高中数学高考三角函数重点题型解析及常见试题答案.docx

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1、 三角函数的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面对量的根本问题及其应用题型1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题例1 若是三角形的最小内角，则函数的最大值是（）A B CD分析：三角形的最小内角是不大于的，而，换元解决解析：由，令而，得又，得，得，有选择答案D点评：涉及到及的问题时，通常用换元解决解法二：，当时，选D。例2已知函数，且 （1）务实数，的值；（2）求函数的最大值及获得最

2、大值时的值分析：待定系数求，；然后用倍角公式和降幂公式转化问题解析：函数可化为 （1）由，可得，所以， （2），故当即时，函数获得最大值为点评：结论是三角函数中的一个重要公式，它在解决三角函数的图象、单调性、最值、周期以及化简求值恒等式的证明中有着广泛应用，是实现转化的工具，是联络三角函数问题间的一条纽带，是三角函数局部高考命题的重点内容题型2 三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反响了三角函数的性质，始终是高考所重点考察的问题之一例3（2009年福建省理科数学高考样卷第8题）为得到函数的图象，只需将函数的图象A向左平移个长度单位B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位D向右平移个长度单位分

3、析：先统一函数名称，在依据平移的法则解决解析：函数，故要将函数的图象向左平移个长度单位，选择答案A例4 （2008高考江西文10）函数在区间内的图象是20090318分析：分段去肯定值后，结合选择支分析推断解析：函数结合选择支和一些特殊点，选择答案D点评：本题综合考察三角函数的图象和性质，当不留意正切函数的定义域或是函数分段不精确时，就会解错这个题目题型3 用三角恒等变换求值：其主要方法是通过和及差的，二倍角的三角变换公式解决例5 （2008高考山东卷理5）已知，则的值是ABCD 分析：所求的，将已知条件分拆整合后解决解析：C ，所以点评：本题考察两角和及差的正余弦、诱导公式等三角函数的学问，

4、考察分拆及整合的数 学思想和运算实力解题的关键是对的分拆及整合例6（2008高考浙江理8）若则=A B C D分析：可以结合已知和求解多方位地找寻解题的思路方法一：，其中，即，再由知道，所以，所以 方法二：将已知式两端平方得方法三：令，和已知式平方相加得，故，即，故方法四：我们可以认为点在直线上，而点又在单位圆上，解方程组可得，从而这个解法和用方程组求解本质上是一样的 方法五：只能是第三象限角，解除CD，这时干脆从选择支入手验证，由于计算费事，我们假定，不难由同角三角函数关系求出，检验符合已知条件，故选B点评：本题考察利用三角恒等变换求值的实力，试题的根源是考生所常见的“已知，求的值（人教A版

5、必修4第三章复习题B组最终一题第一问）”之类的题目 ，背景是熟识的，但要解决这个问题还须要考生具有相当的学问迁移实力题型4 正余弦定理的实际应用：这类问题通常是有实际背景的应用问题，主要表如今航海和测量上，解决的主要方法是利用正余弦定理建立数学模型例7（2008高考湖南理19）在一个特定时段内，以点为中心的海里以内海疆被设为戒备水域点正北海里处有一个雷达观测站某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东且及点相距海里的位置，经过分钟又测得该船已行驶到点北偏东 (其中，)且及点相距海里的位置 （1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（2）若该船不变更航行方向接着行驶推断它是否会进入戒备水域，

6、并说明理由分析：依据方位角画出图形，如图第一问事实上就是求的长，在中用余弦定理即可解决；第二问本质上求是求点到直线的间隔 ，即可以用平面解析几何的方法，也可以通过解三角形解决解析：（1）如图， ， ，由于，所以由余弦定理得所以船的行驶速度为（海里/小时）（2）方法一 ： 如上面的图所示，以为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标分别是，及轴的交点为由题设有， ，所以过点的直线的斜率，直线的方程为又点到直线的间隔 ，所以船会进入戒备水域解法二： 如图所示，设直线及的延长线相交于点在中，由余弦定理得，=从而在中，由正弦定理得，由于，所以点位于点和点之间，且过点作于点，则为点到直线的间隔 在中，所以船会

7、进入戒备水域点评：本题以教材上所常用的航海问题为背景，考察利用正余弦定理解决实际问题的实力，解决问题的关键是依据坐标方位画出正确的解题图 本题简单出现两个方面的错误，一是对方位角的相识模糊，画图错误；二是由于运算相对繁琐，在运算上出错题型5 三角函数及平面对量的结合：三角函数及平面对量的关系最为亲密，这二者的结合有的是利用平面对量去解决三角函数问题，有的是利用三角函数去解决平面对量问题，更多的时候是平面对量只起衬托作用，三角函数的根本问题才是考察的重点例8（2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第18题）已知向量，（），令，且的周期为(1) 求的值；(2)写出在上的单调递增区间分析：依

8、据平面对量数量积的计算公式将函数的解析式求出来，再依据的周期为就可以详细确定这个函数的解析式，下面只要依据三角函数的有关学问解决即可解析：(1) ，的周期为 ， ， (2) 由于，当（）时，单增， 即（），在上的单调递增区间为点评：本题以平面对量的数量积的坐标运算为入口，但本质上是考察的三角函数的性质，这是近年来高考命题的一个热点例9 （2009江苏泰州期末15题）已知向量，且 （1）求的值；（2）求的值分析：依据两个平面对量垂直的条件将问题转化为一个三角函数的等式，通过这个等式探究第一问的答案，第一问解决后，借助于这个结果解决第二问解析：（1），而，故，由于，解得，或，故（舍去）（2），由，

9、求得，（舍去）， 点评：本题以向量的垂直为依托，本质上考察的是三角恒等变换在解题要留意角的范围对解题结果的影响题型6 三角形中的三角恒等变换：这是一类重要的恒等变换，其中心点是三角形的内角和是，有的时候还可以和正余弦定理相结合，利用这两个定理实现边及角的互化，然后在利用三角变换的公式进展恒等变换，是近年来高考的一个热点题型例10（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学17题）三角形的三内角，所对边的长分别为，设向量，若，（1）求角的大小；（2）求的取值范围分析：依据两个平面对量平行的条件将向量的平行关系转化为三角形边的关系，结合余弦定理解决第一问，第一问解决后，第二问中的角就不是独立关

10、系了，可以用其中的一个表达另一个，就把所要解决的问题归结为一个角的三角函数问题解析：（1）， 由余弦定理，得（2）， 点评：本题从平面对量的平行关系入手，本质考察的是余弦定理和三角形中的三角恒等变换，解决三角形中的三角恒等变换要留意三角形内角和定理和角的范围对结果的影响题型7 用平面对量解决平面图形中的问题：由于平面对量既有数的特征（能进展类似数的运算）又具有形的特征，因此利用平面对量去解决平面图形中的问题就是必定的了，这在近年的高考中常常出现考试大纲明确指出用会用平面对量解决平面几何问题例11. 如图，已知点 是的重心，点在上，点在上，且过 的重心，试证明为常数，并求出这个常数分析：依据两向

11、量共线的充要条件和平面对量根本定理，把题目中须要的向量用基向量表达出来，本题的本质是点共线，利用这个关系找寻所满意的方程解析：令，则，设的中点为， 明显，因为是的重心，所以由、三点共线，有、共线，所以，有且只有一个实数，使 ，而，所以又因为、不共线，由平面对量根本定理得，消去，整理得，故结论得证这个常数是【点评】平面对量是高中数学的重要工具，它有着广泛的应用，用它解决平面几何问题是一个重要方面，其根本思路是依据采纳基向量或坐标把所要解决的有关的问题表达出来，再依据平面对量的有关学问加以处理课标区已把几何证明选讲列入选考范围，应引起同学们的留意题型8 用导数讨论三角函数问题：导数是我们在中学里引

12、进的一个讨论函数的重要工具，利用导数讨论三角函数问题有它极大的优越性，特殊是单调性和最值例12. 已知函数，若函数在区间上是增函数，务实数的取值范围分析：函数的导数在大于等于零恒成立解析：函数在区间上是增函数，则等价于不等式在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 从而在区间上恒成立， 而函数在区间上为增函数，所以函数在区间上的最大值为，所以为所求 点评：用导数讨论函数问题是导数的重要应用之一，是解决高中数学问题的一种重要的思想意识本题如将化为的形式，则及有关，讨论起来极不便利，而借助于导数问题就很简单解决题型9 三角函数性质的综合应用：将三角函数和其它的学问点相结合而产生一些综合性的试题，解决这类

13、问题往往要综合运用我们的数学学问和数学思想，全方位的多方向进展思索例13. 设二次函数，已知不管，为何实数，恒有和（1）求证： ；（2）求证：； （3）若函数的最大值为，求，的值分析：由三角函数的有界性可以得出，再结合有界性探求解析：（1）因为且恒成立，所以，又因为 且恒成立，所以， 从而知，即（2）由且恒成立得，即，将代如得，即（3），因为，所以当时， 由 ， 解得 ，点评：本题的关键是，由 利用正余弦函数的有界性得出，从而，使问题解决，这里正余弦函数的有界性在起了重要作用【专题训练及高考预料】一、选择题1若，且，则的取值范围是（ ）ABCD2设是锐角，且，则（ ）ABCD3若，及的夹角为，

14、则（ ）ABCD4若为的内心，且满意，则的形态为（ ）A等腰三角形B正三角形C直角三角形D钝角三角形5在中，若，则是（ ）A直角三角形B等边三角形C钝角三角形D等腰直角三角形6已知向量、，则直线及直线 的夹角的取值范围是（ ）ABCD二、填空题7的化简结果是_8若向量及的夹角为，则称为它们的向量积，其长度为，已知，且，则_9 一货轮航行到某处，测得灯塔在货轮的北偏东，及灯塔相距海里，随后货轮按北偏西的方向航行分钟后，又得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为每小时 海里三、解答题10 已知：， （1）求的值； （2）求的值11 已知函数 （1）求函数的最小正周期； （2）求使函数获得最大值的的集

15、合12已知向量， ， （1）求的值; （2）若， ， 且， 求【参考答案】1解析：B由已知可得，且，故得正确选项B2解析：C 及相加得，故选C3解析：B ，选B4解析：A已知即，即边BC及顶角的平分线相互垂直，这说明是一个以AB、AC为两腰的等腰三角形5解析：B依题意，由正弦定理得，且，故得6解析：A由为定值，点的轨迹方程为，由图形易知所求角的最大、最小值分别是该圆的切线及轴的夹角，故得7 解析： 原式8解析： 由夹角公式得，9 解析：设轮速度为海里/小时，作出示意图，由正弦定理得，解得10解析：（1） ， （2） ， 11解析：（1）因为所以的最小正周期 （2）当取最大值时，此时，即，所以所求的集合为12解析：（1）， ， ， ，即 ， （2）， ， ，