新课标高三数学第一轮复习单元讲座第讲不等式解法及应用.docx

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1、一般高中课程标准试验教科书数学 人教版 高三新数学第一轮复习教案（讲座32）不等式解法及应用一课标要求：1不等关系通过详细情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景；2一元二次不等式经验从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；通过函数图像理解一元二次不等式与相应函数、方程的联络；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。3二元一次不等式组与简洁线性规划问题从实际情境中抽象出二元一次不等式组；理解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；从实际情境中抽象出一些简洁的二元线性规划问题，并能加以解决。二命题走向分析

2、近几年的高考试题，本将主要考察不等式的解法，综合题多以与其他章节（如函数、数列等）交汇。从题型上来看，多以比拟大小，解简洁不等式以及线性规划等，解答题主要考察含参数的不等式的求解以及它在函数、导数、数列中的应用。预料2007年高考的命题趋势：1结合指数、对数、三角函数的考察函数的性质，解不等式的试题常以填空题、解答题形式出现；2以当前经济、社会、生活为背景与不等式综合的应用题仍是高考的热点，主要考察考生阅读以及分析、解决问题的实力；3在函数、不等式、数列、解析几何、导数等学问网络的交汇点命题，特殊留意与函数、导数综合命题这一改变趋势；4对含参数的不等式，要加强分类探讨思想的复习，学会分析引起分

3、类探讨的缘由，合理分类，不重不漏。三要点精讲1不等式的解法解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等式的变形”，是探讨数学的根本手段之一。高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式学问占相当大的比例。（1）同解不等式（(1)与同解；（2）与同解，与同解；（3）与同解）；2一元一次不等式解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的根底，必需娴熟驾驭，敏捷应用。状况分别解之。3一元二次不等式或分及状况分别解之，还要留意的三种状况，即或或，最好联络二次函数的图象。4分式不等式分式不等式的等价变形：0f(x)g(x)0，0。5简洁的肯定值

4、不等式肯定值不等式适用范围较广，向量、复数的模、间隔 、极限的定义等都涉及到肯定值不等式。高考试题中，对肯定值不等式从多方面考察。解肯定值不等式的常用方法：探讨法：探讨肯定值中的式于大于零还是小于零，然后去掉肯定值符号，转化为一般不等式；等价变形：解肯定值不等式常用以下等价变形：|x|ax2a2ax0)，|x|ax2a2xa或x0)。一般地有：|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g (x)或f(x)0的解集为（ ）A.x|x3C.x|x3 D.x|1x0，x3.故原不等式的解集为x|x3。点评：简洁的分式不等式的解法是高中数学中常用到的求范围问题工具，分式不等式的解题思路是：分

5、式化整式（留意分母不为零）。题型2：简洁的肯定值、涉及指数、对数和三角的不等式的求解问题例3（1）（2002全国，3）不等式（1x）（1x）0的解集是（ ）Ax0x1 B.xx0且x1Cx1x1 D.xx1且x1（2）（1997全国，14）不等式组的解集是（ ）A.x0x2 B.x0x2.5C.x0x D.x0x3解析：（1）答案：D；解法一：x0时，原不等式化为：（1x）（1x）0，（x1）（x1）0，0x1。x0时，原不等式化为：（1x）（1x）0（1x）20，x1，x0且x1。综上，不等式的解集为x1且x1。解法二：原不等式化为： 或解得1x1，解得即x1，原不等式的解集为x1且x1。点

6、评：该题表达了对探讨不等式与不等式组的转化及去肯定值的根本方法的要求。（2）答案：C解法一：当x2时，原不等式化为，去分母得（x+2）（3x）（x+3）（x2），即x2x6x2x6，2x2120，。留意x2，得2x；当0x2时，原不等式化为，去分母得x2x6x2x6。即2x0 留意0x2，得0x2。综上得0x，所以选C。解法二：特殊值法.取x=2，合适不等式，解除A；取x=2.5，不合适不等式，解除D；再取x=，不合适不等式，所以解除B；选C。点评：此题考察不等式的解法、直觉思维实力、估算实力。例4（1）（1995全国理，16）不等式（）32x的解集是_。（2）（2002全国文5，理4）在（0

7、，2）内，使sinxcosx成立的x取值范围为（ ）A.（，）（，）B.（，）C.（，）D.（，）（，）（3）（06山东理，3）设f(x)= 则不等式f(x)2的解集为（ ）(A)（1，2）（3，+） (B)（，+）(C)（1，2） （ ，+） (D)（1，2）解析：（1）答案：x|2x4将不等式变形得则x282x，从而x22x80，（x2）（x4）0，2x4，所以不等式的解集是x|2x4评述：此题考察指数不等式的解法；（2）答案：C解法一：作出在（0，2）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标和，由图46可得C答案。图46 图47解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余

8、弦线知应选C.（如图47）。（3）C；点评：特殊不等式的求解，转化是一方面，借助于函数的性质和图象也是解决问题的有效手段。题型3：含参数的不等式的求解问题例5（1）设不等式x22ax+a+20的解集为M，假如M1，4，务实数a的取值范围？（2）解关于x的不等式1(a1)。分析：该题本质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联络是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗。解析：（1）M1，4有两种状况：其一是M=，此时0；其二是M，此时=0或0，分三种状况计算a的取值范围。设f(x)=x2 2ax+a+2，有=(2a)2(4a+2)=4(a2a2)当0时，1a2

9、，M=1，4；当=0时，a=1或2；当a=1时M=11，4；当a=2时，m=21，4。当0时，a1或a2。设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1x2，那么M=x1，x2，M1，41x1x24，即，解得2a，M1，4时，a的取值范围是(1，)。（2）原不等式可化为：0，当a1时，原不等式与(x)(x2)0同解。由于，原不等式的解为(，)(2，+)。 当a1时，原不等式与(x)(x2) 0同解。由于，若a0，解集为(，2)；若a=0时，解集为；若0a1，解集为(2，)。综上所述：当a1时解集为(，)(2，+)；当0a1时，解集为(2，)；当a=0时，解集为；当a0时，解集为(，2)。点评：考察

10、二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系。本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类探讨的数学思想。 M=是符合题设条件的状况之一，动身点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a的不等式要全面、合理，易出错。例6（1）（06重庆理，15）设a0,n1,函数f(x)=alg(x2-2n+1) 有最大值.则不等式logn(x2-5x+7) 0的解集为_ _；（2）（06重庆文，15）设，函数有最小值，则不等式的解集为 。解析：（1）由于函数有最大值，则。所以原不等式可转化为，又因为恒成立，由解得；（2）由于函数有最小值，故。原不等式化为，即。点评：含参

11、数指数、对数不等式的处理原则是转化为一般的不等式，兼顾究竟数的分类标准为两种状况，这也是分类的标准。题型4：线性规划问题例7（1）（06安徽，10）假如实数满意条件， 那么的最大值为（ ） A B C D（2）（06天津理，3）设变量、满意约束条件，则目的函数的最小值为（ ）A B C D解析：（1）当直线过点(0，-1)时，最大，故选B；（2）B点评：近年来线性规划的一些根本运算问题成为出题的热点，该局部学问大多都属于根底题目，属于中低档题目。例8（1）（06四川理，8）某厂消费甲产品每千克需用原料和原料分别为，消费乙产品每千克需用原料和原料分别为千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为元，月初

12、一次性够进本月用原料各千克，要支配本月消费甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额到达最大；在这个问题中，设全月消费甲、乙两种产品分别为千克，千克，月利润总额为元，那么，用于求使总利润最大的数学模型中，约束条件为（ ）（A） （B）（C） （D）（2）（06浙江理，3）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（ ）(A) (B) (C) (D)（3）（06北京理，13）已知点 P（x，y）的坐标满意条件点O为坐标原点，那么|PO |的最小值等于，最大值等于。解析：（1）约束条件为，选C；（2）A；（3）、。点评：线性规划的应用题也是高考的热点，诸如求面积、间隔 、参数取值的问题常常出

13、现。题型5：不等式的应用例9（06湖南理，20）对1个单位质量的含污物体进展清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：为，要求清洗完后的清洁度为。有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙: 分两次清洗。该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为。设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是，用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中是该物体初次清洗后的清洁度。()分别求出方案甲以刚好方案乙的用水量, 并比拟哪一种方案用水量较少；()若采纳方案乙，当为某固定值时，如何支配初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小 并探讨取不同数值时对最少总用水量多少的影响。解析：()设方案甲与方案乙的用水量分

14、别为x与z,由题设有=0.99,解得x=19。由得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y满意方程：解得y=4,故z=4+3.即两种方案的用水量分别为19与4+3。 因为当,故方案乙的用水量较少。（II）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似（I）得，（*），于是+， 当为定值时,，当且仅当时等号成立。此时 将代入（*）式得故时总用水量最少, 此时第一次与第二次用水量分别为：, 最少总用水量是.当，故T()是增函数(也可以用二次函数的单调性推断)。这说明，随着的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量。点评：通过实际情景建立函数关系式求解不等式问题成为高考的亮点，解题的关键是建立函数模型，

15、通过函数的性质特殊是单调性建立不等关系求得结果。例10（1998全国文24、理22）如图61，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽视不计）解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=，其中k0为比例系数，依题意，即所求的a、b值使y值最小。依据题设，有4b+2ab+2a=60（a0，b0），得b=（0a30，于是。当a+2=时取等号，y到达

16、最小值。这时a=6，a=10（舍去） 将a=6代入式得b=3，故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。解法二：依题意，即所求的a、b值使ab最大。由题设知4b+2ab+2a=60（a0，b0），即a+2b+ab=30（a0，b0）。a+2b2 2ab30，当且仅当a=2b时，上式取等号.由a0，b0，解得0ab18即当a=2b时，ab获得最大值，其最大值为18。2b218解得b=3，a=6。故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。点评：本题考察综合应用所学数学学问、思想和方法解决实际问题的实力，考察函数关系、不等式性质、最大值、最小值等根底学

17、问，考察利用均值不等式求最值的方法、阅读理解实力、建模实力。五思维总结1在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练与复习解不等式的过程是一个等价转化的过程，通过等价转化可简化不等式（组），以快速、精确求解。加强分类探讨思想的复习.在解不等式或证不等式的过程中，如含参数等问题，一般要对参数进展分类探讨.复习时，学生要学会分析引起分类探讨的缘由，合理的分类，做到不重不漏。加强函数与方程思想在不等式中的应用训练。不等式、函数、方程三者密不行分，互相联络、互相转化.如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法.在不等式的证明中，加强化归思想的复习，证不等式的过程是一个把已知条件向要

18、证结论的一个转化过程，既可考察学生的根底学问，又可考察学生分析问题和解决问题的实力，正因为证不等式是高考考察学生代数推理实力的重要素材，复习时应引起我们的足够重视。2强化不等式的应用突出不等式的学问在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考察学生的应用意识。高考中除单独考察不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中涉及不等式的学问，加强不等式应用实力，是进步解综合题实力的关键.因此，在复习时应加强这方面训练，进步应用意识，总结不等式的应用规律，才能进步解决问题的实力。如在实际问题应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，求最值时要留意等号成立的条件，避开不必要的错误。3突出重点综合考察在学问与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式又为探讨函数供应了重要的工具，不等式与函数既是学问的结合点，又是数学学问与数学方法的交汇点，因此在历年高考题中始终是重中之重。在全面考察函数与不等式根底学问的同时，将不等式的重点学问以及其他学问有机结合，进展综合考察，强调学问的综合和学问的内在联络，加大数学思想方法的考察力度，是高考对不等式考察的又一新特点。