高中数学教学设计大赛教学案例设计汇编.docx

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1、高中数学教学案例设计汇编（下 部）19、正弦定理（2） 一、教学内容分析本节内容支配在一般高中课程标准试验教科书数学必修5（人教A版）第一章，正弦定理第一课时，是在高二学生学习了三角等知识之后，明显是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延长，因而定理本身的应用又特别广泛。依据实际教学处理，正弦定理这部分内容共分为三个层次：第一层次老师通过引导学生对实际问题的探究，并大胆提出猜想；第二层次由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、“ 向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性，并得到三角形面

2、积公式；第三层次利用正弦定理解决引例，最终进行简单的应用。学生通过对随意三角形中正弦定理的探究、发觉和证明，感受“视察试验猜想证明应用”这一思维方法，养成大胆猜想、擅长思索的品质和勇于求真的精神。二、学情分析对普高高二的学生来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等知识，有确定视察分析、解决问题的实力，但对前后知识间的联系、理解、应用有确定难度，因此思维敏捷性受到制约。依据以上特点，老师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。三、设计思想：本节课采纳探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在老师的启发引导下，以学生独立

3、自主和合作沟通为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发觉和证明”为基本探究内容，为学生供应充分自由表达、质疑、探究、探讨问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中绽开思维，逐步培育学生发觉问题、探究问题、解决问题的实力和创建性思维的实力。四、教学目标：1让学生从已有的几何知识动身, 通过对随意三角形边角关系的探究，共同探究在随意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过视察，试验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，驾驭正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。2通过对实际问题

4、的探究，培育学生视察问题、提出问题、分析问题、解决问题的实力，增加学生的协作实力和沟通实力，发展学生的创新意识，培育创建性思维的实力。3通过学生自主探究、合作沟通，亲身体验数学规律的发觉，培育学生勇于探究、擅长发觉、不畏艰辛的创新品质，增加学习的胜利心理，激发学习数学的爱好。4培育学生合情合理探究数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。五、教学重点与难点教学重点：正弦定理的发觉与证明；正弦定理的简单应用。教学难点：正弦定理的猜想提出过程。教学打算：制作多媒体课件，学生打算计算器，直尺，量角器。六、教学过程：（一）

5、结合实例，激发动机师生活动：老师：展示情景图如图1，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为，船在港口C卸货后接着向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA距离，假如船上有测角仪我们能否计算出A、B的距离？学生：思索提出测量角A，C 老师：若已知测得， ，要计算A、B两地距离，你 （图1）有方法解决吗？学生：思索沟通，画一个三角形，使得为6cm， ，量得距离约为，利用三角形相像性质可知AB约为490m。老师：对，很好，在初中，我们学过相像三角形，也学过解直角三角形，大家还记得吗？师生：共同回忆解直角三角形，直角三角形中，已知两边，可以求第三边及两个角。直角三角形中，已知一边和一角，可以求另两边及

6、第三个角。老师：引导，是斜三角形，能否利用解直角三角形，精确计算AB呢？学生：思索，沟通，得出过作于如图2，把分为两个直角三角形，解题过程，学生阐述，老师板书。解：过作于（图2）在中，在中，老师：表示对学生赞许，那么刚才解决问题的过程中，若，能否用、表示呢？老师：引导学生再视察刚才解题过程。学生：发觉，老师：引导，在刚才的推理过程中，你能想到什么？你能发觉什么？学生：发觉即然有，那么也有，。老师：引导，我们习惯写成对称形式，因此我们可以发觉，是否随意三角形都有这种边角关系呢？设计意图：爱好是最好的老师。假如一节课有良好的开头，那就意味着胜利的一半。因此，我通过从学生日常生活中的实际问题引入，激

7、发学生思维，激发学生的求知欲，引导学生转化为解直角三角形的问题，在解决问题后，对特殊问题一般化，得出一个揣测性的结论猜想，培育学生从特殊到一般思想意识，培育学生创建性思维实力。（二）数学试验，验证猜想老师：给学生指明一个方向，我们先通过特殊例子检验是否成立，举出特例。（1）在ABC中，A，B，C分别为，对应的边长a：b：c为1：1：1，对应角的正弦值分别为，引导学生考察，的关系。（学生回答它们相等） （2）、在ABC中，A，B，C分别为，对应的边长a：b：c为1：1：，对应角的正弦值分别为，1；（学生回答它们相等） （3）、在ABC中，A，B，C分别为，对应的边长a：b：c为1：2，对应角的正

8、弦值分别为，1。（学生回答它们相等）（图3） （图3）老师：对于呢？BaACcb(图4)学生：思索沟通得出，如图4，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,则有，又,则从而在直角三角形ABC中，老师：那么随意三角形是否有呢？学生按事先支配分组，出示试验报告单，让学生阅读试验报告单，质疑提问：有什么不明白的地方或者有什么问题吗？（假如学生没有问题，老师让学生动手计算，附试验报告单。）学生：分组互动，每组画一个三角形，度量出三边和三个角度数值，通过试验数据计算，比较、的近似值。 老师：借助多媒体演示随着三角形随意变换，、值仍旧保持相等。我们猜想：=设计意图：让学生体验数学试验，激起学生的新

9、奇心和求知欲望。学生自己进行试验，体会到数学试验的归纳和演绎推理的两个侧面。（三）证明猜想，得出定理师生活动：老师：我们虽然经验了数学试验，多媒体技术支持，对随意的三角形，如何用数学的思想方法证明呢？前面探究过程对我们有没有启发？学生分组探讨，每组派一个代表总结。（以下证明过程，依据学生回答状况进行叙述）学生：思索得出在中，成立，如前面检验。在锐角三角形中，如图5设，作：，垂足为在中，（图5）在中，同理，在中， 在钝角三角形中，如图6设为钝角，作交的延长线于（图6）在中，在中，同锐角三角形证明可知 老师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即还有其它证明方

10、法吗？学生：思索得出，分析图形（图7），对于随意ABC，由初中所学过的面积公式可以得出：，而由图中可以看出：，=等式中均除以后可得， 即。老师边分析边引导学生，同时板书证明过程。(图7)ABCDEFbac（图7） 在刚才的证明过程中大家是否发觉三角形高，三角形的面积：，能否得到新面积公式学生：得到三角形面积公式老师：大家还有其他的证明方法吗？比如：、都等于同一个比值，那么它们也相等，这个究竟有没有什么特殊几何意义呢？（图8）学生：在前面的检验中，中，恰为外接接圆的直径，即，所以作的外接圆，为圆心，连接并延长交圆于，把一般三角形转化为直角三角形。证明：连续并延长交圆于， 在中，即同理可证：，老师

11、：从刚才的证明过程中, ，显示正弦定理的比值等于三角形外接圆的直径，我们通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”等平面几何方法证明正弦定理，能否利用其他知识来证明正弦定理？比如，在向量中，我也学过，这与边的长度和三角函数值有较为亲密的联系，是否能够利用向量积来证明正弦定理呢？学生：思索（联系作高的思想）得出：在锐角三角形中，作单位向量垂直于，（图9）即同理：对于钝角三角形，直角三角形的状况作简单交代。老师：由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有爱好的同学回家再探究。设计意图：经验证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程。（四）利用定理，解决

12、引例师生活动：老师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。学生：立刻得出在中，（五）了解解三角形概念设计意图：让学生了解解三角形概念，形成知识的完整性老师：一般地，把三角形的三个角、和它们的对边、叫做三角形的元素，已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。设计意图：利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知识，新的定理，解决问题更便利，更简单，激发学生不断探究新知识的欲望。（六）运用定理，解决例题师生活动：老师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。学生：探讨正弦定理可以解决的问题类型：假如已知三角形的随意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如；假如已知三角

13、形随意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如。师生：例1的处理，先让学生思索回答解题思路，老师板书，让学生思索主要是突出主体，老师板书的目的是规范解题步骤。例1：在中，已知，解三角形。分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为求出第三个角C，再由正弦定理求其他两边。例2：在中，已知，解三角形。例2的处理，目的是让学生驾驭分类探讨的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充沟通学生：反馈练习（教科书第5页的练习）用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。设计意图：自己解决问题，提高学生学习的热忱和动力，使学生体验到胜利的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我

14、要探讨”的主动学习。（七）尝试小结：老师：提示引导学生总结本节课的主要内容。学生：思索沟通，归纳总结。师生：让学生尝试小结，老师及时补充，要体现：（1）正弦定理的内容（）及其证明思想方法。（2）正弦定理的应用范围：已知三角形中两角及一边，求其他元素；已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。（3）分类探讨的数学思想。设计意图：通过学生的总结，培育学生的归纳总结实力和语言表达实力。（八）作业设计作业：第10页习题1.1A组第1、2题。思索题：例2：在中，已知，解三角形。例2中分别改为，并解三角形，视察解的状况并说明出现一解，两解，无解的缘由。课外链接：课后通过查阅相关书籍，上网搜寻，了解关

15、于正弦定理的发展及应用（相关网址：）七、设计思路：本节课，学生在不知正弦定理内容和证明方法的前提下，在老师预设的思路中，学生主动主动参与一个个相关联的探究活动过程，通过“视察试验归纳猜想证明”的数学思想方法发觉并证明定理，让学生经验了知识形成的过程，感受到创新的欢乐，激发学生学习数学的爱好。其次，以问题为导向设计教学情境，促使学生去思索问题，去发觉问题，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。1、 结合实例，激发动机数学源于现实，从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生学习的爱好，引导启发学生利用已有的知识解决新的问题，方法一通过相像三角形相像比相等进行计

16、算，方法二转化解直角三角形。让学在解决问题中发觉新知识，提出猜想，使学生在视察、试验、猜想、验证、推理等活动中，逐步形成创新意识。2、数学试验，验证猜想通过特例检验，让学生动手试验，提高了学生试验操作、分析思索和抽象概括的能，激发学生的新奇心和求知欲望，体会到数学试验的归纳和演绎推理的两个侧面。3、证明猜想，得出定理引导启发学生从角度进行证明定理，展示自己的知识，培育学生解决问题的实力，增加学习的爱好，爱好，在知识的形成、发展过程中绽开思维，培育推理的意识。附一：试验报告单组长:组员：试验目的探讨三角形中各边和它对角的正弦值的比(，)是否相等。试验器材计算器，直尺，量角器，硬纸板（由老师统一发

17、）试验方法画一个随意三角形，量取三边和三个角的值，并计算。试验内容三边：a= b= c= 三角：A= B= C= 计算：= = = （精确到小数点后两位）结论：福安一中 陈桢仔 林旭点评：本节定理教学课，老师把重点放在定理的发觉与证明上，符合新课标重视过程与方法的理念，克服了传统教学只留意结论的倾向。首先，利用解决一个可测量两角一对边，求另一对边的实际问题引入，在解决实际问题中，引导学生发觉“三角形三边与其对应角的正弦值的比相等”的规律；通过对特殊三角形的验证，大胆猜想对随意三角形成立；接着证明白这个定理。在课堂上展示了定理的发觉过程，使学生感受到创新的欢乐，激发学生学习数学的爱好，同时让学生

18、体验了“视察试验归纳猜想证明”的数学思想方法，经验了知识形成的过程，符合新课标重视过程与方法的理念。其次，在解决引例中的测量问题时利用用初中相像三角形知识、正弦定理的不同证法（转化为直角三角形、协助以三角形外接圆、向量）等，都体现了 “在已有知识体系的基础上去建构新的知识体系”的理念，加强了知识间的联系，培育了学生思维的敏捷性。定理证明的方法一、方法二，参透了分类 、转化的数学思想。但是，本节课的教学内容还是偏多，在时间安排上要有规划，突出重点，删繁就简；引入的例题要留意条件更加明确直接，以免产生歧义，冲淡主体，奢侈时间。总之，本节课有效地采纳了探究式教学，在老师的启发引导下，以学生独立自主和

19、合作沟通为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发觉和证明”为基本探究内容，为学生供应充分自由表达、质疑、探究、探讨问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，感受“视察试验猜想证明应用”等环节，教学过程流畅，在知识的形成、发展过程中绽开思维，逐步培育学生发觉问题、探究问题、解决问题的实力和创建性思维的实力。20、正弦定理（3）一、教学内容分析“正弦定理”是一般高中课程标准数学教科书数学（必修5）（人教版）第一章第一节的主要内容，它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是三角函数一般知识和平面对量等知识在三角形中的详细运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问

20、题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。为什么要探讨正弦定理？正弦定理是怎样发觉的？其证明方法是怎样想到的？还有别的证法吗？这些都是教材没有回答，而确实又是学生所关切的问题。本节课是“正弦定理”教学的第一课时，其主要任务是引入并证明正弦定理，在课型上属于“定理教学课”。因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生驾驭新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且通过对定理的探究，能使学生体验到数学发觉和创建的历程，进而培育学生提出问题、解决问题等探讨性学习的实力。二、学生学习状况分析学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，在必修4中，又学习了三角函数的基础知识和

21、平面对量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面对量已形成初步的知识框架，这不仅是学习正弦定理的认知基础，同时又是突破定理证明障碍的强有力的工具。正弦定理是关于随意三角形边角关系的重要定理之一，课程标准强调在教学中要重视定理的探究过程，并能运用它解决一些实际问题，可以使学生进一步了解数学在实际中的应用，从而激发学生学习数学的爱好，也为学习正弦定理供应一种亲和力与认同感。三、设计思想培育学生学会学习、学会探究是全面发展学生实力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。如何培育学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是被动汲取的，而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是：

22、知识不是通过老师传授得到的，而是学生在确定的情境中，运用已有的学习阅历，并通过与他人（在老师指导和学习伙伴的扶植下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，老师只对学生的意义建构起扶植和促进作用。本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。四、教学目标1、知识与技能：通过对随意三角形的边与其对角的关系的探究，驾驭正弦定理的内容及其证明方法。2、过程与方法：让学生从已有的知识动身,共同探究在随意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过视察、归纳、猜想、证明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，体验数学发觉和创建的历程。3、情感看法与价值观：在同等的教学氛围

23、中，通过学生之间、师生之间的沟通、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。五、教学重点与难点重点：正弦定理的发觉和推导难点：正弦定理的推导六、教学过程设计（一）设置情境利用投影展示：如图1，一条河的两岸平行，河宽。因上游暴发特大洪水，在洪峰到来之前，急需将码头A处囤积的重要物资及留守人员用船尽快转运到正对岸的码头B处或其下游的码头C处，请你确定转运方案。已知船在静水中的速度，水流速度。【设计意图】培育学生的“数学起源于生活，运用于生活”的思想意识，同时情境问题的图形及解题思路均为探讨正弦定理做铺垫。（二）提出问题师：为了确定转运方案，请同学们设身处地地考虑有关的问题，将各自的问题经小组（

24、前后4人为一小组）汇总整理后交给我。待各小组将问题交给老师后，老师筛选了几个问题通过投影向全班展示，经大家归纳整理后得到如下的五个问题：1、船应开往B处还是C处？2、船从A开到B、C分别须要多少时间？3、船从A到B、C的距离分别是多少？4、船从A到B、C时的速度大小分别是多少？5、船应向什么方向开，才能保证沿直线到达B、C？【设计意图】通过小组沟通，供应确定的探讨学习与情感沟通的时空，培育学生合作学习的实力；问题源于学生，突出学生学习的主体性，能激发学生学习的爱好；问题通过老师的筛选，确定探讨的方向，体现老师的主导作用。师：谁能帮大家讲解，应当怎样解决上述问题？大家经过探讨达成如下共识：要回答

25、问题1，须要解决问题2，要解决问题2，须要先解决问题3和4，问题3用直角三角形知识可解，所以重点是解决问题4，问题4与问题5是两个相关问题。因此，解决上述问题的关键是解决问题4和5。师：请同学们依据平行四边形法则，先在练习本上做出与问题对应的示意图，明确已知什么，要求什么，怎样求解。生1：船从A开往B的状况如图2，依据平行四边形的性质及解直角三角形的知识，可求得船在河水中的速度大小及与的夹角：， 用计算器可求得船从A开往C的状况如图3，易求得，还需求及，我还不知道怎样解这两个问题。师：请大家思索，这两个问题的数学实质是什么？部分学生：在三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边

26、。【设计意图】将问题数学化，有助于加深学生对问题的理解，有助于培育学生的数学意识。师：请大家探讨一下，如何解决这两个问题？生3：不知道。师：图2的情形大家都会解，但图3的情形却有困难，那么图2与图3有何异同点？生4：图2和图3的情形都是已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。但图2中是直角三角形，而图3中不是直角三角形，不能象在直角三角形中可直接利用边角的关系求解。师：图3的情形能否转化成直角三角形来解呢？【设计意图】通过老师的问题引导，启发学生将问题进行转化，培育学生的化归思想，同时为下一步用特例作为突破口来探讨正弦定理以及用作高的方法来证明正弦定理做好铺垫。生5：能，过点

27、D作于点G（如图4）， ，师：很好！实行分割的方法，将一般三角形化为两个直角三角形求解。但在生活中有很多三角形不是直角三角形，假如每个三角形都划分为直角三角形求解，很不便。能不能象直角三角形一样直接利用边角关系求解呢？三角形中，随意两边与其对角之间有怎样的数量关系？【设计意图】通过老师对学生的确定评价，创建一个教与学的和谐环境，既激发学生的学习爱好，使紧接着的问题能更好地得到学生的认同，又有利于学生和老师的共同成长。（三）解决问题1、正弦定理的引入师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？众学生：先从特殊事例入手，寻求答案或发觉解法。可以以直角三角形为特例，先在直角三角形中

28、摸索一下。师：假如一般三角形具有某种边角关系，对于特殊的三角形直角三角形也是成立的，因此我们先探讨特例，请同学们对直角三角形进行探讨，找寻一般三角形的各边及其对角之间有何关系？同学们可以参与小组共同探讨。（1）学生以小组为单位进行探讨；老师视察学生的探讨进展状况或参与学生的探讨。（2）展示学生探讨的结果。【设计意图】老师参与学生之间的探讨，增进师生之间的思维与情感的沟通，并通过老师的指导与视察，及时驾驭学生探讨的状况，为展示学生的探讨结论做打算；同时通过展示探讨结论，强化学生学习的动机，增进学生的胜利感及学习的信念。师：请说出你探讨的结论？生7：师：你是怎样想出来的？生7：因为在直角三角形中，

29、它们的比值都等于斜边。师：有没有其它的探讨结论？（依据实际状况，引导学生进行分析推断结论正确与否，或留课后进一步深化探讨。）师：对一般三角形是否成立呢？众学生：不确定，可以先用详细例子检验，若有一个不成立，则否定结论：若都成立，则说明这个结论很可能成立，再想方法进行严格的证明。师：这是个好办法。那么对等边三角形是否成立呢？生9：成立。师：对随意三角形是否成立，现在让我们借助于几何画板做一个数学试验，【设计意图】引导学生的思维逐步形成“情境思索”“提出问题”“探讨特例”“归纳猜想”“试验探究”“理论探究”“解决问题”的思维方式，进而形成解决问题的实力。2、正弦定理的探究（1）试验探究正弦定理师：

30、借助于电脑与多媒体，利用几何画板软件，演示正弦定理教学课件。边演示边引导学生视察三角形形态的变化与三个比值的变化状况。结论：对于随意三角形都成立。【设计意图】通过几何画板软件的演示，使学生对结论的相识从感性逐步上升到理性。师：利用上述结论解决情境问题中图3的情形，并检验与生5的计算结果是否一样。生10：（通过计算）与生5的结果相同。师：假如上述结论成立，则在三角形中利用该结论解决“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。”的问题就简单多了。【设计意图】与情境设置中的问题相呼应，间接给出了正弦定理的简单应用，并强化学生学习探究、应用正弦定理的心理需求。（2）点明课题：正弦定理（3）正弦

31、定理的理论探究师：既然是定理，则须要证明，请同学们与小组共同探究正弦定理的证明。探究方案：直角三角形已验证；锐角三角形课堂探究；钝角三角形课后证明。【设计意图】通过分析，确定探究方案。课堂只让学生探究锐角三角形的情形，有助于在不影响探究进程的同时，为探究锐角三角形的情形腾出更多的时间。钝角三角形的情形以课后证明的形式，可使学生巩固课堂的成果。师：请你（生11）到讲台上，讲讲你的证明思路？生11：（走上讲台），设法将问题转化成直角三角形中的问题进行解决。通过作三角形的高，与生5的方法一样，如图5作BC边上的高AD，则，所以，同理可得师：因为要证明的是一个等式，所以应从锐角三角形的条件动身，构造等

32、量关系从而达到证明的目的。留意： 表示的几何意义是三角形同一边上的高不变。这是一个简捷的证明方法！【设计意图】点明此证法的实质是找到一个可以作为证明基础的等量关系，为后续两种方法的提出做铺垫，同时适时对学生作出合情的评价。师：在三角形中还有哪些可以作为证明基础的等量关系呢？学生七嘴八舌地说出一些等量关系，经探讨后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能有利用价值：三角形的面积不变；三角形外接圆直径不变。在老师的建议下，学生分别利用这两种关系作为基础又得出了如下两种证法：证法二：如图6，设AD、BE、CF分别是的三条高。则有，。证法三：如图7，设是外接圆的直径，则，同理可证：【设计意图】在证明

33、正弦定理的同时，将两边及其夹角的三角形面积公式及一并牵出，使知识的产生自然合理。师：前面我们学习了平面对量，能否运用向量的方法证明呢？师：随意中，三个向量、间有什么关系？生12：师：正弦定理体现的是三角形中边角间的数量关系，由转化成数量关系？生13：利用向量的数量积运算可将向量关系转化成数量关系。师：在两边同乘以向量,有,这里的向量可否随意？又如何选择向量生14：因为两个垂直向量的数量积为0，可考虑让向量与三个向量中的一个向量（如向量）垂直，而且使三个项的关系式转化成两个项的关系式。师：还是先探讨锐角三角形的情形，按以上思路，请大家详细试一下，看还有什么问题？老师参与学生的小组探讨，同时引导学

34、生留意两个向量的夹角，最终让学生通过小组代表作完成了如下证明。证法四：如图8，设非零向量与向量垂直。因为，所以即所以，同理可得师：能否简化证法四的过程？（留有确定的时间给学生思索）师：有什么几何意义？生15：把移项可得，由向量数量积的几何意义可知与在方向上的投影相等。生16：我还有一种证法师：请你到讲台来给大家讲一讲。（学生16上台板书自己的证明方法。）证法五：如图9，作，则与在方向上的投影相等,即 故，同理可得 师：利用向量在边上的高上的射影相等，证明白正弦定理，方法特别简捷明白！【设计意图】利用向量法来证明几何问题，学生相对比较生疏，不简单立刻想出来，老师通过设计一些递进式的问题赐予适当的

35、启发引导，将很难想到的方法合理分解，有利于学生理解接受。（四）小结师：本节课我们是从实际问题动身，通过猜想、试验，归纳等思维方法，最终发觉了正弦定理，并从不同的角度证明白它。本节课，我们探讨问题的突出特点是从特殊到一般，利用了几何画板进行数学试验。我们不仅收获着结论，而且整个探究过程我们也驾驭了探讨问题的一般方法。（五）作业1、回顾本节课的整个探讨过程，体会知识的发生过程；2、思索：证法五与证法一有何联系？3、思索：能否借助向量的坐标的方法证明正弦定理？4、当三角形为钝角三角形时，证明正弦定理。【设计意图】为保证学生有足够的时间来完成视察、归纳、猜想、探究和证明，小结的时间花得少且比较简单，这

36、将在下一节课进行完善，因此作业的布置也为下节课做一些必要的打算。七、教学反思为了使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发觉者”和“创建者”，使教学过程成为学生主动获得知识、发展实力、体验数学的过程。我想到了“情境问题”教学模式，即构建一个以情境为基础，提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境问题”学习链，并依据上述精神，结合教学内容，详细做出了如下设计：创设一个现实问题情境作为提出问题的背景（注：该情境源于一般高中课程标准数学教科书数学（必修4）（人教版）第二章习题 B组第二题，我将其加工成一个具有实际意义的决策型问题）；启发、引导学生提出自己关切的现实问题，逐步将现实问题转化

37、、抽象成过渡性数学问题，解决过渡性问题4与5时须要运用正弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探究解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，将过渡性问题引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和一边的对角，求另一边的对角及第三边。解决这两个问题须要先回答目标问题：在三角形中，两边与它们的对角之间有怎样的关系？为了解决提出的目标问题，引导学生回到他们所熟识的直角三角形中，得出目标问题在直角三角形中的解，从而形成猜想，然后运用几何画板对猜想进行验证，进而引导学生对猜想进行严格的逻辑证明。总之，整个过程让学生通过自主探究、合作沟通，亲身经验了“情境思索”“提

38、出问题”“探讨特例”“归纳猜想”“试验探究”“理论探究”“解决问题”“反思总结”的历程，使学生成为正弦定理的“发觉者”和“创建者”，切身感受了创建的苦和乐，从而使三维教学目标得以实现。大田一中 陈永民点评：本节课是典型合作探究课，老师先设计一个实际问题引导学生探讨问题解决方案，将方案数学化，归纳出一类数学问题“在三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边”，顺当地引入新课，实现了从“现象”到“本质”的飞跃，培育了学生提出问题、分析问题、数学建模的实力。为寻求解决问题的普遍方法，对三角形的边角关系进行探究，在特殊状况（直角三角形）下得到正弦定理，又在等边三角形和一般三角形中验证，

39、坚决了结论成立的猜想，最终通过严格证明，得到了正弦定理，再返回到前面的引例中，利用正弦定理问题迎仞而解。从而使学生亲身经验了“情境思索”“提出问题”“探讨特例”“归纳猜想”“试验探究”“理论探究”“解决问题”“反思总结”的历程，学会探讨数学问题的方法，学生成为正弦定理的“发觉者”和“创建者”，切身感受了创建的苦和乐。在对详细的一般三角形验证成立的过程中，利用几何画板软件，不断变换三角形，视察上式成立，提高了效率，现代教化技术的运用恰到好处。21、余 弦 定 理一、教学内容分析人教版一般高中课程标准试验教科书必修（五）（第2版）第一章解三角形第一单元第二课余弦定理。通过利用向量的数量积方法推导余

40、弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。二、学生学习状况分析本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的相识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有确定的学习基础和学习爱好。总体上学生应用数学知识的意识不强，创建力较弱，看待与分析问题不深化，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有确定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生酷爱数学的思想感情；从详细问题中抽象出数学的

41、本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。三、设计思想新课程的数学提倡学生动手实践，自主探究，合作沟通，深刻地理解基本结论的本质，体验数学发觉和创建的历程，力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思索，作出推断；同时要求老师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维实力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。四、教学目标接着探究三角形的边长与角度间的详细量化关系、驾驭余弦定理的两种表现形式，体会向

42、量方法推导余弦定理的思想；通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题；深化与细化方程思想，理解余弦定理的本质。通过相关教学知识的联系性，理解事物间的普遍联系性。五、教学重点与难点教学重点是余弦定理的发觉过程及定理的应用；教学难点是用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。六、教学过程：教学环节合作探究活动学情分析与设计意图知识回顾1、一般三角形全等的四种推断方法是什么？2、三角形的正弦定理内容，主要解决哪几类问题的三角形？回顾旧知，防止遗忘创设引入你能推断下列三角形的类型吗？1、以3，4，5为各边长的三角形是_三角形以2，3，4为各边长的三角形

43、是_三角形以4，5，6为各边长的三角形是_三角形2、在ABC中a8，b5，c60，你能求c边长吗？引导学生从平面几何、实践作图方面进行估计推断。学生可能比较茫然，扶植学生分析相关内容，从多角度看待问题，用实践进行检验。提出问题你能够有更好的详细的量化方法吗？扶植学生从平面几何、三角函数、向量知识、坐标法等方面进行分析探讨，选择简洁的处理工具，引发学生的主动探讨。引导学生从相关知识入手，选择简洁的工具。合作探究ABC利用向量法推导余弦定理：如图：设，由三角形法则有同理，让学生利用相同方法推导，学生对向量知识可能遗忘，留意复习；在利用数量积时，角度可能出现错误，出现不同的表示形式，让学生从错误中发

44、觉问题，巩固向量知识，明确向量工具的作用。同时，让学生明确数学中的转化思想：化未知为已知。归纳概括余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。知识归纳比较，发觉特征，加强识记结构分析视察余弦定理，指明白三边长与其中一角的详细关系，并发觉a与A，b与B，C与c之间的对应表述，同时发觉三边长的平方在余弦定理中同时出现使学生明确对应关系，树立方程思想，解决“边、角、边”问题知识联系余弦定理的推论：解决“边、边、边”问题方法应用怎样精确地解答引入中的两个问题？怎样利用已知条件推断三角形的形态？用精确的量化关系去解决问题，用边长去推断三角形形态，勾股定理是余

45、弦定理特例。知识应用例1：在ABC中，已知b60cm，c34cm，A41，求解三角形（角度精确到1，边长精确到1cm）例2：在ABC中，已知a，b，c，解三角形（角度精确到1）应用数学知识求解问题加强计算器的运算功能，同时，巩固好正弦定理，余弦定理知识，发觉两种知识方法在解三角形中的综合应用。知识深化例3：已知ABC中求c边长分析：（1）用正弦定理分析引导（2）应用余弦定理构造关于C的方程求解。（3）比较两种方法的利弊。能用正弦定理解决的问题均可以用余弦定理解决，更具有优越性。接着深化正弦、余弦定理，尤其是余弦定理的方程思想求解问题优越于余弦定理。并让学生初步发觉“边、边、角”问题解法，为下节学习辅垫。练习检测1、某人站