微积分在物理竞赛中的应用.docx

《微积分在物理竞赛中的应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分在物理竞赛中的应用.docx（14页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、求解在立体斜面上滑动的物体的速度一物体放在斜面上，物体及斜面间的摩擦因数恰好满足，为斜面的倾角。今使物体获得一水平速度而滑动，如图一，求：物体在轨道上随意一点的速度V及的关系，设为速度及水平线的夹角。解：物体在某一位置所受的力有：重力，弹力以及摩擦力。摩擦力总是及运动速度V的方向相反，其数值重力在斜面上的分力为，如图二，将分解为两个分力：是沿轨迹切线方向的分力， ；是沿轨迹法向的分力，如图三。依据牛顿运动定律，得运动方程为 1 2由1，而得到 3式中是t的函数，但是这个函数是个未知函数，因此还不能对上式积分，要设法在及t中消去一个变量，才能积分，留意到 4而表示曲线在该点的曲率半径，依据2式，

2、 5由式345，可得到，积分，得到，运用积分法求解链条的速度及其时间一条匀质的金属链条，质量为m，挂在一个光滑的钉子上，一边长度为，另一边长度为而且，如图一。试求：链条从静止开场滑离钉子时的速度和所须要的时间。解：设金属链条的线密度为当一边长度为，另一边长度为时受力如图二所示，那么依据牛顿运动定律，得出运动方程那么因为，所以令可以求得链条滑离钉子时的速度大小再由得到积分，得到令x=,可以求得链条滑离钉子所需的时间为求解棒下落过程中的最大速度在密度为的液体上方有一悬挂的长为L,密度为的匀整直棒，棒的下端刚及液面接触。今剪断细绳，棒在重力和浮力的作用下下沉，假设，求：棒下落过程中的最大速度。解：剪

3、断细绳后，直棒在下沉过程中受到重力和浮力的作用，如图一所示。依据牛顿运动定律，有 1随着棒往下沉，浮力慢慢增大。当直棒所受合力为零，即时，棒的加速度为零，速度最大。设棒到达最大速度时，棒浸入液体中的长度为，设棒的截面积为S，那么有解得， 2取x坐标如下图，那么1式可以写为做变量代换，令代入上式，得到两边积分，得到得到，将2式代入3式，得棒的最大速度为运用微分法求解阻尼平抛质量为m的物体，以初速为，方向及地面成角抛出。假如空气的阻力不能忽视，并设阻力及速度成正比，即，k为大于零的常数。求：物体的运动轨道。解：依据受力状况，列出牛顿运动定律方程其重量式， 1 2将代入式1，得改写成两边积分，得到可

4、见由于空气阻力的存在，x方向的速度不再是常数，而随时间慢慢衰减。由于再积分，并以t=0时x=0,代入得到 3同理，由于式2转化为积分，并以t=0时，代入，得到可见，y方向的速度也不再是匀减速的。再将上式对时间积分，并以t=0时y=0代入，得到 4由34两式消去t,得到有阻力时的轨道方程明显由于空气阻力的作用，抛体的轨道不再是简洁的抛物线了，实际轨道将比志向轨道向左下方偏离，如图一。例如：以初速620m/s,仰角放射的步枪子弹的射程，没有空气阻力时应为40km,而实际射程只有4km.求解飞机的滑行距离飞机以的水平速度触地滑行着陆。滑行期间受到空气的阻力为，升力为，其中V是飞机的滑行速度。设飞机及

5、跑道间的摩擦系数为，试求：飞机从触地到停顿所滑行的距离。解：取飞机触地点为坐标原点，取飞机滑行方向为x轴。飞机在水平方向上受力为：摩擦力，空气阻力为；在竖直方向上受力为：重力, 支持力和升力如图一所示，应用牛顿第二定律，得到由上两式消去N，得到利用得到别离变量，积分，得到在飞机触地的瞬间，支持力N=0,由运动方程，得到于是这就是飞机从触地到停顿所滑行的距离。社升阻比，。代入数值计算后，得到x=221m.求解阻尼自由落体和阻尼竖直上抛的相遇问题两小球的质量均为m，小球1从离地面高度为h处由静止下落，小球2在小球1的正下方地面上以初速同时竖直上抛。设空气阻力及小球的运动速率成正比，比例系数为k(常

6、量)。试求：两小球相遇的时间, 地点以及相遇时两小球的速度。解：两小球均受重力和阻力作用，取坐标如图一所示，两小球的运动方程可统一表示为它们运动状态的差异仅由于初始条件的不同而引起的，故别离变量对于小球1，初始条件为时，故 (1) 对于小球2，初始条件是t=0时，故得到 2由1式，得到积分，得到由式2得到积分，得到两小球相遇时，相遇时间为，由34两式，得到，故把上述结果代入3或者4，得到两小球相遇的地点代入12，得到两小球相遇时的速度探讨：1当阻力很小时，即当时，利用绽开式上述结果简化为这正是不考虑空气阻力时的结果。2当考虑如提设的空气阻力时，由上述结果可知，只在下述条件下或者两小球才有可能相遇。在非惯性系中求解球环系统的运动状况一轻绳的两端分别连接小球A和小环B，球及环的质量相等，小环B可在拉紧的钢丝上作无摩擦的滑动，如图一。现使小球在图示的平面内摇摆。求：小球摆离铅垂线的最大角度时小环和小球的加速度。解：当小球摇摆时，小环沿钢丝做加速运动。以小环B为参考系，那么小球受重力和绳子拉力外，还受惯性力的作用，如图二。其加速度沿圆弧的切线方向。在最大摆角为时的运动方程为小环B在水平方向的运动方程为.解方程，得到。小球A相对地的加速度，取如图二所示的坐标系，那么有