平行四边形知识点与经典例题.docx

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1、 平行四边形一、 根底学问平行四边形 平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形定义有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。有一个角是直角的平行四边形是矩形。有一组邻边相等的平行四边形是菱形。有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。两腰相等的梯形是等腰梯形。性质1, 对边平行且相等。2, 对角相等，邻角互补。3, 对角线相互平分1, 四个角都是直角。2, 对角线相等。1, 四条边都相等。2, 两条对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角。具有平行四边形, 矩形, 菱形的全部特征。1, 两腰相等两底平行2, 同一底上的两角相等3, 两条对角线相等判定1, 定义：2, 判定定理：1两组对边分别相等的

2、四边形是平行四边形。2两组对角分别相等的四边形是平行四边形。3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。4对角线相互平分的四边形是平行四边形。1, 定义：2, 判定定理：1对角线相等的平行四边形是矩形。2有三个角是直角的四边形是矩形。1, 定义：2, 判定定理：1一组邻边相等的平行四边形是菱形。2对角线相互垂直的四边形是菱形。1, 先证明是矩形再证明一组邻边相等。2, 先证明是菱形再证一个角是直角。1, 定义：先推断是梯形在证明两腰相等。2, 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。3, 对角线相等的梯形是等腰梯形。对称性轴对称图形轴对称图形轴对称图形轴对称图形二, 1, 三角形中位线定理：三角形

3、的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三遍的一半。 2, 由矩形的性质得到直角三角形的一特性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。三, 例题图1CABDEF例1, 如图1，平行四边形中，垂足分别为E, F. 求证： =.OABCDEF图2例2, 如图2，矩形中，及交于O点，于E，于F.求证： = . 例3, ：如图3，在梯形中， = ，点E, F分别在, 上，且 = 2， = 2. 求证： =.ABCD图3EF 例4, 如图6，E, F分别是 平行四边形的, 边上的点，且 = .ADBCEF(图6)MN1求证：；2假设 M, N分别是, 的中点，连结, ，试推断四边形是怎样的四边形，并证明

4、你的结论. 例5, 如图7 的对角线的垂直平分线及边，分别相交于点E，F.，求证：四边形是菱形.图7ABCDEFO例6, 如图8，四边形是平行四边形，O是它的中心，E, F是对角线上的点.1假如 ，那么请你填上一个能使结论成立的一个条件；2证明你的结论.图8BCDAEFABCD图9EGOF例7, 如图9，在梯形中， = ，对角线和相交于点O，E是边上一个动点点E不及B, C两点重合，交于点F，交于点C.1求证：四边形的周长等于2；2请你将上述题目的条件“梯形中， = 改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论，“四边形的周长等于2仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出, 求证, 不必证明. 备用

5、图1备用图2图13例8, 有一块梯形形态的土地，现要平均分给两个农户种植即将梯形的面积两等分，试设计两种方案平分方案画在备用图13(1), (2)上，并赐予合理的说明. 四, 练习 一, 选择题 1.以下命题正确的选项是 (A), 一组对边相等，另一组对边平行的四边形确定是平行四边形 (B), 对角线相等的四边形确定是矩形(C), 两条对角线相互垂直的四边形确定是菱形 (D), 在两条对角线相等且相互垂直平分的四边形确定是正方形2. 平行四边形的周长32, 53,那么的取值范围为( )A. 610； B. 616； C. 1016； D. 4163.两个全等的三角形不等边可拼成不同的平形四边形

6、的个数是A1B2C3D44延长平形四边形的一边到E，使，连结交于F，假设120,135，1，那么 的长为 A1BCD5假设菱形中，垂直平分于E，1，那么的长是 A1B2C3D46.假设顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么这个四边形的对角线()A相互垂直B相等 C相互平分D相互垂直且相等7. 如图，等腰中，D是边上的一点，5那么四边形的周长是 A5 B10 C15 D20 (第7题 第8题 第9题 第10题8.如图，将边长为8的正方形纸片折叠，使点D落在边中点E处，点A落在点F处，折痕为，那么线段的长是 A3 B4 C5 D69. 如图，在直角梯形中，90，将梯形分成两个三角形，其中

7、是周长为18 的等边三角形，那么该梯形的中位线的长是( ) (A)9 (B)12 (c) (D)18 10.如图，在周长为20的中，, 相交于点O，交于E，那么的周长为 (A)4 (B)6 (C)8 (D)10ABCDEF图 2RPDCBAEF第12题图11. 如图2，四边形为矩形纸片把纸片折叠，使点B恰好落在边的中点E处，折痕为假设6，那么等于 ABCD 12.如图，四边形中，R, P分别是, 上的点，E, F分别是, 的中点，当点P在上从C向D移动而点R不动时，那么以下结论成立的是 )A, 线段的长慢慢增大 B, 线段的长慢慢减小 C, 线段的长不变 D, 线段的长及点P13. 在梯形中，

8、对角线，且，12c m，那么梯形中位线的长等于 黄蓝紫橙红绿AGEDHCFB第14题A. 7.5B. 7C. 6.5D. 614. 国家级历史文化名城金华，风光秀丽，花木葱郁某广场上一个形态是平行四边形的花坛如图，分别种有红, 黄, 蓝, 绿, 橙, 紫6种颜色的花假如有，那么以下说法中错误的选项是 A红花, 绿花种植面积确定相等 B紫花, 橙花种植面积确定相等C红花, 蓝花种植面积确定相等 D蓝花, 黄花种植面积确定相等二、 填空题四边形四个内角之比1：2：3：4，那么这四边形为形。 ，那么正方形的面积为。3.假设矩形一个内角的平分线，把另一边分为4,5两局部，那么这个矩形周长是4.：平行四

9、边形的周长是30，对角线，相交于点O，的周长比的周长长5 ，那么这个平行四边形的各边长为。5. ：平行四边形中， 交的延长线于点E，交的延长线于点F，32，2C，那么长为，那么C.6. 在平面直角坐标系中，点A, B, C的坐标分别是A(2，5)，B(3，1)，C(1，1)，在第一象限内找一点D，使四边形是平行四边形，那么点D的坐标是 第10题图DABCPMNCFDBEAP第9题ABCDEFO图87.：如图8，正方形中，对角线和相交于点O，E, F分别是边, 上的点，假设4，3，且，那么的长为 。12图98 如图91)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图10(2)所示的一个菱形

10、对于图10(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰及底边长度之间关系的一个正确结论： 9如图，在四边形中，是对角线的中点，分别是的中点，那么的度数是 10如图，菱形的两条对角线分别长6和8，点P是对角线上的一个动点，点M, N分别是边, 的中点，那么的最小值是11. 如图，在四边形中，E, F, G, H分别是, , , 的中点，要使四边形是菱形，四边形还应满足的一个条件是 。 12题 13题 14题12, 如下图，O为矩形的对角线交点，平分交于E，于F，15，那么13. 如图，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点E, F，那么图中阴影局部的面积为14, 如图，矩形的面积为，顺次

11、连结各边中点得到四边形，再顺次连结四边形四边中点得到四边形，依此类推，求四边形的面积是。ADBCFE15, 如图O是的对角线交点，24，38，14，那么的周长等于。ABDCOABDCEABDCO16, 在平行四边形中，CD,那么A，D。17, 一个平行四边形的周长为70，两边的差是10，那么平行四边形各边长为。18, 菱形的一条对角线长为12，面积为302，那么这个菱形的另一条对角线长为。19, 菱形中，A60o，对角线长为7，那么此菱形周长。20, 假如一个正方形的对角线长为，那么它的面积。21, 如图2矩形的两条对角线相交于O,608,那么矩形对角线的长。22, 如图3,等腰梯形中，8，6

12、，5那么周长。21, 正方形的对称轴有条22, 如图4，是的对角线，点E, F在上，要使四边形是平行四边形，还需增加的一个条件是23, 要从一张长为40，宽为20的矩形纸片中，剪出长为18，宽为12的矩形纸片，最多能剪出张。三、 解答题1.如图，在四边形中，60,9023,求的长。2.如图，在等腰梯形中，2,120,对角线平分，求等腰梯形的周长。ABCDEFD3.将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C及A重合，点D落到D 处，折痕为1求证：F；2连接，推断四边形是什么特殊四边形？证明你的结论4：如图，在梯形中，对角线, 相交于点E，60，10，41，求梯形的腰长.5. 如图，菱形，E，F分别是

13、，上的点，B60，18求的度数。ABCDMNE(第6题)6.：如图，在中，垂足为点D，是外角的平分线，垂足为点E，1求证：四边形为矩形；2当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并给出证明7. 如图，四边形中，一组对边4，另一组对边，对角线及边相互垂直，M, N, H分别是, , 的中点，且30求：1的长2的长。8. 如下图，在中，90平分,那么吗？证明你的结论。9. 如图，是正方形，交于点F，求证：1302 10.如图，在正方形中，P为对角线上一点，垂足为E， ，垂足为F，求证：11. 如图，四边形的对角线, 交于点P，过点P作直线交于点E,交于点F。假设,且1求证：;2假设1215,60,求

14、四边形的面积.10如下图，在中，E，F分别是，的中点，求证：11：如图，E为中边的延长线上的一点，且，连结分别交, 于点F, G，连结交于O，连结求证：212.如图，在矩形中，8，6，点A处有一动点E以1s的速度由点A向点B运动，同时点C处也有一动点F以2s的速度由点C向点D运动，设运动的时间为xs，四边形的面积为y2，求y及x的函数关系式及自变量x的取值范围。21，如图16，四边形是平行四边形，的平分线交边于F，的平分线交边于G.1线段及相等吗？ 图162请你在条件的根底上再添加一个条件，使得为等腰直角三角形,并说明理由.图17OFDBECA图1822，如图17，中，E为的中点，的延长线交的

15、延长线于点E.1试说明线段及相等的理由； 2假设使F，的边长之间还需再添加一个什么条件？请你补上这个条件，并说明你的理由(不要再增加帮助线).23，如图，平行四边形中，对角线交于点，是延长线上的点，且是等边三角形1求证：四边形是菱形；2假设，求证：四边形是正方形ECDBAO24，：如图19，四边形是菱形，E是延长线上一点，F是延长线上一点，且.请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，揣测并证明它和图中已有的某一条线段相等只须证明一组线段相等即可.1连结；2揣测：；3证明：25，如图20，正方形的对角线, 相交于点O，E是上一点，连结，过点A作，垂足为M，交于点F.(1)试

16、说明；OC图19DABEF图21EFOCMDAB图20EMFCODBA(2)如图21，假设点E在的延长线上，于点M，交的延长线于点F，其它条件不变，那么结论“还成立吗假如成立，请给出说明理由；假如不成立，请说明理由.13.如图在直角梯形中, , 9024826,动点P从A开场沿边向D以1的速度运动,动点Q从C开场沿向B以3的速度运动分别从点同时动身,当其中一点到达端点时,另一点也随之停顿运动,设运动的时间分别为何值时,四边形为平行四边形,等腰梯形A B Q C D P 14APBQC：如图，在直角梯形中，B90，24，26，动点P从A点开场沿边向D以1秒的速度运动，动点Q从C点开场沿边向B以3

17、秒的速度运动，P, Q分别从A, C同时动身，当其一点到端点时，另一点也随之停顿运动，设运动时间为t秒，t分别为何值时，四边形是平行四边形？等腰梯形？.在中，借助作图工具可以作出中位线，沿着中位线一刀剪切后，用得到的和四边形可以拼接成平行四边形，接切线及拼图过程如下图，依照上述方法，安要求完成以下操作设计，并画出图形说明。1在中，增加条件 ，沿着 一刀剪切后可以拼成矩形。2在中，增加条件 ，沿着 一刀剪切后可以拼成菱形。3在中，增加条件 ，沿着 一刀剪切后可以拼成正方形。4在中，一刀剪切后也可以拼接成等腰梯形，画出切线及拼图示意图。15如图把一个正方形割去四分之一，将余下的局部分成3个全等的图

18、形图甲；将余下的局部分成4个全等的图形图已仿按例如，请你将一个正三角形割去四分之一后余下的局部。1分成3个全等的图形在图一中画出示意图；2分成四个全等的图形在图二中画出示意图；3你还能利用所得的4个全等的图形拼成一个平行四边形吗？假设能，画出大致的示意图。16.如图是 王大爷的一块四边形菜地，在A处有一口井，王大爷要想从A处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两局部.请你为王大爷设计一条引水渠的方案，画出图形,并简要写出作图的主要步骤.解:作图步骤：17. (1)如图25-1，在四边形中，BD90，E, F分别是边, 上的点，且.求证; (2) 如图25-2在四边形中，

19、D180，E, F分别是边, 上的点，且, (1)中的结论是否照旧成立？不用证明. (3) 如图25-3在四边形中，180，E, F分别是边, 延长线上的点，且, (1)中的结论是否照旧成立？假设成立，请证明；假设不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明. 18. 将边长8，10的矩形放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C, A分别在, 边上选取适当的点, F，连接，将沿折叠，使点落在边上的点处图 图 图1如图，当点F及点C重合时，的长度为 ；2如图，当点F及点C不重合时，过点D作y轴交于点，交于点.求证：；3在2的条件下，设，写出及之间的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ；4如图，将矩

20、形变为平行四边形，放在平面直角坐标系中，且10，边上的高等于8，点F及点C不重合，过点D作y轴交于点，交于点，求出这时的坐标及之间的函数关系式不求自变量的取值范围19. (1)如图101所示，, 分别是的外角平分线，过点A作, ,垂足分别为F，G，连结，延长, ，及直线分别交于点M, N，那么线段及的周长之间存在的数量关系是什么？即： 干脆写出结果即可2如图102，假设，分别是的内角平分线；其他条件不变，线段及三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的揣测，并赐予证明3如图103，假设为的内角平分线，为的外角平分线，其他条件不变，线段及三边又有怎样的数量关系？干脆写出你的揣测即可不须要证明。20.正方形和等腰按图1放置，使点F在上，取的中点G，连 , . (1)探究, 的数量关系，并说明理由； 2将图1中绕B 点顺时针旋转得图2，连结,取的中点G，问1中的结论是否成立，并说明理由；3将图1中绕B点转动随意角度旋转角在0到之间得图3，连结，取的中点G ，问1中的结论是否成立，请说明理由；