最小的就是最大值和最小值。四、微分公式，求微分就是求导数。一元函数积分学一、不定积分1、定义，不定积分是求导的逆运算，最终的结果是函数+C的表达形式。公式可以用求导公式来记忆。2、不定积分的性质1或2或3。4为常数且。2、根本积分公式要求娴熟记忆1 2.3. 4 5 67 8.9. 10.11.3、第一类换元积分法对不定微分，将被积表达式凑成，这是关键的一步。常用的凑微分的公式有：1234567891011121314 4、分部积分法二、定积分公式1、牛顿莱布尼茨公式 假如是连续函数在区间上的随意一个原函数，那么有。2、ya o b x计

6、算平面图形的面积假如某平面图形是由两条连续曲线及两条直线和所围成的其中是下面的曲线，是上面的曲线，那么其面积可由下式求出：o a x x+dx b xy 3、计算旋转体的体积设某立体是由连续曲线和直线及轴所围平面图形绕轴旋转一周所形成的旋转体，如下图。那么该旋转体的体积可由下式求出：多元函数微分学1、 偏导数，对某个变量求导，把其他变量看做常数。2、全微分公式：。3、复合函数的偏导数利用函数构造图假如、在点处存在连续的偏导数 ， ，且在对应于的点处，函数存在连续的偏导数，那么复合函数在点处存在对及的连续偏导数，且，。4、隐函数的导数对于方程所确定的隐函数，可以由以下公式求出对的导数：，2、隐函

7、数的偏导数对于由方程所确定的隐函数，可用以下公式求偏导数：， ，5、二元函数的极值设函数在点的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数，且，又设，那么：1当时，函数在点处获得极值，且当时有极大值，当时有微小值。2当时，函数在点处无极值。3当时，函数在点处是否有极值不能确定，要用其它方法另作探讨。平面及直线1、平面方程1平面的点法式方程：在空间直角坐标系中，过点，以为法向量的平面方程为 称之为平面的点法式方程2平面的一般式方程 称之为平面的一般式方程2、特别的平面方程 表示过原点的平面方程 表示平行于轴的平面方程 表示过轴的平面方程 表示平行于坐标平面的平面方程3、两个平面间的关系设有平面 平面和相互垂直

8、的充分必要条件是：平面和平行的充分必要条件是：平面和重合的充分必要条件是：4、直线的方程1直线的标准式方程 过点且平行于向量的直线方程 称之为直线的标准式方程又称点向式方程、对称式方程。常称为所给直线的方向向量2直线的一般式方程称之为直线的一般式方程5、两直线间关系设直线，的方程为直线，平行的充分必要条件为；直线，相互垂直的充分必要条件为6、直线及平面间的关系设直线及平面的方程为 直线及平面垂直的充分必要条件为： 直线及平面平行的充分必要条件为：直线落在平面上的充分必要条件为将初等函数绽开成幂级数1、定理: 设在内具有随意阶导数,且 ，那么在内 称上式为在点的泰勒级数。或称上式为将绽开为的幂级

9、数。2、几个常用的标准绽开式常微分方程1、一阶微分方程1可别离变量的微分方程假设一阶微分方程通过变形后可写成 或 那么称方程为可别离变量的微分方程.2、可别离变量微分方程的解方程必存在隐式通解。其中：,.即两边取积分。2一阶线性微分方程1、定义：方程 称为一阶线性微分方程.(1) 非齐次方程；(2) 齐次方程 .2、求解一阶线性微分方程1先求齐次方程的通解：, 其中为随意常数。2将齐次通解的换成。即 3代入非齐次方程, 得 2、二阶线性常系数微分方程1可降阶的二阶微分方程1、型的微分方程例3： 求方程的通解.分析：；.2、型的微分方程解法：(1) 令，方程化为 ；(2) 解此方程得通解 ；(3

10、) 再解方程 得原方程的通解 .3、型的微分方程解法：(1) 令, 并视为的函数, 那么,(2) 代入原方程, 得 (3) 解此方程得通解 ；(4) 再解方程 得原方程的通解 .例4：求方程的通解.分析：(1) 令, 并视为的函数, 那么,(2) 代入原方程, 得 或 (3) 解上方程, 得 , ().(4) 再解方程 .(5) 于是原方程的通解为 , () 2常系数线性微分方程1、二阶常系数齐次线性方程的解。写出特征方程并求解.下面记,为特征方程的两个根.1时, 那么齐次方程通解为：。2时, 那么齐次方程通解为.3时,有,那么齐次方程通解为2二阶常系数非齐次方程解法方程的形式： 解法步骤：(1) 写出方程的特征方程 ；(2) 求出特征方程的两个根；(3) 原方程的通解如下表所示:特征方程的根方程的通解 (4) 再求出非齐次方程的一个特解 ；(5)那么原方程的通解为 。