相似三角形的判定 教案.docx

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1、27.2.1 相像三角形的断定学习目的、重点、难点【学习目的】 1驾驭两个三角形相像的断定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相像）相像三角形的定义，和三角形相像的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相像）2驾驭“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相像”的断定方法；驾驭“两角对应相等，两个三角形相像”的断定方法3会运用“两个三角形相像的断定条件”和“三角形相像的预备定理”解决简洁的问题【重点难点】 1相像三角形的定义与三角形相像的预备定理2运用三角形相像的条件解决简洁的问题学问概览图定义及表示方法两个三角形的三组对应边的比相等相

2、像三角形相像三角形的断定两个三角形的两组对应边的比相等，并且它们的夹角相等两个三角形有两对对应角相等相像三角形的性质：对应角相等，对应边的比相等新课导引 【生活链接】 小明为了迎接世界中学生数学大会的召开，制作了一个如右图所示形态的花束，三边长分别是35 cm，40 cm，50 cm，小丽也想制作一个这样形态的花束，但她手中只有一根长100 cm的木条，她应当怎么制作呢 【问题探究】 假如两个多边形满意对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相像，但是定义中条件较多，过于苛刻，你能削减定义中的条件来推断两个三角形相像吗 教材精华学问点1 相像三角形 相像三角形是形态一样的三角形，它们的对应

3、角都相等，对应边的比都相等如图2710所示，ABC与DEF的形态一样，大小不同，这两个三角形相像，所以AD，BE，CF， 拓展 相像三角形的定义既是最根本的断定方法，也是最重要的性质学问点2 相像三角形的表示方法ABC与DEF相像，可以写成ABCDEF，也可以写成DEFABC，读作“ABC相像于DEF”或“DEF相像于ABC”拓展 用“”这个符号表示两个图形相像时，对应的顶点应当写在对应的位置上，如图2710所示，表示ABC与DEF相像，A的对应角是D，B的对应角是E，C的对应角是F，即ABCDEF，而不要写成ABCEFD，假如把ABC写成BAC，那么就应当记作BACEDF，这样做的目的是为了

4、指明对应角、对应边学问点3 三角形的相像比 两个三角形相像，对应边的比叫做相像比 例如:若ABCDEF，则设比值为k，于是k，即ABC与DEF的相像比为k拓展 这时DEF与ABC的相像比为若BC6，EF8，则ABC与DEF的相像比为，DEF与ABC的相像比为.探究沟通 假如两个三角形的相像比k1，那么这两个三角形有怎样的关系点拨 当两个三角形相像，且相像比为1时，这两个三角形全等，也就是说，这两个三角形的对应角都相等，对应边都相等，这两个三角形可以重合三角形全等是三角形相像的特例学问点4 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等把这个定理应用到三角形中，可以得到：平行

5、于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段的比相等学问点5 相像三角形的断定定理 断定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相像 如图2711所示，在ABC中，过AB上一点D作DEBC交AC于点E，求证ADEABC 证明：DEBC，ADEABC，AEDACB 连接DC，BE，SEBCSDBC，SABESACD 同高的两个三角形面积的比等于底边的比，. 如图2712所示，过点D作DFAC交BC于点F易证又BDABAD，BFBCFCBCDE， ，即 . 又AA，ADEABC，AEDACB， ADEABC 断定定理2：假如两个三角形的三组对应边的比

6、相等，那么这两个三角形相像 如图2713所示，在ABC和ABC中，求证ABCABC 证明：在线段AB(或它的延长线)上截取ADAB， 过点D作DEBC交AC于点E， ADEABC， . 又，AD=AB， .AE=AC，同理DE=BC， ADEABC(SSS)，ABCABC 例如：在ABC与ABC中，AB4 cm，BC6 cm，AC8 cm，AB12 cm，BC18 cm，AC24 cm，此时，ABCABC 书写格式：在ABC与ABC中，ABCABC 断定定理3：假如两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相像如图2714所示 书写格式：在ABC与ABC中，AA，AB

7、CABC 断定定理4：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相像 如图2715所示，在ABC与ABC中，AA，BB，求证ABCABC 证明：在ABC的边AB上截取ADAB， 过点D作DEBC交AC于点E， ADEABC，且ADEABC， ABCABC书写格式：在ABC与ABC中，AA，BB，ABCABC规律方法小结 断定三角形相像的方法主要有以下几种：(1)定义；(2)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相像；(3)假如两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相像；(4)假如两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那

8、么这两个三角形相像；(5)假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相像；(6)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形都与原三角形相像(此学问常用，但有时须要证明)；(7)若两个直角三角形满意一个锐角对应相等，或两组直角边的比相等，则这两个直角三角形相像学问点6 相像三角形的性质相像三角形对应角相等，对应边的比相等拓展 相像三角形的性质可用于有关角的计算、线段的计算以及三角形的周长和面积的计算等，还可以用于证明两角相等、两条线段相等规律方法小结 运用转化思想把要求证的线段间的关系逐步转化为易证的线段间的关系，即由未知向已知转化当两个三角形相像，但又没有指明对应的

9、状况时，应进展分类探讨 课堂检测根本概念题 1、全部的直角三角形都相像吗全部的等腰直角三角形呢为什么 2、依据下列条件断定ABC与ABC是否相像，并说明理由 (1)A120，AB7 cm，AC14 cm，A120，AB3 cm，AC6 cm； (2)AB4 cm，BC6 cm，AC8 cm，AB12 cm，BC18 cm，AC21 cm根底学问应用题3、如图2717所示，依据下列状况写出各组相像三角形的对应边的比例式 (1)ABCADE，其中DEBC； (2)OABOAB，其中ABAB； (3)ABCADE，其中ADEB. 4、如图2718所示，已知ABCDEF，那么下列结论正确的是 ( )A

10、 B C D 5、如图2719所示，ABDACE，求证ABCADE 6、如图2720所示，在不等边三角形ABC中，P是AB边上一点，过点P作一条直线，使截得的三角形与ABC相像，则满意条件的直线一共有多少条请画出图形 7、如图2722所示，在RtABC中，C90，ABC中有一个内接正方形DEFC，连接AF交DE于G，AC15，BC10，求GE的长综合应用题 8、如图2723所示，从ABCD的顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E，F，求证ABAE+ADAFAC2 9、如图2724所示，小明为了测量一楼房MN的高度，在离N点20 m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正

11、好从镜子中看到楼顶M点，若AC1.5 m，小明的眼睛离地面的高度为16 m，请你扶植小明计算一下楼房的高度(结果保存小数点后一位)探究与创新题 10、如图2725所示，在直角梯形ABCD中，D90，AD7，AB2，DC3，P为AD上一点，以P，A，B为顶点的三角形与以P，D，C为顶点的三角形相像，那么这样的点P一共有多少个为什么 体验中考 1、如图2728所示，已知ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点动身，分别沿AB，BC匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停顿运动，设运动时间为t s，解答下列问题

12、(1)当t2时，推断BPQ的形态，并说明理由； (2)设BPQ的面积为S cm2，求S与t的函数关系式； (3)作QRBA交AC于点P，连接PR，当t为何值时，APRPRQ 2、如图2729所示，在ABCD中，E在DC上，若DE:EC1:2，则BF:BE= . 学后反思附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 由相像三角形的定义可知，全部的直角三角形不都相像，而全部的等腰直角三角形都相像 解：全部的直角三角形不都相像如图2716所示的两个直角三角形中的两个锐角明显不相等，因此这两个直角三角形不相像全部的等腰直角三角形都相像因为随意一个等腰直角三角形的三个内角分别为45，45，90，三条边的

13、比为1：1：，因此全部的等腰直角三角形都相像【解题策略】 全部的直角三角形中不满意对应角都相等，因此全部的直角三角形不都相像2、分析 依据推断两个三角形相像的断定定理3与断定定理2来断定 解：(1),， 又AA，ABCABC (2) , ,. 即ABC与ABC的三组对应边的比不相等，所以它们不相像 【解题策略】 此类题主要考察相像三角形的断定定理3、分析 要写出比例式，关键应明确哪些边是对应边，而要找到对应边，比拟好的方法是找到对应角(或对应的顶点)以(2)为例，由于ABAB，AA，BB，AOBAOB，因此点A与点A是对应点，点B与点B是对应点，另一个公共点O是两个三角形的对应点解：(1) (

14、2) . (3) 【解题策略】 两个三角形相像，在找对应角和对应边时应依据对应字母来找4、分析 如图2718所示，把直线AD向右平移，且使点A与点B重合简洁证明：ADBD，DFDF，由比例线段的特点知故选A5、分析 由于ABDACE，所以BADCAE，所以BACDAE又，所以问题得证 证明：ABDACE，BADCAE， BAD+DACCAE+DAC， 即BACDAE 又ABDACE， 即，ABCADE 【解题策略】 解决此类问题的关键是娴熟驾驭相像三角形的断定方法6、分析 可利用“假如一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相像”和“平行于三角形一边的直线和其他两边相

15、交，所构成的三角形与原三角形相像”来画直线，故过点P分别作BC，AC的平行线，或过点P作与C相等的角，从而得到相像三角形解：满意条件的直线一共有四条，如图2721所示【解题策略】 本题考察相像三角形的识别方法，通过构造“两角对应相等”使两个三角形相像7、分析 依据相像三角形的断定方法和性质列出比例式，从而求得GE的长 解：在RtABC中，C90，正方形DEFC为其内接正方形， ADEACB，AGEAFB， . 设正方形DEFC的边长为x，则，x=6AGEAFB，. 又,，即，GE=. 【解题策略】 利用比例式求线段的长度是求线段的一种重要方法，主要是依据相像的关系列出比例式，再由比例式列出方程

16、，从而通过解方程求得线段的长8、分析 等式左边的两项均为两条线段之积，而右边为AC2，故应设法将AC2拆成两条线段乘积的形式，由图中可知AC2AC(AG+GC)ACAG+ACGC，从而只需证ACAG和ACGC与所证等式的左端两项分别相等即可 证明：过B作BGAC于G， BGACEA90，33， ABGACE， ACAGABAE 又BCAD，CFAF， 12，CGBAFC90， CBGACF， ACCGCBAF 由+得AC(AG+CG)ABAE+CBAF 又CBAD，ABAE+ADAFAC2【解题策略】 一般地，要证形如abcd+ef的线段关系，经常在a(或b)上取一点P，使ab转化为两项9、分

17、析 依据物理学中的反射定律可知：光线的反射角等于入射角，即BAPMAP，从而BACMAN，这样就可以得到MNABCA，再利用相像三角形的性质即可求出MN 解：BCCA，MNAN，BCAMNA90， 又BAPMAP，BACMAN， BCAMNA，MN:BCAN:AC， 即MN：1.6=20:1.5，MN=213(m)， 楼房的高度约为213 m 【解题策略】 利用相像三角形的对应边成比例，列出比例式求线段的长是常用的方法10、分析 PAB与PDC中各有一个直角，两边对应成比例，所以应分两种状况进展探讨，即APBDPC和APBPCD，分别求解即可 解：设APx，则PD7x 当PABPDC，即AD9

18、0，APBDPC时， ,x. 当PABCDP，即AD=90，APBDCP时， ，x1=1，x2=6 因此AP的值有三个，也就是这样的点P一共有三个【解题策略】 本题中PAB与PDC相像，由于没有指明两个三角形的对应点(除点A和点D外)，所以要分类探讨体验中考1、分析 (1)B60，只要推断出BQ与BP的关系即可(2)用含t的代数式分别表示BP和BP边上的高，因此需过点Q作BP边上的高；(3)找出访APRPRQ成立的条件即可 解：(1)BPQ是等边三角形，理由如下： 当t2时，AP212，BQ224， BPABAP624 BQBP 又B60， BPQ是等边三角形 (2)过点Q作QEAB，垂足为点

19、E 由QB2t，得QE2tsin 60t 由APt，得PB6t SBPQBPQE(6t)tt2+3t (3)QRBA， QRCA60，RQCB60 又C60， QRC是等边三角形， QRRCQC62t. BEBQcos 602tt， EPABAPBE6tt62t. EPQR， 又EPQR，四边形EPRQ是平行四边形， PREQt 又PEQ90，APRPRQ90 APRPRQ，QPRA60 tan 60=，即=，解得t= 当ts时，APRPRQ.【解题策略】 分析动点问题时，要抓住动点的起点、运动方向、速度、时间、间隔 等要素2、分析 DE:EC1:2，设DEx，则EC2x，AB3x由ABFCEF，得BF:BE3:5故填3:5