九年级数学圆知识点和典例训练.docx

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1、1圆的对称性主要内容：（一）圆的定义及相关概念 1. 圆是到肯定点的间隔 等于定长的全部点组成的图形。 这个定点叫做圆心，定长叫做半径。 圆也可以看作是一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形。 同一圆的半径相等，直径相等，直径等于半径的2倍。 2. 圆的根本元素： （1）弦：连结圆上随意两点的线段叫做弦。 经过圆心的弦叫直径。（如图） （2）弧：圆上随意两点间的局部叫做弧。 简称弧，弧用符号“”表示。 （3）半圆、劣弧、优弧 圆的随意一条直径的两个端点分圆成两条弧。 每一条弧都叫做半圆。 （4）圆心角 顶点在圆心的角，叫做圆心角。COD （5）同心圆、等圆、等弧 同心圆：圆心一样，半径不相等的

2、两个圆叫做同心圆。 等圆：可以重合的两个圆叫等圆。 半径相等的两个圆也叫等圆。 等弧：在同圆与等圆中，可以相互重合的弧叫等弧。 3. 圆是轴对称图形，也是中心对称图形。 经过圆心的直线是对称轴。 圆心是它的对称中心。 4. 圆心角、弧、弦之间的关系 定理：在同一个圆中，假如圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。 推论：在同一个圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 如图，用几何语言表示如下： O中，（1）AOBAOB （3）ABAB 5. 直径垂直于弦的性质（垂径定理） 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 如图：几

3、何语言【典型例题】 例1. 选择题： （1）下列说法中，正确的是（ ） A. 长度相等的弧是等弧 B. 两个半圆是等弧 C. 半径相等的弧是等弧 D. 直径是圆中最长的弦 答案：D （2）下列说法错误的是（ ） A. 圆上的点到圆心的间隔 相等 B. 过圆心的线段是直径 C. 直径是圆中最长的弦 D. 半径相等的圆是等圆 答案：B 例2. 如图，已知AB是O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CMAB，DNAB。 分析：要证弧相等，可证弧所对的弦相等，也可证弧所对的圆心角相等。 证明：连结OC、OD M、N分别是OA、OB的中点 OAOB，OMON 又CMAB，DNAB，OCOD RtOMC

4、RtOND AOCBOD 例3. 在O中，弦AB12cm，点O到AB的间隔 等于AB的一半，求AOB的度数和圆的半径。 分析：依据O到AB的间隔 ，可利用垂径定理解决。 解：过O点作OEAB于E AB12 由垂径定理知： ABO为直角三角形，AOE为等腰直角三角形 例4. 如图，在RtABC中，C90，AC3，BC4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。求AB、AD的长。 分析：求AB较简洁，求弦长AD可先求AF。 解：过点C作CFAB于F C90，AC3，BC4 AA，AFCACB AFCACB 例5. 如图，O中，弦AB10cm，P是弦AB上一点，且PA4cm，OP5

5、cm，求O的半径。 分析：O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解。 解：连OA，过点O作OMAB于点M 点P在AB上，PA4cm 即O的半径为7cm 例6. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。 分析：略解：如图，设圆拱所在圆的圆心为O，半径为r，CD为拱高 则OCAB于D 答：这个圆拱所在圆的直径为159.5米。【模拟试题】（答题时间：45分钟）一. 选择题。 1. O中，弦AB所对的弧为120，圆的半径为2，则圆心到弦AB的间隔

6、OC为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，假如，则AE的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 如图，O的弦AB垂直于直径MN，C为垂足，若OA5cm，下面四个结论中可能成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 一种花边由如图的弓形组成，的半径为，弦AB2，则弓形的高CD为（ ） A. B. C. 1 D. 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 圆只有一条对称轴 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 垂直于弦的直径平分这条弦 D. 相等的圆心角所对的弧相等 6. 如图，已知ADBC，则AB与CD的关系为（ ） A. ABCD

7、B. ABCD C. ABCD D. 不能确定二. 填空题。 7. 半径为6cm的圆中，有一条长的弦，则圆心到此弦的间隔 为_cm。 8. 已知O的直径为10cm，点A在圆上，则OA_cm。 9. 如图，A30，则B_。 10. 过O内一点M的最长的弦为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长为_。 11. O的半径为10cm，弦ABCD，AB12cm，CD16cm，则AB和CD的间隔 为_。 12. O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE1cm，EB5cm，DEB60，则CD_。三. 解答题。 13. 如图，O的直径为4cm，弦AB的长为，你能求出OAB的度数吗？写出你的计算过程。 14.

8、已知，O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EAEC。 求证： 15. 如图，在O中，A、B、C、D为圆上四点，且OC、OD交AB于E、F，AEFB，则： （1）OE与OF有什么关系？为什么？ （2）与相等吗？为什么？ 16. 如图，O上有三点A、B、C且ABAC6，BAC120，求O的半径。 17. O的直径AB15cm，有一条定长为9cm的动弦，CD在上滑动（点C和A、点D与B不重合），且CECD交AB于E，DFCD交AB于F。 （1）求证：AEBF （2）在动弦CD滑动过程中，四边形CDFE的面积是否为定值，若是定值，请给出证明，并求这个定值，若不是，请说明理由。2. 圆周

9、角和圆心角的关系【根底练习】一、 填空题：1. 如图3-10，已知AB是O的直径，弦BC = CD，BAD = 40，则ABC 的度数等于 ；2. 如图3-11，A、B、C都是O上的点，若ABO = 50，则ACB = ；3. 已知圆的弦等于该圆的半径，则这条弦所对的圆心角 = ，所对的圆周角 = .二、选择题：1. 如图3-12，已知：A、B、C、D是O上的顺次四点，且AC是直径，若ABD = 35，则CAD 的度数是（ ）.A. 35 B. 45 C. 50 D. 552. 在下列各图中，1 与2不肯定相等的是（ ）；三、解答题：如图3-13，已知：圆的两弦AB、CD相交于点P，AD、CB

10、的延长线相交于圆外一点Q，AQC = 36，APC = 80. 求ADC和BCD的度数.如图3-14，自O上一点A引三条弦AB、AC、AD，且AC平分BAD，过C作弦CEAB交AD于点F，线段DF与EF相等吗？为什么？3 确定圆的条件 一、填空题:1.锐角三角形的外心在_.假如一个三角形的外心在它的一边的中点上, 则该三角形是_.假如一个三角形的外心在它的外部,则该三角形是_.毛2.边长为6cm的等边三角形的外接圆半径是_.3.ABC的三边为2,3, ,设其外心为O,三条高的交点为H,则OH的长为_.4.三角形的外心是_的圆心,它是_的交点,它到_的间隔 相等.5.已知O的直径为2,则O的内接

11、正三角形的边长为_.6.如图,MN所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,最少运用_ 次就可以找到圆形工件的圆心. 二、选择题:7.下列条件,可以画出圆的是( ) A.已知圆心 B.已知半径; C.已知不在同始终线上的三点 D.已知直径8.三角形的外心是( ) A.三条中线的交点; B.三条边的中垂线的交点;C.三条高的交点; D.三条角平分线的交点9.下列命题不正确的是( ) A.三点确定一个圆 B.三角形的外接圆有且只有一个 C.经过一点有多数个圆 D.经过两点有多数个圆10.一个三角形的外心在它的内部,则这个三角形肯定是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形; C.锐角三角形 D.等

12、边三角形11.等腰直角三角形的外接圆半径等于( ) A.腰长 B.腰长的倍; C.底边的倍 D.腰上的高12.平面上不共线的四点,可以确定圆的个数为( ) A.1个或3个 B.3个或4个 C.1个或3个或4个 D.1个或2个或3个或4个三、解答题:13.如图,已知:线段AB和一点C(点C不在直线AB上),求作:O,使它经过A、B、C三点。(要求:尺规作图,不写法,保存作图痕迹)14.如图,A、B、C三点表示三个工厂,要建立一个供水站, 使它到这三个工厂的间隔 相等,求作供水站的位置(不写作法,尺规作图,保存作图痕迹).15.如图,已知ABC的一个外角CAM=120,AD是CAM的平分线,且AD

13、与ABC的外接圆交于F,连接FB、FC,且FC与AB交于E. (1)推断FBC的形态,并说明理由.(2)请给出一个能反映AB、AC和FA的数量关系的一个等式,并说明你给出的等式成立.16.要将如图所示的破圆轮残片复制完成,怎样确定这个圆轮残片的圆心和半径(写出找圆心和半径的步骤).17.已知:AB是O中长为4的弦,P是O上一动点,cosAPB=, 问是否存在以A、P、B为顶点的面积最大的三角形若不存在,试说明理由;若存在,求出这个三角形的面积.18如图,在钝角ABC中,ADBC,垂足为D点,且AD与DC的长度为x2-7x+12=0的两个根(ADDC),O为ABC的外接圆,假如BD的长为6,求A

14、BC的外接圆O的面积.【试题答案】一. 选择题。 1. B 2. A 3. D 4. A 5. C 6. B二. 填空题。 7. 4 8. 5 9. 75 10. 11. 2cm或14cm 12. cm（垂径定理与勾股定理）三. 解答题。 13. 解：过点O作OCAB于C，则 又 OAB30 14. 证明：连结BC ABCD，CD为O的直径 BCAC CABCBA 又EAEC CABECA CBAECA AECACB 即 15. 解：（1）OEOF 证明：过O点作OPAB于P 则APBP AEBF，EPFP OEOF （2） 证明：OAOB，OABOBA 又AEBF，AOEBOF AOEBOF

15、 16. 解：连OA ABAC， OABC于D 又BAC120 BADCAD60，BC30 设O的半径为r，则 r6 17. （1）证明：如图，过O作OGCD于G 则G为CD的中点 又ECCD，FDCD ECOGFD O为EF的中点，即OEOF 又AB为O的直径 OAOB AEBF（等式性质） （2）解：四边形CDFE面积是定值 证明：动弦CD滑动过程中条件ECDC，FDCD不变 CEDF不变 四边形CDFE为直角梯形，且OG为中位线 SOGCD 连OC，由勾股定理有： 又CD9cm 是定值3. 圆周角和圆心角的关系练习一【根底练习】一、1. 70； 2. 40； 3. 60，30或150.

16、二、1. D； 2. C. 三、ADC = 58，BCD = 22；【综合练习】提示：连接DE，证= = ,继而证ADE =CED.答案：3 确定圆的条件 1.三角形内部 直角三角形 钝角三角形2.2 3. 4.其外接圆 三角形三条边的垂直平分线 三角形三个顶点5. 6.两 7.C 8.B 9.A 10.C 11.B 12.C13.略.14. 略.15.(1)FBC是等边三角形,由已知得:BAF=MAD=DAC=60=180-120=BAC,BFC=BAC=60,BCF=BAF=60,FBC是等边三角形. (2)AB=AC+FA.在AB上取一点G,使AG=AC,则由于BAC=60,故AGC是等

17、边三角形,从而BGC=FAC=120,又CBG=CFA,BC=FC,故BCGFCA,从而BG=FA,又AG=AC,AC+FA=AG+BG=AB. 【探究创新】16.(1)在残圆上任取三点A、B、C。 (2)分别作弦AB、AC的垂直平分线, 则这两垂直平分线的交点即是所求的圆心 (3)连接OA,则OA的长即是残圆的半径.17.存在.AB不是直径(否则APB=90,而由cosAPB= 知APB90,冲突) 取优弧的中点为P点,过P作PDAB于D,则PD是圆上全部的点中到AB 间隔 最大的点.AB的长为定值,当P为优弧的中点时,APB的面积最大,连接PA、PB, 则等腰三角形APB即为所求. 由作法知:圆心O必在PD上,如图所示,连接AO,则由垂径定理得AD= AB=2. 又AOD=1+2,而2=3,1=2故AOD=2+1=2+3=APB,即cosAOD= ,cosAOD=,设OD=x,OA=3x,则AD= ,即=2 ,故x=,AO=3x=,OD=x=,PD=OP+OD= OA+OD=+=2,SAPB= ABPD=4.18过O作OEAB于E,连接OB,则AOE=AOB,AE=AB,C=AOB=AOE. 解方程x2-7x+12=0可得DC=4,AD=3,故AB=,AE=,可证RtADCRtAEO,故,又AC=5, AD=3,AE=,故AO=,从而SO=.毛