数学必修二第二章知识点和试题.docx

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1、高中数学必修2学问点总结第二章 直线及平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系1 平面含义：平面是无限延展的2 三个公理：1公理1：假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.符号表示为LAALBL = L AB公理1作用：推断直线是否在平面内.CBA2公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C三点不共线 = 有且只有一个平面，使A、B、C。公理2作用：确定一个平面的根据。PL3公理3：假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P =L，且PL公理3作用：断定两个平面是否相交的根据. 空间中直线及

2、直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：共面直线 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线=acabcb强调：公理4本质上是说平行具有传递性，在平面、空间这特性质都适用。公理4作用：推断空间两条直线平行的根据。3 等角定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4 留意点： a及b所成的角的大小只由a、b的互相位置来确定，及O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角

3、(0， )； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直及异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.4 空间中直线及平面、平面及平面之间的位置关系1、直线及平面有三种位置关系：1直线在平面内 有多数个公共点2直线及平面相交 有且只有一个公共点3直线在平面平行 没有公共点指出：直线及平面相交或平行的状况统称为直线在平面外，可用a 来表示a a=A a2.2.直线、平面平行的断定及其性质 直线及平面平行的断定1、直线及平面平行的断定定理：平面外一条直线及此平面内的一条直线平行，那么该直线

4、及此平面平行。简记为：线线平行，那么线面平行。符号表示：a b = aab 平面及平面平行的断定1、两个平面平行的断定定理：一个平面内的两条交直线及另一个平面平行，那么这两个平面平行。符号表示：a b ab = P ab2、推断两平面平行的方法有三种：1用定义；2断定定理；3垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.4直线及平面、平面及平面平行的性质1、直线及平面平行的性质定理：一条直线及一个平面平行，那么过这条直线的任一平面及此平面的交线及该直线平行。简记为：线面平行那么线线平行。符号表示：a a ab= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、两个平面平行的性质定理：假如两个平行的平

5、面同时及第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：= a ab = b作用：可以由平面及平面平行得出直线及直线平行2.3直线、平面垂直的断定及其性质直线及平面垂直的断定1、定义：假如直线L及平面内的随意一条直线都垂直，我们就说直线L及平面互相垂直，记作L，直线L叫做平面的垂线，平面叫做直线L的垂面。如图，直线及平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 P a L2、直线及平面垂直的断定定理：一条直线及一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线及此平面垂直。留意点： a)定理中的“两条相交直线这一条件不行无视； b)定理表达了“直线及平面垂直及“直线及直线垂直互相转化的数学思想。平面及平面垂直

6、的断定1、二面角的概念：表示从空间始终线动身的两个半平面所组成的图形A 梭 l B2、 二面角的记法：二面角-l-或-AB-3、两个平面互相垂直的断定定理：一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。2. 2.、平面及平面垂直的性质1、直线及平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2、两个平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线及另一个平面垂直。第二章 点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1设 a，b为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且la，m，有如下的两个命题：假设 ab，那么lm；假设lm，那么 ab那么( )A是真命题，是假命题 B是假

7、命题，是真命题 C都是真命题D都是假命题2如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，下面结论错误的选项是( )(第2题)ABD平面CB1D1BAC1BDCAC1平面CB1D1D异面直线AD及CB1角为603关于直线m，n及平面 a，b，有以下四个命题：ma，nb 且 ab，那么mn；ma，nb 且 ab，那么mn；ma，nb 且 ab，那么mn；ma，nb 且 ab，那么mn其中真命题的序号是( ) AB CD4给出以下四个命题：垂直于同始终线的两条直线互相平行 垂直于同一平面的两个平面互相平行假设直线l1，l2及同一平面所成的角相等，那么l1，l2互相平行假设直线l1，l2是异面直线，那么及l

8、1，l2都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是( )A1B2C3D45以下命题中正确的个数是( )假设直线l上有多数个点不在平面 a 内，那么la 假设直线l及平面 a 平行，那么l及平面 a 内的随意一条直线都平行 假如两条平行直线中的一条直线及一个平面平行，那么另一条直线也及这个平面平行假设直线l及平面 a 平行，那么l及平面 a 内的随意一条直线都没有公共点 A0个B1个C2个D3个 6 两直线l1及l2异面，过l1作平面及l2平行，这样的平面( )A不存在B有唯一的一个C有多数个D只有两个7把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD

9、和平面ABC所成的角的大小为( )A90B60C45D30 8以下说法中不正确的选项是( )A空间中，一组对边平行且相等的四边形肯定是平行四边形B同一平面的两条垂线肯定共面C过直线上一点可以作多数条直线及这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D过一条直线有且只有一个平面及平面垂直9给出以下四个命题：假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面假如两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直其中真命题的个数是( )

10、A4 B3 C2 D110异面直线a，b所成的角60，直线ac，那么直线b及c所成的角的范围为( )A30，90 B60，90 C30，60D30，120二、填空题11三棱锥PABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，那么这个三棱锥的体积为 12P是ABC 所在平面 a 外一点，过P作PO平面 a，垂足是O，连PA，PB，PC(1)假设PAPBPC，那么O为ABC 的 心；(2)PAPB，PAPC，PCPB，那么O是ABC 的 心；(3)假设点P到三边AB，BC，CA的间隔 相等，那么O是ABC 的 心；(4)假设PAPBPC，C90，那么O是AB边

11、的 点；J(第13题)(5)假设PAPBPC，ABAC，那么点O在ABC的 线上13如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点，将ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH及IJ所成角的度数为 14直线l及平面 a 所成角为30，laA，直线ma，那么m及l所成角的取值范围是 15棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d1，d2，d3，d4，那么d1d2d3d4的值为 16直二面角 alb 的棱上有一点A，在平面 a，b 内各有一条射线AB，AC及l成45，ABa，ACb，那么BAC 三、解答题17在四面

12、体ABCD中，ABC及DBC都是边长为4的正三角形(1)求证：BCAD；(第17题)(2)假设点D到平面ABC的间隔 等于3，求二面角ABCD的正弦值；(3)设二面角ABCD的大小为 q，揣测 q 为何值时，四面体ABCD的体积最大(不要求证明)18 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB(1)求证：平面EDB平面EBC；(2)求二面角EDBC的正切值.(第18题)19*如图，在底面是直角梯形的四棱锥ABCD中，ADBC，ABC90，SA面ABCD，SAABBC，AD(1)求四棱锥SABCD的体积；(2)求面SCD及面SB

13、A所成的二面角的正切值(提示：延长 BA，CD 相交于点 E，那么直线 SE 是所求二面角的棱.)20*斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面及它所对棱的间隔 等于6，求这个棱柱的体积(提示：在 AA1 上取一点 P，过 P 作棱柱的截面，使 AA1 垂直于这个截面.) (第20题) 第二章 点、直线、平面之间的位置关系参考答案一、选择题1D 2D解析：异面直线AD及CB1角为453D解析：在、的条件下，m，n的位置关系不确定4D解析：利用特别图形正方体我们不难发觉均不正确，应选择答案D5B解析：学会用长方体模型分析问题，A1A有多数点在平面ABCD外，但AA1及平面ABCD相交，不正确；A

14、1B1平面ABCD，明显A1B1不平行于BD，不正确；A1B1AB，A1B1平面ABCD，但AB平面ABCD内，不正确；l及平面平行，那么l及 a 无公共点，l及平面 a 内的全部直线都没有公共点，正确，应选B (第5题)6B解析：设平面 a 过l1，且 l2a，那么 l1上肯定点 P 及 l2 确定一平面 b ，b 及 a 的交线l3l2，且 l3 过点 P. 又过点 P 及 l2 平行的直线只有一条，即 l3 有唯一性，所以经过 l1 和 l3 的平面是唯一的，即过 l1 且平行于 l2 的平面是唯一的.7C解析：当三棱锥DABC体积最大时，平面DACABC，取AC的中点O，那么DBO是等

15、腰直角三角形，即DBO458D解析：A一组对边平行就确定了共面；B同一平面的两条垂线互相平行，因此共面；C这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D把书本的书脊垂直放在桌上就明确了9B解析：因为正确，应选B10A解析：异面直线，所成的角为60，直线，过空间任一点 P，作直线 aa， bb， cc. 假设a，b，c 共面那么 b 及 c 成 30 角，否那么 及 所成的角的范围为(30，90，所以直线b及c所成角的范围为30，90 二、填空题11解析：设三条侧棱长为 a，b，c那么 abS1，bcS2，caS3 三式相乘： a2 b2 c2S1S2S3， abc2 三侧棱两两垂直， Vabc12外

16、，垂，内，中，BC边的垂直平分解析：(1)由三角形全等可证得 O 为ABC 的外心；(2)由直线和平面垂直的断定定理可证得，O 为ABC 的垂心；(3)由直线和平面垂直的断定定理可证得，O 为ABC 的内心；(4)由三角形全等可证得，O 为 AB 边的中点；(5)由(1)知，O 在 BC 边的垂直平分线上，或说 O 在BAC 的平分线上1360解析：将ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH及IJ所成角的度数为601430，90解析：直线l及平面 a 所成的30的角为m及l所成角的最小值，当m在 a 内适当旋转就可以得到lm，即m及l所成角的的最大值为9015解析：作等积变换：(d1d2d

17、3d4)h，而h1660或120解析：不妨固定AB，那么AC有两种可能 三、解答题17证明：(1)取BC中点O，连结AO，DOABC，BCD都是边长为4的正三角形，AOBC，DOBC，且AODOO，BC平面AOD又AD平面AOD，BCAD (第17题)解：(2)由(1)知AOD为二面角ABCD的平面角，设AODq，那么过点D作DEAD，垂足为EBC平面ADO，且BC平面ABC，平面ADO平面ABC又平面ADO平面ABCAO，DE平面ABC线段DE的长为点D到平面ABC的间隔 ，即DE3又DOBD2，在RtDEO中，sinq，故二面角ABCD的正弦值为 (3)当 q90时，四面体ABCD的体积最

18、大18证明：(1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E为D1C1的中点DD1E为等腰直角三角形，D1ED45同理C1EC45，即DEEC在长方体ABCD中，BC平面，又DE平面，BCDE又，DE平面EBC平面DEB过DE，平面DEB平面EBC (2)解：如图，过E在平面中作EODC于O在长方体ABCD中，面ABCD面，EO面ABCD过O在平面DBC中作OFDB于F，连结EF，EFBDEFO为二面角EDBC的平面角利用平面几何学问可得OF， (第18题)又OE1，所以，tanEFO19*解：(1)直角梯形ABCD的面积是M底面，四棱锥SABCD的体积是VSAM底面1(2)

19、如图，延长BA，CD相交于点E，连结SE，那么SE是所求二面角的棱ADBC，BC2AD，EAABSA，SESBSA面ABCD，得面SEB面EBC，EB是交线又BCEB，BC面SEB，故SB是SC在面SEB上的射影，CSSE，BSC是所求二面角的平面角SB，BC1，BCSB，tanBSC，(第19题)即所求二面角的正切值为(第20题)20*解：如图，设斜三棱柱ABCA1B1C1的侧面BB1C1C的面积为10，A1A和面BB1C1C的间隔 为6，在AA1上取一点P作截面PQR，使AA1截面PQR，AA1CC1，截面PQR侧面BB1C1C，过P作POQR于O，那么PO侧面BB1C1C，且PO6 V斜SPQRAA1QRPOAA1POQRBB110630