中考总复习分式与二次根式知识讲解基础.docx

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1、中考总复习：分式与二次根式学问讲解（根底）【考纲要求】1. 理解分式的概念，会利用分式的根本性质进展约分和通分，会进展分式的加、减、乘、除、乘方运算；可以依据详细问题数量关系列出简洁的分式方程，会解简洁的可化为一元一次方程的分式方程；2. 利用二次根式的概念及性质进展二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进展二次根式的运算【学问网络】【考点梳理】考点一、分式的有关概念及性质1分式设A、B表示两个整式假如B中含有字母，式子就叫做分式留意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的根本性质（M为不等于零的整式）.3最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式假如分子分母有公因式

2、，要进展约分化简.要点诠释：分式的概念需留意的问题：(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必需含有字母且不为0；（3）推断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只依据它的原有形式进展推断（4）分式有无意义的条件：在分式中， 当B0时，分式有意义；当分式有意义时，B0 当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0 当B0且A = 0时，分式的值为零考点二、分式的运算1根本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,详细运算法则如下:（1）加减运算 = 同分母的分式

3、相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进展计算.（2）乘法运算 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算 （分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方2零指数 .3负整数指数 4分式的混合运算依次 先算乘方，再算乘除，最终加减，有括号先算括号里面的5约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分6通分依据分式的根本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分要点诠释： 约分

4、需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思索过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思索过程相像；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和一样字母最低次幂的积通分留意事项：(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与全部因式的最高次幂的积 (2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉 (3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母全部字母因式的最高次幂的积.考点三、分式方程及

5、其应用1分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程2分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程 3分式方程的增根问题验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必需验根验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，假如为0，即为增根，不为0，就是原方程的解4分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍困难一些解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进展求解另外，还要留意从多角度思索、分析、解决问题，留意检验、说明结果的合

6、理性要点诠释： 解分式方程留意事项：（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；（2）解完分式方程必需进展检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，假如为0，即为增根，不为0，就是原方程的解列分式方程解应用题的根本步骤：(1)审细致审题，找出等量关系；(2)设合理设未知数；(3)列依据等量关系列出方程；(4)解解出方程；(5)验检验增根；(6)答答题考点四、二次根式的主要性质1.；2.；3.；4. 积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.6.若，则.要点诠释： 与的异同点：（1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a

7、的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数但与都是非负数，即，因此它的运算的结果是有差异的，而（2）一样点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.考点五、二次根式的运算1二次根式的乘除运算(1)运算结果应满意以下两个要求：应为最简二次根式或有理式；分母中不含根号.(2)留意知道每一步运算的算理；2二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的本质；3二次根式的混合运算(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的依次，即先乘方、开方，再乘除，最终算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有许多相像之处

8、，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速精确地进展二次根式的混合运算.1.明确运算依次，先算乘方，再算乘除，最终算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍旧适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，敏捷运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进展乘法运算，二是进展加法运算，使难点分散，易于理解和驾驭.在运算过程中，对于各个根式不肯定要先化简，可以先乘除，进展约分，到达化简的目的，但最终结果肯定要化简

9、.例如，没有必要先对进展化简，使计算繁琐，可以先依据乘法安排律进展乘法运算，通过约分到达化简目的；(2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.如：，利用了平方差公式.所以，在进展二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.【典型例题】类型一、分式的意义1使代数式有意义的的取值范围是（ ）A. B. C.且 D.一实在数【答案】C；【解析】解不等式组得且，故选C【点评】代数式有意义，就是要使代数式中的分式的分母不为零；代数式中的二次根式的被开方数是非负数，即须要中的x0；分母中的2x-10.举一反三：【高清课程名称：分式与二次根式 高清ID号：399347关联的位置名称

10、（播放点名称）：例1】【变式】当x取何值时，分式有意义值为零【答案】当时，分式有意义，即时，分式有意义.当且时，分式值为零，解得，且，即时，分式值为零.类型二、分式的性质2已知,求下列各式的值.(1); (2).【答案与解析】(1)因为,所以.即.所以.(2),所以.【点评】视察(1)和已知条件可知,将已知等式两边分别平方再整理,即可求出(1)的值;对于(2),干脆求值很困难,依据其特点和已知条件,可以求出其倒数的值,这样便可求出(2)的值.举一反三：【变式】已知求的值.【答案】 由得所以即.所以.类型三、分式的运算3计算【答案与解析】【点评】异分母分式相加减，先依据分式的根本性质进展通分，转

11、化为同分母分式，再进展相加减.在通分时，先确定最简公分母，然后将各分式的分子、分母都乘以分母与最简公分母所差的因式.运算的结果应依据分式的根本性质化为最简形式.举一反三：【高清课程名称：分式与二次根式 高清ID号：399347关联的位置名称（播放点名称）：例2】【变式】已知，化简求值：【答案】原式类型四、分式方程及应用4假如方程 有增根, 那么增根是 .【答案与解析】 因为增根是使分式的分母为零的根,由分母或可得.所以增根是.答案: 【点评】使分母为0的根是增根.5为创立“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对局部路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，依据

12、市政建立的须要，须在60天内完成工程如今甲、乙两个工程队有实力承包这个工程经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工程须要30天，甲队每天的工程费用2500元，乙队每天的工程费用2000元（1）甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？（2）请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用【答案与解析】（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需（x+25）天 依据题意得： 方程两边同乘以x（x+25），得30（x+25）+30x=x（x+25），即x235x750=0解之，得x1=50，x2=15 经检验，x1=50，x2=15都是

13、原方程的解但x2=15不符合题意，应舍去当x=50时，x+25=75答：甲工程队单独完成该工程需50天，则乙工程队单独完成该工程需75天（2）此问题只要设计出符合条件的一种方案即可方案一：由甲工程队单独完成（ 所需费用为：250050=125000（元）方案二：由甲乙两队合作完成所需费用为：（2500+2000）30=135000（元）【点评】本题考察分式方程在工程问题中的应用分析题意，找到关键描绘语，找到适宜的等量关系是解决问题的关键工程问题的根本关系式：工作总量=工作效率工作时间（1）假如设甲工程队单独完成该工程需x天，那么由“乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天”，得出乙工

14、程队单独完成该工程需（x+25）天再依据“甲、乙两队合作完成工程须要30天”，可知等量关系为：甲工程队30天完成该工程的工作量+乙工程队30天完成该工程的工作量=1（2）首先依据（1）中的结果，解除在60天内不能单独完成该工程的乙工程队，从而可知符合要求的施工方案有两种：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由甲乙两队合作完成针对每一种状况，分别计算出所需的工程费用举一反三：【变式】莱芜盛产生姜，去年某消费合作社共收获生姜200吨，安排采纳批发和零售两种方式销售经市场调查，批发每天售出6吨（1）受天气、场地等各种因素的影响，须要提早完成销售任务在平均每天批发量不变的状况下，实际平均每天的零售量比

15、原安排增加了2吨，结果提早5天完成销售任务那么原安排零售平均每天售出多少吨？（2）在（1）的条件下，若批发每吨获得利润为2000元，零售每吨获得利润为2200元，计算实际获得的总利润【答案】（1）设原安排零售平均每天售出x吨依据题意，得，解得x1=2，x2=16经检验，x=2是原方程的根，x=16不符合题意，舍去答：原安排零售平均每天售出2吨（2）实际获得的总利润是：2000620+2200420=416000（元）类型五、二次根式的定义及性质6当x取何值时，的值最小？最小值是多少？【答案与解析】 ，当9x+1=0，即时，有最小值，最小值为3.【点评】解决此类问题肯定要娴熟驾驭二次根式的非负性，即0（a0）.由二次根式的非负性可知的最小值为0，因为3是常数，所以的最小值为3.类型六、二次根式的运算【高清课程名称：分式与二次根式 高清ID号：399347关联的位置名称（播放点名称）：例3】7计算：； 【答案与解析】原式【点评】本题主要考察的是二次根式的混合运算，在进展此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算