点集拓扑学期末考试练习题含答案08478.docx

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1、点集拓扑学期末考试一、单项选择题每题1分1、,以下集族中， 是上的拓扑. 答案：2、设，以下集族中, 是上的拓扑. 答案：3、,以下集族中， 是上的拓扑. 答案：4、设，以下集族中, 是上的拓扑. 答案：5、,以下集族中， 是上的拓扑. 答案：6、设，以下集族中, 是上的拓扑. 答案：7、，拓扑,那么= 答案：8、 ，拓扑,那么= 答案：9、 ，拓扑,那么= 答案：10、，拓扑,那么= 答案：11、，拓扑,那么= 答案：12、，拓扑,那么= 答案：13、设，拓扑,那么的既开又闭的非空真子集个数 1 2 3 4 答案：14、设，拓扑,那么的既开又闭的非空真子集的个数为 1 2 3 4 答案：15

2、、设，拓扑,那么的既开又闭的非空真子集的个数为 0 1 2 3 答案：16、设，拓扑,那么的既开又闭的子集的个数为 0 1 2 3 答案：17、设，拓扑,那么的既开又闭的子集的个数为 1 2 3 4 答案：18、设，拓扑,的既开又闭的非空真子集个数 1 2 3 4 答案：19、在实数空间中，有理数集的内部是 Q R -Q R 答案：20、在实数空间中，有理数集的边界是 Q R -Q R 答案：21、在实数空间中，整数集的内部是 R-Z R 答案：22、在实数空间中，整数集的边界是 R-Z R 答案：23、在实数空间中，区间的边界是 答案：24、在实数空间中，区间的边界是 答案：25、在实数空间

3、中，区间的内部是 答案：26、设是一个拓扑空间，A,B 是的子集,那么以下关系中错误的选项是 答案: 27、设是一个拓扑空间，A,B 是的子集,那么以下关系中正确的选项是 答案: 28、设是一个拓扑空间，A,B 是的子集,那么以下关系中正确的选项是 答案: 29、是一个离散拓扑空间，A是的子集,那么以下结论中正确的选项是 答案：30、是一个平凡拓扑空间，A是的子集,那么以下结论中不正确的选项是 假设,那么 假设,那么 假设A=,那么 假设, 那么 答案：31、是一个平凡拓扑空间，A是的子集,那么以下结论中正确的选项是 假设,那么 假设,那么 假设A=,那么 假设,那么 答案：32、设，令,那么

4、由产生的上的拓扑是 ,c,d,c,d,a,b,c ,c,d,c,d ,c,a,b,c ,d,b,c,b,d,b,c,d 答案：33、设是至少含有两个元素的集合，, 是的拓扑，那么 是的基. 答案：34、 设,那么以下的拓扑中 以为子基. , ,a,a,c , ,a , ,a,b,a,b , 答案：35、离散空间的任一子集为( ) 开集 闭集 即开又闭 非开非闭 答案：36、平凡空间的任一非空真子集为( ) 开集 闭集 即开又闭 非开非闭 答案：37、实数空间中的任一单点集是 ( ) 开集 闭集 既开又闭 非开非闭 答案：38、实数空间R的子集A =1, ,那么 R A0 A 答案：39、在实数

5、空间R中，以下集合是闭集的是 整数集 有理数集 无理数集 答案：40、在实数空间R中，以下集合是开集的是 整数集Z 有理数集 无理数集 整数集Z的补集答案：41、上的拓扑,那么点1的邻域个数是 1 2 3 4 答案：42、,那么上的全部可能的拓扑有 1个 2个 3个 4个 答案： 43、=a,b,c,那么上的含有个元素的拓扑有个 3 5 7 9 答案：44、设为拓扑空间,那么以下表达正确的为 ( ) 当时, 当时, 答案：45、在实数下限拓扑空间中，区间是 开集 闭集 既是开集又是闭集 非开非闭 答案：46、设是一个拓扑空间，,且满意,那么是 开集 闭集 既是开集又是闭集 非开非闭 答案：47

6、、设,是的拓扑，,那么的子空间的拓扑为( ) 答案：48、设,是的拓扑，,那么的子空间的拓扑为( ) 答案：49、设,是的拓扑，,那么的子空间的拓扑为( ) 答案：50、设,是的拓扑，,那么的子空间的拓扑为( ) 答案：51、设,是的拓扑，,那么的子空间的拓扑为( ) 答案：52、设,是的拓扑，,那么的子空间的拓扑为( ) 答案：53、设是实数空间，是整数集，那么的子空间的拓扑为 答案： 54、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，那么是 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：55、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，那么是 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：

7、56、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，那么是 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：57、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，那么是 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：58、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，那么是 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：59、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，那么是 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：60、设和是两个拓扑空间，是它们的积空间,，那么有 答案：61、有理数集是实数空间的一个 不连通子集 连通子集 开集 以上都不对 答案：62、整数集是实数空间的一个 不连通子集 连通子

8、集 开集 以上都不对 答案：63、无理数集是实数空间的一个 不连通子集 连通子集 开集 以上都不对 答案：64、设Y为拓扑空间X的连通子集,Z为X的子集,假设, 那么Z为( )不连通子集 连通子集 闭集 开集答案：65、设是平凡空间，那么积空间是 离散空间 不愿定是平凡空间 平凡空间 不连通空间答案：66、设是离散空间，那么积空间是 离散空间 不愿定是离散空间 平凡空间 连通空间答案：67、设是连通空间，那么积空间是 离散空间 不愿定是连通空间 平凡空间 连通空间答案：68、实数空间R中的连通子集E为( ) 开区间 闭区间 区间 以上都不对答案：69、实数空间R中的不少于两点的连通子集E为(

9、) 开区间 闭区间 区间 以上都不对 答案：70、实数空间R中的连通子集E为( ) 开区间 闭区间 区间 区间或一点 答案：71、以下表达中正确的个数为 单位圆周是连通的； 是连通的 是连通的 和同胚 1 2 3 4答案：二、填空题每题1分1、设,那么的平凡拓扑为 ;答案：2、设,那么的离散拓扑为 ;答案：、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案：拓扑不变性质4、在实数空间R中，有理数集Q的导集是_. 答案： R5、当且仅当对于的每一邻域有 答案： 6、设是有限补空间中的一个无限子集，那么= ;答案：7、设是有限补空间中的一个无限子集，那么= ;答案：8、设是可数补空间中的一个不行数子集，那么

10、= ;答案：9、设是可数补空间中的一个不行数子集，那么= ;答案：10、设,的拓扑,那么的子集 的内部为 ;答案：211、设,的拓扑,那么的子集 的内部为 ;答案：112、设,的拓扑,那么的子集 的内部为 答案：113、设,的拓扑,那么的子集 的内部为 ;答案：14、设,那么的平凡拓扑为 ;答案：15、设,那么的离散拓扑为 答案：16、设,的拓扑,那么的子集 的内部为 ;答案：3 17、设,的拓扑,那么的子集 的内部为 ;答案：1 18、是拓扑空间到的一个映射，假设它是一个单射，并且是从到它的象集的一个同胚，那么称映射是一个 .答案：嵌入19、是拓扑空间到的一个映射，假设它是一个满射，并且的拓

11、扑是对于映射而言的商拓扑，那么称是一个 ;答案：商映射20、设是两个拓扑空间，是一个映射，假设中任何一个开集的象集是中的一个开集，那么称映射是一个答案：开映射21、设是两个拓扑空间，是一个映射，假设中任何一个闭集的象集是中的一个闭集，那么称映射是一个答案：闭映射22、假设拓扑空间存在两个非空的闭子集,使得,那么是一个 ；答案：不连通空间23、假设拓扑空间存在两个非空的开子集,使得,那么是一个 ；答案：不连通空间24、假设拓扑空间存在着一个既开又闭的非空真子集，那么是一个 答案：不连通空间25、设是拓扑空间的一个连通子集，满意，那么也是的一个 ; 答案：连通子集26、拓扑空间的某种性质，假设为一

12、个拓扑空间所具有也必定为它在任何一个连续映射下的象所具有，那么称这特性质是一个 ；答案：在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质，假设为一个拓扑空间所具有也必定为它的任何一个商空间所具有，那么称这特性质是一个 ；答案：可商性质28、假设随意个拓扑空间,都具有性质,那么积空间也具有性质，那么性质称为 ;答案：有限可积性质29、设是一个拓扑空间，假设中有两个非空的隔离子集,使得,那么称是一个 ；答案：不连通空间.三推断每题4分，推断1分，理由3分1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案: 理由：设是离散空间，是拓扑空间，是连续映射，因为对随意，都有,由于中的任何一个子集

13、都是开集，从而是中的开集，所以是连续的. 2、设是集合的两个拓扑，那么不愿定是集合的拓扑( )答案:理由：因为1是的拓扑，故T1，T，从而；对随意的T1T，那么有T1且T，由于T1, T2是的拓扑，故T1且T2，从而 T1T；对随意的，那么，由于T1, T2是的拓扑，从而UTUT1, UTUT2,故UTU T1T；综上有T1T也是的拓扑3、从拓扑空间到平凡空间的任何映射都是连续映射 答案:理由：设是任一满意条件的映射，由于是平凡空间，它中的开集只有,易知它们在下的原象分别是,均为中的开集，从而连续.4、设为离散拓扑空间的随意子集，那么 答案:理由：设为中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开

14、集，所以是的开子集，且有，即,从而 .5、设为平凡空间多于一点的一个单点集，那么 答案：理由：设,那么对于随意,有唯一的一个邻域，且有,从而，因此是的一个凝合点，但对于的唯一的邻域，有,所以有.6、设为平凡空间的任何一个多于两点的子集，那么 答案：理由：对于随意因为包含多于一点，从而对于的唯一的邻域，且有，因此是的一个凝合点，即，所以有.7、设是一个不连通空间，那么中存在两个非空的闭子集,使得 答案：理由：设是一个不连通空间，设是的两个非空的隔离子集使得,明显，并且这时有:从而是的一个闭子集，同理可证是的一个闭子集，这就证明了满意.8、假设拓扑空间中存在一个既开又闭的非空真子集，那么是一个不连

15、通空间( )理由：这是因为假设设是中的一个既开又闭的非空真子集，令，那么都是中的非空闭子集，它们满意，易见是隔离子集，所以拓扑空间是一个不连通空.五简答题每题4分1、设是一个拓扑空间，是的子集，且.试说明.答案：对于随意,设是的任何一个邻域，那么有,由于，从而，因此，故.2、设都是拓扑空间., 都是连续映射，试说明也是连续映射.答案：设是的随意一个开集，由于是一个连续映射，从而是的一个开集，由是连续映射，故是的一开集，因此 是的开集，所以是连续映射.3、设是一个拓扑空间，.试说明：假设是一个闭集，那么的补集是一个开集.答案：对于,那么，由于是一个闭集，从而有一个邻域使得,因此，即,所以对任何,

16、是的一个邻域，这说明是一个开集.4、设是一个拓扑空间，.试说明：假设的补集是一个开集，那么是一个闭集.答案：设,那么,由于是一个开集，所以是的一个邻域，且满意,因此,从而,即有，这说明是一个闭集.5、在实数空间R中给定如下等价关系：或者或者设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑T.答案：6、在实数空间R中给定如下等价关系:或者或者设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑T .答案：7、在实数空间R中给定如下等价关系：或者或者设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑T.答案：8、在实数空间R中给定如下等价关系：或者或者设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑T.答案：9、在实数

17、空间R中给定如下等价关系:或者或者设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑T .答案：10、在实数空间R中给定如下等价关系:或者或者设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑T .答案：11、在实数空间R中给定如下等价关系:或者或者设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑T .答案：六、证明题每题8分1、设是从连通空间到拓扑空间是的一个连通子集.证明：假设是的一个不连通子集，那么存在的非空隔离子集使得 3分于是是的非空子集，并且：所以是的非空隔离子集 此外，这说明是的一个连通子集. 8分2、设是拓扑空间的一个连通子集, 证明: 假设和是的两个无交的开集使得,那么或者,或者. 证明：因

18、为是的开集，从而是子空间的开集.又因中，故 4分由于是的连通子集,那么中必有一个是空集. 假设,那么;假设,那么 8分3、设是拓扑空间的一个连通子集, 证明: 假设和是的两个无交的闭集使得,那么或者,或者. 证明：因为是的闭集，从而是子空间的闭集.又因中，故 4分由于是的连通子集,那么中必有一个是空集. 假设,那么;假设,那么 8分4、设是拓扑空间的一个连通子集，满意，那么也是的一个连通子集.证明：假设是的一个不连通子集，那么在中有非空的隔离子集 使得.因此 3分由于是连通的，所以或者,假设，由于，所以，因此 ,同理可证假设，那么也 是的一个连通子集. 8分5、设是拓扑空间,那么是的一个连通子集.证明：假设是有非空的隔离子集使得 4分随意选取,不失一般性，设,对于每一个，由于连通，从而及,冲突，所以是连通的. 8分6、设是拓扑空间的一个连通子集，是的一个既开又闭的集合.证明：假设,那么.证明：假设,那么结论明显成立.下设,由于是的一个既开又闭的集合,从而是的子空间的一个既开又闭的子集 4分由于及连通，所以，故. 8分7、设A是连通空间X的非空真子集. 证明:A的边界.证明：假设,由于,从而,故是的隔离子集 4分因为A是X的非空真子集,所以A和均非空,于是X不连通,与题设冲突.所以. 8分