平面向量复习讲义[3].docx

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1、平面对量复习一向量有关概念：1向量的概念：既有大小又有方向的量，留意向量和数量的区分。向量常用有向线段来表示，留意不能说向量就是有向线段，为什么？向量可以平移。2零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，留意零向量的方向是随意的；3单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(及共线的单位向量是)；4相等向量：长度相等且方向一样的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量也叫共线向量：方向一样或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：，规定零向量和任何向量平行。注：相等向量确定是共线向量，但共线向量不愿定相等；两个向量平行及及两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两

2、条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！因为有)；三点共线共线；6相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。【练习】1、以下命题：1假设，那么。2两个向量相等的充要条件是它们的起点一样，终点一样。3假设，那么是平行四边形。4假设是平行四边形，那么。5假设，那么。6假设，那么。其中正确的选项是二向量的表示方法：1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，留意起点在前，终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等；3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以及轴、轴方向一样的两个单位向量，为基底，那么平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示。假

3、设向量的起点在原点，那么向量的坐标及向量的终点坐标一样。三平面对量的根本定理：假设e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使1e2。ABCDEF【练习】1、假设，如何用，表示？2、以下向量组中，能作为平面内全部向量基底的是 A. B. C. D. 3、分别是的边上的中线,且,那么可用向量表示为 答：；4、在平行四边形中，点E和F分别是边和的中点，且，其中m，nR，那么mn .5、在边长为2的菱形中，60，E为中点，及相交于点F，1用，表示。2求出四实数及向量的积：实数及向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当0时，的方向及的方向一样，

4、当0时，的方向及的方向相反，当0时，留意：0。五平面对量的数量积：1两个向量的夹角：对于非零向量，作，称为向量，的夹角，当0时，同向，当时，反向，当时，垂直。2平面对量的数量积：假设两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做及的数量积或内积或点积，记作：，即。规定：零向量及任一向量的数量积是0，留意数量积是一个实数，不再是一个向量。如【练习】1、中，那么答：9；2、，及的夹角为，那么等于答：1；3、，那么等于答：；4、是两个非零向量，且，那么的夹角为答：3在上的投影为，它是一个实数，但不愿定大于0。练习：，且，那么向量在向量上的投影为答：4的几何意义：数量积等于的模及在上的投影的积。5向量数量

5、积的性质：设两个非零向量，其夹角为，那么：；当，同向时，特殊地，；当及反向时，；当为锐角时，0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；非零向量，夹角的计算公式：；。1、，假设及的夹角为锐角，那么的取值范围是答：或且；2、A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，那么为 A.直角三角形 B3、的面积为，且，假设，那么夹角的取值范围是答：；六向量的运算：1几何运算：向量加法：利用“平行四边形法那么进展，但“平行四边形法那么只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法那么：设，那么向量叫做及的和，即；向量的减法：用“三角形法那么：设，

6、由减向量的终点指向被减向量的终点。留意：此处减向量及被减向量的起点一样。【练习】1、化简：；2、假设正方形的边长为1，那么2坐标运算：设，那么：向量的加减法运算：，。实数及向量的积：。假设，那么，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。【练习】1、设，且，那么C、D的坐标分别是 2、点，假设，那么当时，点P在第一、三象限的角平分线上3、，那么 平面对量数量积：。如1、向量，, ，, 1，0。1假设x，求向量、的夹角；2假设x，函数的最大值为，求的值向量的模：。如1、均为单位向量，它们的夹角为，那么答：；2、2021年广东卷一质点受到平面上的三个力，单位：牛顿的作用而处

7、于平衡状态成角，且，的大小分别为和，那么的大小为 3、共面对量，均为单位向量，它们的夹角两两一样，求的值。两点间的间隔 ：假设，那么。七向量的运算律：1交换律：，；2结合律：，；3支配律：，。练习：以下命题中： ； ； ； 假设，那么或；假设那么；。其中正确的选项是注：1向量运算和实数运算有类似的地方也有区分：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；2向量的“乘法不满意结合律，即，为什么？八向量平行(共线)的充要条件：0。【练习】1、假设向量，当时及共线且方向一样2、，且，那么x3、设，那么k时，共线九向量垂直的充要条件： .1、，假设，那么 2、向量，且，那么的坐标是 十一、向量中一些常用的结论：1一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要留意运用；2，特殊地，当同向或有；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).