高中数学《立体几何》大题及答案解析.docx

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1、高中数学立体几何大题及答案解析(理)1.2021全国卷如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点在侧棱上，。 I证明：是侧棱的中点；求二面角的大小。 2.2021全国卷如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE平面BCC1证明：AB=AC设二面角A-BACBA1B1C1DED-C为60,求B1C及平面BCD所成的角的大小3.2021浙江卷如图，平面，分别为的中点I证明：平面；II求及平面所成角的正弦值4.2021北京卷如图，四棱锥的底面是正方形，点E在棱PB上.求证：平面；当且E为PB的中点时，求AE及平面PDB所成的角的大小.5.2021江西卷如图，在四

2、棱锥中，底面是矩形，平面，以的中点为球心、为直径的球面交于点1求证：平面平面；2求直线及平面所成的角；3求点到平面的间隔 6.2021四川卷如图，正方形所在平面及平面四边形所在平面相互垂直，是等腰直角三角形，I求证：；II设线段、的中点分别为、，求证： III求二面角的大小。7.2021湖北卷文如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD,SDADa,点E是SD上的点，且DEa(01). ()求证：对随意的0、1，都有ACBE:()假设二面角C-AE-D的大小为600C，求的值。8.2021湖南卷如图3，在正三棱柱中，AB=4, ,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE.证明：平

3、面平面; 求直线AD与平面所成角的正弦值。9.2021四川卷如图，正方形所在平面及平面四边形所在平面相互垂直，是等腰直角三角形，I求证：；II设线段、的中点分别为、，求证： III求二面角的大小。10.2021重庆卷文如题18图，在五面体中，四边形为平行四边形，平面，求：直线到平面的间隔 ；二面角的平面角的正切值11如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD(1)证明：PABD； (2)设PDAD，求二面角APBC的余弦值12本小题总分值12分如图，四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高 ，E为AD中

4、点（1） 证明：PEBC（2） 假设APB=ADB=60，求直线PA及平面PEH所成角的正弦值参考答案1、【解析】I解法一：作交于N，作交于E，连ME、NB，那么面，,设，那么,在中，。在中由解得，从而 M为侧棱的中点M. 解法二:过作的平行线.II分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也根本上不用三垂线定理的方法求作二面角。过作交于,作交于,作交于,那么,面,面面,面即为所求二面角的补角.法二：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，那么点为AM的中点，取SA的中点G，连GF，易证，那么即为所求二面角.解法二、分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如

5、图建立空间直角坐标系Dxyz，那么。SABCDMzxy设，那么，由题得，即解之个方程组得即所以是侧棱的中点。法2：设，那么又故，即，解得，所以是侧棱的中点。由得，又，设分别是平面、的法向量，那么且，即且分别令得，即二面角的大小。2、解法一：取BC中点F，连接EF，那么EF，从而EFDA。连接AF，那么ADEF为平行四边形，从而AF/DE。又DE平面，故AF平面，从而AFBC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。作AGBD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CGBD，故AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，AGC=600. 设AC=2，那么AG=。又AB=2，BC=，故AF=。由得

6、2AD=，解得AD=。故AD=AF。又ADAF，所以四边形ADEF为正方形。因为BCAF，BCAD，AFAD=A，故BC平面DEF，因此平面BCD平面DEF。连接AE、DF，设AEDF=H，那么EHDF，EH平面BCD。连接CH，那么ECH为及平面BCD所成的角。因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，又EC=2，所以ECH=300，即及平面BCD所成的角为300.解法二：以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如下图的直角坐标系Axyz。设B1，0，0，C0，b，0，D0，0，c，那么1，0，2c,E，c.于是=，0，=-1，b,0.由DE平面知DEBC， =0，求得b=1，所以 AB=

7、AC。设平面BCD的法向量那么又=-1，1， 0，=-1，0，c,故令x=1, 那么y=1, z=,=(1,1, ).又平面的法向量=0，1，0由二面角为60知，=60，故 ，求得于是 ， 所以及平面所成的角为303、证明：连接， 在中，分别是的中点，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC平面ACD， 所以平面ACD在中，所以 而DC平面ABC，所以平面ABC 而平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ABE由知四边形DCQP是平行四边形，所以 所以平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP， 所以直线AD及平面ABE所成角是 在中， ，所以4、【解法1】四边形ABCD是正

8、方形，ACBD，PDAC，AC平面PDB，平面.设ACBD=O，连接OE， 由知AC平面PDB于O， AEO为AE及平面PDB所的角， O，E分别为DB、PB的中点， OE/PD，又， OE底面ABCD，OEAO， 在RtAOE中， ，即AE及平面PDB所成的角的大小为.【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系， 设那么，ACDP，ACDB，AC平面PDB，平面.当且E为PB的中点时， 设ACBD=O，连接OE， 由知AC平面PDB于O， AEO为AE及平面PDB所的角，即AE及平面PDB所成的角的大小为.多面体ABCDEF的体积为VEABCDVEBCF=5、解：方法一：1证：依题设，在以

9、为直径的球面上，那么.因为平面，那么，又，所以平面，那么，因此有平面，所以平面平面.设平面及交于点，因为，所以平面，那么，由1知，平面，那么MN是PN在平面ABM上的射影，所以 就是及平面所成的角，且所求角为3因为O是BD的中点，那么O点到平面ABM的间隔 等于D点到平面ABM间隔 的一半，由1知，平面于M，那么|DM|就是D点到平面ABM间隔 .因为在RtPAD中，所以为中点，那么O点到平面ABM的间隔 等于。方法二：1同方法一；2如下图，建立空间直角坐标系，那么， ，设平面的一个法向量，由可得：，令，那么，即.设所求角为，那么，所求角的大小为.3设所求间隔 为，由，得：6、【解析】解法一：

10、因为平面ABEF平面ABCD，BC平面ABCD，BCAB，平面ABEF平面ABCD=AB，所以BC平面ABEF.所以BCEF.因为ABE为等腰直角三角形，AB=AE，所以AEB=45，又因为AEF=45,所以FEB=90，即EFBE.因为BC平面ABCD, BE平面BCE,BCBE=B所以 6分II取BE的中点N,连结CN,MN,那么MNPC PMNC为平行四边形,所以PMCN. CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内, PM平面BCE. 8分III由EAAB,平面ABEF平面ABCD,易知EA平面ABCD.作FGAB,交BA的延长线于G,那么FG平面ABCD,作GHBD于H,连结FH,那么

11、由三垂线定理知BDFH. FHG为二面角F-BD-A的平面角. FA=FE,AEF=45,AEF=90, FAG=45.设AB=1,那么AE=1,AF=,那么在RtBGH中, GBH=45,BG=AB+AG=1+=,在RtFGH中, , 二面角的大小为 12分解法二: 因等腰直角三角形，所以又因为平面，所以平面，所以即两两垂直；如图建立空间直角坐标系, (I) 设，那么，从而于是， 平面，平面，II，从而 于是 ，又平面，直线不在平面内， 故平面III设平面的一个法向量为，并设 即 取，那么，从而1，1，3 取平面D的一个法向量为故二面角的大小为7、证发1：连接BD，由底面是正方形可得ACBD

12、。 SD平面，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂线定理得ACBE.(II)解法1：SD平面ABCD，平面， SDCD. 又底面是正方形， DD，又AD=D，CD平面SAD。过点D在平面SAD内做DFAE于F，连接CF，那么CFAE， 故CFD是二面角C-AE-D 的平面角，即CFD=60在RtADE中，AD=, DE= ， AE= 。于是，DF=在RtCDF中，由cot60=得， 即=3， 解得=8、解:如下图，由正三棱柱的性质知平面.又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,所以DE平面.又DE 平面，故平面平面. 解法 1: 过点A作AF垂直于点,连接DF.由知，平面平面，所以AF平面

13、,故是直线AD与平面所成的角。 因为DE，所以DEAC.而ABC是边长为4的正三角形，于是AD=，AE=4-CE=4-=3.又因为，所以E= = 4, 即直线AD与平面所成角的正弦值为 .解法2 : 如下图，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，那么相关各点的坐标分别是A(2,0,0,), (2,0,), D(-1, ,0), E(-1,0,0).易知=-3，-，=0，-，0，=-3，0.设是平面的一个法向量，那么解得.故可取.于是 由此即知，直线AD与平面所成角的正弦值为 .所以ME及BN不共面，它们是异面直线。 .12分9、【解析】解法一：因为平面ABEF平面ABCD，BC平面A

14、BCD，BCAB，平面ABEF平面ABCD=AB，所以BC平面ABEF.所以BCEF.因为ABE为等腰直角三角形，AB=AE，所以AEB=45，又因为AEF=45,所以FEB=90，即EFBE.因为BC平面ABCD, BE平面BCE,BCBE=B所以 6分II取BE的中点N,连结CN,MN,那么MNPC PMNC为平行四边形,所以PMCN. CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内, PM平面BCE. 8分III由EAAB,平面ABEF平面ABCD,易知EA平面ABCD.作FGAB,交BA的延长线于G,那么FG平面ABCD,作GHBD于H,连结FH,那么由三垂线定理知BDFH. FHG为二面角

15、F-BD-A的平面角. FA=FE,AEF=45,AEF=90, FAG=45.设AB=1,那么AE=1,AF=,那么在RtBGH中, GBH=45,BG=AB+AG=1+=,在RtFGH中, , 二面角的大小为12分解法二: 因等腰直角三角形，所以又因为平面，所以平面，所以即两两垂直；如图建立空间直角坐标系, (I) 设，那么，从而于是， 平面，平面，II，从而 于是 ，又平面，直线不在平面内， 故平面III设平面的一个法向量为，并设 即 取，那么，从而1，1，3 取平面D的一个法向量为故二面角的大小为10、解法一:平面, AB到面的间隔 等于点A到面的间隔 ，过点A作于G，因，故；又平面，

16、由三垂线定理可知，故，知，所以AG为所求直线AB到面的间隔 。在中，由平面，得AD，从而在中，。即直线到平面的间隔 为。由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE，所以，为二面角的平面角，记为.在中, ,由得,从而在中, ,故所以二面角的平面角的正切值为.解法二: 如图以A点为坐标原点,的方向为的正方向建立空间直角坐标系数,那么A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 设可得,由.即,解得 ，面,所以直线AB到面的间隔 等于点A到面的间隔 。设A点在平面上的射影点为,那么 因且,而,此即 解得,知G点在面上,故G点在FD上.,故有 联立,解得, 为直线AB到面的间隔 . 而 所

17、以因四边形为平行四边形,那么可设, .由得,解得.即.故由,因,故为二面角的平面角，又,所以11.解：(1)因为DAB60，AB2AD，由余弦定理得.从而BD2AD2AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD故PABD(2)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.那么A(1，0，0)，B(0，0)，C(1，0)，P(0，0，1)(1，0)，(0，1)，(1，0，0)设平面PAB的法向量为n(x，y，z)，那么即因此可取n(，1，)设平面PBC的法向量为m，那么可取m(0，1，)，.故二面角APBC的余弦值为.12.解：以为原点， 分别为轴，线段的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 那么 设 那么 可得 因为所以 由条件可得 设 为平面的法向量 那么 即因此可以取，由，可得 所以直线及平面所成角的正弦值为