新课标人教A版高中数学必修5教案.docx
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1、111正弦定理教学目的学问与技能:通过对随意三角形边长和角度关系的探究,驾驭正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类根本问题。过程与方法:让学生从已有的几何学问动身,共同探究在随意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过视察,推导,比拟,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进展定理根本应用的理论操作。情感看法与价值观:培育学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算实力;培育学生合情推理探究数学规律的数学思思想实力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等学问间的联络来表达事物之间的普遍联络与辩证统一。教学重点正弦定理的探究和证明及其根本应用。教学难点已知两边和其中
2、一边的对角解三角形时推断解的个数。教学过程一.课题导入BCA如图11-1,固定ABC的边CB及B,使边AC围着顶点C转动。 思索:C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系?明显,边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系准确地表示出来? 二.讲授新课探究讨论 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来讨论直角三角形中,角与边的等式关系。如图,在RtABC中,设BC=a,AC=b,AB=c, 依据锐角三角函数中正弦函数的定义,CAB有,又, 则 从而在直角三角形ABC中, 思索1:那么对于随意的三角形,以上关系式是否仍旧成立?(由学生讨论、分析)可分为锐角
3、三角形和钝角三角形两种状况:如图11-3,(1)当ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,依据随意角三角函数的定义,有CD=,则, C同理可得, b a从而 A c B(2)当ABC是钝角三角形时,以上关系式仍旧成立。(由学生课后自己推导)思索2:还有其方法吗? 由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来讨论这问题。(证法二):过点A作单位向量, 由向量的加法可得 则 CABj ,即同理,过点C作,可得 从而从上面的研探过程,可得以下定理正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即理解定理(1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k使
4、,;(2)等价于,思索:正弦定理的根本作用是什么?已知三角形的随意两角及其一边可以求其他边,如;已知三角形的随意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如。一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。例题分析例1在中,已知,cm,解三角形。解:依据三角形内角和定理,;依据正弦定理, ;依据正弦定理, 评述:对于解三角形中的困难运算可运用计算器。练习:在中,已知下列条件解三角形。(1), (2),例2 在中,已知cm,cm,解三角形(角度准确到,边长准确到1cm)。解:依据正弦定理, 因为,所以,或 当时, , 当时,应留意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的
5、情形。课堂练习第4页练习第2题。思索题:在ABC中,这个k与ABC有什么关系?三.课时小结(由学生归纳总结)(1)定理的表示形式:;或,(2)正弦定理的应用范围:已知两角和任一边,求其它两边及一角;已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。四.课后作业:P10面1、2题。1.2解三角形应用举例 第一课时一、教学目的1、可以运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些有关测量间隔 的实际问题,理解常用的测量相关术语2、激发学生学习数学的爱好,并体会数学的应用价值;同时培育学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的实力二、教学重点、难点教学重点:由实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后
6、逐个解决三角形,得到实际问题的解教学难点:依据题意建立数学模型,画出示意图三、教学设想1、复习旧知复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形?2、设置情境请学生答复完后再提问:前面引言第一章“解三角形”中,我们遇到这么一个问题,“遥不行及的月亮离我们地球原委有多远呢?”在古代,天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的间隔 ,是什么奇妙的方法探究到这个奇妙的呢?我们知道,对于未知的间隔 、高度等,存在着很多可供选择的测量方案,比方可以应用全等三角形、相像三角形的方法,或借助解直角三角形等等不同的方法,但由于在实际测量问题的真实背景下,某些方法会不能施行。如因为没有足够的空
7、间,不能用全等三角形的方法来测量,所以,有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今日我们开场学习正弦定理、余弦定理在科学理论中的重要应用,首先讨论如何测量间隔 。3、 新课讲授(1)解决实际测量问题的过程一般要充分仔细理解题意,正确做出图形,把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角,通过建立数学模型来求解(2)例1、如图,设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的间隔 ,测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的间隔 是55m,BAC=,ACB=。求A、B两点的间隔 (准确到0.1m)提问1:ABC中,依据已知的边和对应角,运用哪个定理比拟
8、适当?提问2:运用该定理解题还须要那些边和角呢?请学生答复。分析:这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不行到达的点之间的间隔 的问题,题目条件告知了边AB的对角,AC为已知边,再依据三角形的内角和定理很简洁依据两个已知角算出AC的对角,应用正弦定理算出AB边。解:依据正弦定理,得 = AB = = = = 65.7(m)答:A、B两点间的间隔 为65.7米变式练习:两灯塔A、B与海洋视察站C的间隔 都等于a km,灯塔A在视察站C的北偏东30,灯塔B在视察站C南偏东60,则A、B之间的间隔 为多少?教师指导学生画图,建立数学模型。 解略:a km例2、如图,A、B两点都在河的对岸(不行到达)
9、,设计一种测量A、B两点间间隔 的方法。分析:这是例1的变式题,讨论的是两个不行到达的点之间的间隔 测量问题。首先须要构造三角形,所以须要确定C、D两点。依据正弦定理中已知三角形的随意两个内角与一边既可求出另两边的方法,分别求出AC和BC,再利用余弦定理可以计算出AB的间隔 。解:测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得CD=a,并且在C、D两点分别测得BCA=,ACD=,CDB=,BDA =,在ADC和BDC中,应用正弦定理得 AC = = BC = = 计算出AC和BC后,再在ABC中,应用余弦定理计算出AB两点间的间隔 AB = 分组讨论:还没有其它的方法呢?师生一起对不同方法进展比照、分
10、析。变式训练:若在河岸选取相距40米的C、D两点,测得BCA=60,ACD=30,CDB=45,BDA =60略解:将题中各已知量代入例2推出的公式,得AB=20评注:可见,在讨论三角形时,敏捷依据两个定理可以找寻到多种解决问题的方案,但有些过程较繁复,如何找到最优的方法,最主要的还是分析两个定理的特点,结合题目条件来选择最佳的计算方式。4、 学生阅读课本4页,理解测量中基线的概念,并找到生活中的相应例子。5、 课堂练习:课本第14页练习第1、2题6、 归纳总结解斜三角形应用题的一般步骤:(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图(2)建模:依据已知条件与求解目的,把已知量与求解量尽量集
11、中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解(4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解四、课后作业1、 课本第22页第1、2、3题2、 思索题:某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处,视察到点C处有一辆汽车沿马路向M站行驶。马路的走向是M站的北偏东40。开场时,汽车到A的间隔 为31千米,汽车前进20千米后,到A的间隔 缩短了10千米。问汽车还需行驶多远,才能到达M汽车站?解:由题设,画出示意图,设汽车前进20千米后到达B处。在ABC中,AC=31,BC=20,AB=21,由余弦定理得cosC=,
12、则sinC =1- cosC =, sinC =,所以 sinMAC = sin(120-C)= sin120cosC - cos120sinC =在MAC中,由正弦定理得 MC =35从而有MB= MC-BC=15答:汽车还须要行驶15千米才能到达M汽车站。作业:习案作业三1.2 解三角形应用举例 第二课时一、教学目的1、可以运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些有关底部不行到达的物体高度测量的问题2、稳固深化解三角形实际问题的一般方法,养成良好的讨论、探究习惯。3、进一步培育学生学习数学、应用数学的意识及视察、归纳、类比、概括的实力二、教学重点、难点重点:结合实际测量工具,解决生活中的
13、测量高度问题难点:能视察较困难的图形,从中找到解决问题的关键条件三、教学过程.课题导入提问:现实生活中,人们是怎样测量底部不行到达的建筑物高度呢?又怎样在程度飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢?今日我们就来共同讨论这方面的问题.讲授新课范例讲解例1、AB是底部B不行到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高度AB的方法。分析:求AB长的关键是先求AE,在ACE中,如能求出C点到建筑物顶部A的间隔 CA,再测出由C点视察A的仰角,就可以计算出AE的长。解:选择一条程度基线HG,使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、,CD = a,测角仪
14、器的高是h,那么,在ACD中,依据正弦定理可得AC = AB = AE + h=AC+ h= + h例2、如图,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54,在塔底C处测得A处的俯角=50。已知铁塔BC局部的高为27.3 m,求出山高CD(准确到1 m)师:依据已知条件,大家能设计出解题方案吗?若在ABD中求CD,则关键须要求出哪条边呢?生:需求出BD边。师:那如何求BD边呢?生:可首先求出AB边,再依据BAD=求得。解:在ABC中, BCA=90+,ABC =90-,BAC=- ,BAD =.依据正弦定理, = 所以 AB = 在RtABD中,得 BD =ABsinBAD=将测量数据代入上式
15、,得BD = =177 (m)CD =BD -BC177-27.3=150(m)答:山的高度约为150米.思索:有没有别的解法呢?若在ACD中求CD,可先求出AC。思索如何求出AC?例3、如图,一辆汽车在一条程度的马路上向正东行驶,到A处时测得马路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD.思索1:欲求出CD,大家思索在哪个三角形中讨论比拟合适呢? (在BCD中)思索2:在BCD中,已知BD或BC都可求出CD,依据条件,易计算出哪条边的长? (BC边)解:在ABC中, A=15,C= 25-15=10,依据正弦定理,
16、= , BC = 7.4524(km) CD=BCtanDBCBCtan81047(m)答:山的高度约为1047米.课堂练习:课本第17页练习第1、2、3题.课时小结利用正弦定理和余弦定理来解题时,要学会审题及依据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进展加工、抽取主要因素,进展适当的简化。.课后作业1、 作业:习案作业五1.2解三角形应用举例 第三课时一、教学目的1、可以运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些有关计算角度的实际问题2、通过综合训练强化学生的相应实力,让学生有效、主动、主动地参加到探究问题的过程中来,逐步让学生自主发觉规律,举一反三。3、培育学生提出问题、正确分析问题、独立
17、解决问题的实力,并激发学生的探究精神。二、教学重点、难点重点:能依据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系难点:敏捷运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题三、教学过程.课题导入创设情境提问:前面我们学习了如何测量间隔 和高度,这些事实上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题,在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向,保持肯定的航速和航向呢?今日我们接着讨论这方面的测量问题。.讲授新课范例讲解例1、如图,一艘海轮从A动身,沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B动身,沿北偏东32的方向航行54.0 n mi
18、le后到达海岛C.假如下次航行干脆从A动身到达C,此船应当沿怎样的方向航行,须要航行多少间隔 (角度准确到0.1,间隔 准确到0.01n mile)学生看图思索并讲解并描述解题思路分析:首先依据三角形的内角和定理求出AC边所对的角ABC,即可用余弦定理算出AC边,再依据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB。解:在ABC中,ABC=180- 75+ 32=137,依据余弦定理,AC= = 113.15依据正弦定理, = sinCAB = = 0.3255, 所以 CAB =19.0, 75- CAB =56.0答:此船应当沿北偏东56.1的方向航行,须要航行113.15n mile例2、在某点
19、B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为,沿BE方向前进30m,至点C处测得顶端A的仰角为2,再接着前进10m至D点,测得顶端A的仰角为4,求的大小和建筑物AE的高。解法一:(用正弦定理求解)由已知可得在ACD中, AC=BC=30, AD=DC=10, ADC =180-4, = 。 因为 sin4=2sin2cos2cos2=,得 2=30 =15, 在RtADE中,AE=ADsin60=15答:所求角为15,建筑物高度为15m解法二:(设方程来求解)设DE= x,AE=h 在 RtACE中,(10+ x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(10) 两式相减,得x=5,h=15 在 Rt
20、ACE中,tan2=2=30,=15 答:所求角为15,建筑物高度为15m解法三:(用倍角公式求解)设建筑物高为AE=8,由题意,得BAC=, CAD=2, AC = BC =30m , AD = CD =10m在RtACE中,sin2=- 在RtADE中,sin4=, - 得 cos2=,2=30,=15,AE=ADsin60=15答:所求角为15,建筑物高度为15m例3、某巡逻艇在A处发觉北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船,正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶,巡逻艇马上以14海里/小时的速度沿着直线方向追去,问巡逻艇应当沿什么方向去追?须要多少时间才追逐上该走私船?
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