高中数学必修四知识点大全.docx

《高中数学必修四知识点大全.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学必修四知识点大全.docx（27页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、学问点串讲 必修四第一章：三角函数1.11 随意角1、角的有关概念： 角的定义：角可以看成平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形 始边终边顶点AOB角的名称： 角的分类： 零角：射线没有任何旋转形成的角正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角 2、象限角的概念： 定义：假设将角顶点及原点重合，角的始边及x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角终边一样的角的表示：全部及角终边一样的角，连同在内，可构成一个集合S | = + k360 ，kZ，即任一及角终边一样的角，都可以表示成角及整个周角的与留意： kZ 是任一

2、角； 终边一样的角不肯定相等，但相等的角终边肯定一样终边一样的角有无限个，它们相差360的整数倍； 角 + k720 及角终边一样，但不能表示及角终边一样的全部角3、写出终边在y轴上的角的集合(用0到360的角表示) 解: | = 90+ n180,nZ4、角是第三象限角，那么2，各是第几象限角？解：角属于第三象限， k360+180k360+270(kZ)因此，2k360+36022k360+540(kZ)即(2k +1)3602(2k +1)360+180(kZ)故2是第一、二象限或终边在y轴的非负半轴上的角又k180+90k180+135(kZ) 当k为偶数时，令k=2n(nZ)，那么n

3、360+90n360+135(nZ) ，当k为奇数时，令k=2n+1 (nZ)，那么n360+270n360+315(nZ) ，因此属于第二或第四象限角1、弧度制我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制在弧度制下, 1弧度记做1rad在实际运算中，经常将rad单位省略2、弧度制的性质：半圆所对的圆心角为 整圆所对的圆心角为正角的弧度数是一个正数 负角的弧度数是一个负数零角的弧度数是零 角的弧度数的肯定值|=3、弧长公式 弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的肯定值及半径的积证法一:圆的面积为,圆心角为1rad的扇形面积为,又扇形弧长为l,半径为R,

4、 扇形的圆心角大小为rad, 扇形面积证法二:设圆心角的度数为n，那么在角度制下的扇形面积公式为，又此时弧长，可看出弧度制及角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式明显要简洁得多随意角的三角函数1、三角函数定义在直角坐标系中，设是一个随意角，终边上随意一点除了原点的坐标为，它及原点的间隔 为，那么1比值叫做的正弦，记作，即； 2比值叫做的余弦，记作，即； 3比值叫做的正切，记作，即； 4比值叫做的余切，记作，即； 2三角函数的定义域、值域函 数定 义 域值 域3、求函数的值域解： 定义域：cosx0 x的终边不在x轴上 又tanx0 x的终边不在y轴上当x是第象限角时， cos

5、x=|cosx| tanx=|tanx| y=2 , |cosx|=-cosx |tanx|=-tanx y=-2, |cosx|=-cosx |tanx|=tanx y=04、诱导公式5、三角函数线的定义：设随意角的顶点在原点，始边及轴非负半轴重合，终边及单位圆相交及点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它及角的终边或其反向延长线交及点.由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。说明：1三条有向线段的位置：正弦线为的终边及单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆及轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在

6、单位圆内，一条在单位圆外。2三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边及单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向及的终边的交点。3三条有向线段的正负：三条有向线段凡及轴或轴同向的为正值，及轴或轴反向的为负值。4三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。6、利用三角函数线比较以下各组数的大小：1 及 2 及 解： 如图可知： tan tan 同角三角函数的根本关系1、 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：1. 1商数关系： 2平方关系：2、，并且是第二象限角，求 解：， 又是第二象限角， ，即有，从而3、，求 4、求证：证法一：由题义知，所以左边=右边原式成立证

7、法二：由题义知，所以又，证法三：由题义知，所以13诱导公式1、诱导公式一诱导公式二诱导公式三诱导公式四sin(pa)=sina cos(p a)=cosa tan (pa)=tana诱导公式(五)诱导公式六2、化简：3、4、化简:5、1.4.1正弦、余弦函数的图象1、正弦函数y=sinx的图象与余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线与余弦曲线2、用五点法作正弦函数与余弦函数的简图描点法：正弦函数y=sinx，x0，2的图象中，五个关键点是：(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)余弦函数y=cosx x0,2p的五个点关键是哪几个？(0,1) (,0) (p,-1) (,

8、0) (2p,1)3、别利用函数的图象与三角函数线两种方法，求满意以下条件的x的集合：1.4.2 正弦、余弦函数的性质1、奇偶性： y=cosx是偶函数 y=sinx是奇函数。2、单调性正弦函数在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增大到1；在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.余弦函数在每一个闭区间(2k1)，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增加到1；在每一个闭区间2k，(2k1)(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.3、有关对称轴视察正、余弦函数的图形，可知y=sinx的对称轴为x= kZ y=cosx的对称轴为x= kZ4、推断以下函数的奇偶

9、性 (1) (2)正切函数的性质及图象1、正切函数的定义域是什么？ 2、，且的图象，称“正切曲线。y0x 3、正切函数的性质1定义域：；2值域：R 视察：当从小于，时， 当从大于，时，。3周期性：；4奇偶性：由知，正切函数是奇函数；5单调性：在开区间内，函数单调递增。4、求以下函数的周期：1 答：。 2 答：。说明：函数的周期5、求函数的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性， 解：1、由得，所求定义域为2、值域为R，周期， 3、在区间上是增函数。y=Asin(wx+j)(A0，w0)的图象1、函数y = Asin(wx+j)，(A0，w0)的图像可以看作是先把y = sinx的图像上全

10、部的点向左(j0)或向右(j0)平移|j|个单位，再把所得各点的横坐标缩短(w1)或伸长(0w1)或缩短(0A 0，(a)b =|a|b|cosq， (ab) =|a|b|cosq，a(b) =|a|b|cosq，假设 0，(a)b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq，(ab) =|a|b|cosq，a(b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq.3安排律：(a + b)c = ac + bc 在平面内取一点O，作= a， = b，= c， a + b 即在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影与，

11、即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 | c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2， c(a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc说明：1一般地，()2，03有如下常用性质：，5、|a|=12， |b|=9，求及的夹角。6、|a|=6， |b|=4， a及b的夹角为60o求：1(a+2b)(a-3b). 2|a+b|及|a-b|. 利用 7、|a|=3， |b|=4， 且a及b不共线，k为何值时，向量a+kb及a-kb互相垂直. 2.4.2平面对量数量积的坐标表示、模

12、、夹角1、平面两向量数量积的坐标表示2、平面内两点间的间隔 公式 1设，那么或. 2假如表示向量的有向线段的起点与终点的坐标分别为、， 那么(平面内两点间的间隔 公式)3、 向量垂直的断定设，那么4、 两向量夹角的余弦 cosq =5、a，b，那么a及b的夹角是多少分析：为求a及b夹角，需先求ab及ab，再结合夹角的范围确定其值.解：由a，b，有ab，a，b记a及b的夹角为，那么 又，评述：三角形函数值求角时，应留意角的范围的确定.6、在ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且ABC的一个内角为直角，求k值.解：当A = 90时，= 0，21 +3k = 0 k = 当B = 90时，=

13、0，=-= (1-2， k-3) = (-1， k-3)2(-1) +3(k-3) = 0 k = 当C = 90时，= 0，-1 + k(k-3) = 0 k = 2.5.1平面几何中的向量方法例1. AC为O的一条直径，ABC为圆周角.求证：ABC90o.证明：设2.5.2向量在物理中的应用举例1、如图，一条河的两岸平行，河的宽度d500 m，一艘船从A处动身到河对岸.船的速度|10 km/h，水流速度|2 km/h，问行驶航程最短时，所用时间是多少精确到0.1 min？第三章：三角恒等变换3.1.1 两角差的余弦公式1、两角与差的余弦公式：2、利用与、差角余弦公式求、的值.解：分析：把、

14、构造成两个特殊角的与、差.3、，是第三象限角，求的值.解：因为，由此得又因为是第三象限角，所以所以3.1.2 两角与及差的正弦、余弦、正切公式一1、 2、3、求的值4、利用与差角公式计算以下各式的值：1、；2、；3、解：1、；2、；3、3.1.2 两角与及差的正弦、余弦、正切公式二1、化简解： 2、归纳：3、：函数（1） 求的最值。2求的周期、单调性。4、A、B、C为ABC的三內角，向量，且，（1） 求角A。2假设，求tanC的值。3.1.3 二倍角的正弦、余弦与正切公式1、；留意： 2、求的值解：由得又因为于是；3、在ABC中，4、求的值解：，由此得解得或5、1、试以表示解：我们可以通过二倍

15、角与来做此题因为，可以得到；因为，可以得到又因为2、，且在第二象限，求的值。3、求证：、；、证明：因为与是我们所学习过的学问，因此我们从等式右边着手两式相加得；即；由得；设，那么把的值代入式中得4、 ；解：1由得25、解：6、函数（1） 求的最小正周期，2当时，求的最小值及获得最小值时的集合7、把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的面积最大？分别设边及角为自变量解：1如图，设矩形长为l，那么面积，所以当且仅当即时，获得最大值，此时S获得最大值，矩形的宽为即长、宽相等，矩形为圆内接正方形.2设角为自变量，设对角线及一条边的夹角为，矩形长及宽分别为、，所以面积.而，所以，当且仅当时，S取最大值，所以当且仅当即时， S取最大值，此时矩形为内接正方形.PQRSO8、半径为1的半圆，PQRS是半圆的内接矩形如图，问P点在什么位置时，矩形的面积最大，并求最大面积时的值解：设那么故S四边形PQRS故为时，