高中数学直线和圆知识点总结.docx

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1、直线和圆一直线1斜率及倾斜角：，1时，；2时，不存在；3时，4当倾斜角从增加到时，斜率从增加到；当倾斜角从增加到时，斜率从增加到2直线方程1点斜式：2斜截式：3两点式：4截距式：5一般式：3间隔 公式1点，之间的间隔 ：2点到直线的间隔 ：3平行线间的间隔 ：及的间隔 ：4位置关系1截距式：形式重合： 相交：平行： 垂直：2一般式：形式重合：且且平行：且且垂直： 相交：5直线系表示过两直线和交点的全部直线方程不含二圆1圆的方程1标准形式：2一般式：3参数方程：是参数【注】题目中出现动点求量时，通常可实行参数方程转化为三角函数问题去解决.4以,为直径的圆的方程是：2位置关系1点和圆的位置关系：当

2、时，点在圆内部当时，点在圆上当时，点在圆外2直线和圆的位置关系：推断圆心到直线的间隔 及半径的大小关系当时，直线和圆相交有两个交点；当时，直线和圆相切有且仅有一个交点；当时，直线和圆相离无交点； 推断直线及圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用圆心到直线的间隔 d和圆半径r的大小关系(2)代数法：联立直线及圆的方程消元后利用推断(3)点及圆的位置关系法：假设直线恒过定点且定点在圆内可推断直线及圆相交3圆和圆的位置关系推断圆心距及两圆半径之和，半径之差的大小关系当时，两圆相离，有4条公切线；当时，两圆外切，有3条公切线；当时，两圆相交，有2条公切线；当时，两圆内切，有1条公切线；当时，两圆内含

3、，没有公切线；4当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减5弦长公式：例1假设圆x2y21及直线y2没有公共点，那么实数k的取值范围是解析：由题意知 1，解得k.答案：(， )例2两圆C1：x2y22x10y240，C2：x2y22x2y80，那么两圆公共弦所在的直线方程是解析：两圆相减即得x2y40.答案：x2y40例3设直线x10及圆(x1)2(y2)24相交于A、B两点，且弦的长为2，那么实数m的值是解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x10的间隔 d1，即1，解得m.答案：例4假设a，b，c是直角三角形三边的长(c为斜边)，那么圆C：x2y24被直线l：c0所截得的弦长为解析：由题

4、意可知圆C：x2y24被直线l：c0所截得的弦长为2 ，由于a2b2c2，所以所求弦长为2.答案：2例5M：x2(y2)21，Q是x轴上的动点，分别切M于A，B两点(1)假设，求及直线的方程；(2)求证：直线恒过定点解：(1)设直线交于点P，那么，又1，得 ，又，3.设Q(x,0)，而点M(0,2)，由3，得x，那么Q点的坐标为(，0)或(，0)从而直线的方程为2xy20或2xy20.(2)证明：设点Q(q,0)，由几何性质，可知A，B两点在以为直径的圆上，此圆的方程为x(xq)y(y2)0，而线段是此圆及圆的公共弦，相减可得的方程为2y30，所以直线恒过定点.例6过点(1，2)的直线l被圆x

5、2y22x2y10截得的弦长为 ，那么直线l的斜率为解析：将圆的方程化成标准方程为(x1)2(y1)21，其圆心为(1,1)，半径r得弦心距为. 设直线方程为y2k(x1)，即yk20，那么，化简得7k224k170，得k1或k.答案：1或例7圆x22xy230的圆心到直线xy30的间隔 为解析：圆心(1,0)，d1.答案：1例8圆心在原点且及直线xy20相切的圆的方程为解析：设圆的方程为x2y2a2(a0)a，a，x2y22.答案：x2y22例9圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，那么圆C的方程为圆C的方程为x2y2F0，那么解得圆C的方程为x2y24x60.答案(1)C(

6、2)x2y24x60例10 (1)及曲线C：x2y22x2y0相内切，同时又及直线l：y2x相切的半径最小的圆的半径是 (2)实数x，y满意(x2)2(y1)21那么2xy的最大值为，最小值为解析：(1)依题意，曲线C表示的是以点C(1，1)为圆心，为半径的圆，圆心C(1，1)到直线y2x即xy20的间隔 等于2，易知所求圆的半径等于.(2)令b2xy，那么b为直线2xyb在y轴上的截距的相反数，当直线2xyb及圆相切时，b获得最值由b5，所以2xy的最大值为5，最小值为5.答案：(1)(2)55例11x，y满意x2y21，那么的最小值为解析：表示圆上的点P(x，y)及点Q(1,2)连线的斜率

7、，所以的最小值是直线及圆相切时的斜率设直线的方程为y2k(x1)即y2k1得k，结合图形可知，故最小值为.答案：例12两点A(2,0)，B(0,2)，点C是圆x2y22x0上随意一点，那么面积的最小值是解析：xy20，圆心(1,0)到l的间隔 d，那么边上的高的最小值为1.故面积的最小值是23.答案：3例13平面直角坐标系中，直线截以原点O为圆心的圆所得的弦长为1求圆O的方程；2假设直线及圆O切于第一象限，且及坐标轴交于D，E，当长最小时，求直线的方程；3设M，P是圆O上随意两点，点M关于x轴的对称点为N，假设直线、分别交于x轴于点m，和n，问是否为定值？假设是，恳求出该定值；假设不是，请说明

8、理由 解： 因为点到直线的间隔 为， 所以圆的半径为， 故圆的方程为 设直线的方程为，即， 由直线及圆相切，得，即， ， 当且仅当时取等号，此时直线的方程为 设，那么， 直线及轴交点， 直线及轴交点， ， 故为定值2 例14圆x22=8内一点P1，2，过点P的直线l的倾斜角为，直线l交圆于A、B两点. 1当=时,求的长； 2当弦被点P平分时，求直线l的方程. 解:1当=时，1，直线的方程为y2=1，即xy1=0.故圆心0，0到的间隔 ，从而弦长2=. 2设Ax1，y1，Bx2，y2，那么x12=2，y12=4. 由 两式相减得x12x1x2+y12y1y2=0， 即2x1x2+4y1y2=0，

9、 . 直线l的方程为y2=x1，即x2y5=0.例15半径为5的动圆C的圆心在直线10=0上. (1)假设动圆C过点(5,0),求圆C的方程;(2)是否存在正实数r,使得动圆C中满意及圆222相外切的圆有且仅有一个，假设存在,恳求出来;假设不存在,请说明理由.解: (1)依题意,可设动圆C的方程为(xa)2+(yb)2=25,其中圆心()满意a10=0. 又动圆过点(5,0),(5a)2+(0b)2=25. 解方程组, 可得或, 故所求圆C的方程为(10)22=25或(5)2+(y5)2=25. (2)圆O的圆心(0,0)到直线l的间隔 5. 当r满意5d时，动圆C中不存在及圆O：x222相外

10、切的圆； 当r满意5d时，r每取一个数值，动圆C中存在两个圆及圆O：x222相外切； 当r满意5,即55时，动圆C中有且仅有1个圆及圆O：x222相外切.题目1自点作圆的切线，那么切线的方程为 2求及圆外切于点，且半径为的圆的方程.3假设点P在直线l1：xy30上，过点P的直线l2及曲线C：(x5)2y216相切于点M，那么的最小值 4设O为坐标原点，曲线x22+2x61=0上有两点P、Q，满意关于直线4=0对称，又满意=0.1求m的值；2求直线的方程.5圆C：x22244=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦，以为直径的圆经过原点，假设存在，写出直线l的方程；假设不存在，说明理由.6. 曲线C：x224220200.1证明：不管a取何实数，曲线C必过定点；2当a2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；3假设曲线C及x轴相切，求a的值.