圆与方程教案及练习题.docx

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1、圆及方程一、圆的标准方程1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的根本要素是什么？圆作为平面几何中的根本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？假如能，这个方程又有什么特征呢？探究探讨：2、探究探讨：确定圆的根本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A()，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r0）设M()为这个圆上随意一点，那么点M满意的条件是（引导学生自己列出）,由两点间的间隔 公式让学生写出点M合适的条件化简可得： 引导学生自己证明为圆的方程，得出结论。方程就是圆心为A(),半径为r的圆的方程，我

2、们把它叫做圆的标准方程。1. 圆的标准方程：方程表示圆心为A（a，b），半径长为r的圆.2. 求圆的标准方程的一般步骤为：(1)依据题意，设所求的圆的标准方程为(2)依据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；(3)解此方程组，求出a，b，r的值； .(4)将所得的a，b，r的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的标准方程3. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：依据题意，求出圆心坐标及半径，然后写出标准方程；（2）待定系数法：先依据条件列出关于a，b，r的方程组，然后解出a，b，r，再代入标准方程.二、圆的一般方程1.方程表示的曲线不肯定是圆，只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把形如的表

3、示圆的方程称为圆的一般方程.2. 对于方程 .(1)当D2E24F0时，方程表示（1）当时，表示以（-，-）为圆心,为半径的圆；（2）当时，方程只有实数解，即只表示一个点（-，-）;（3）当时，方程没有实数解，因此它不表示任何图形3.圆的一般方程的特点：(1)x2和y2的系数一样，不等于0没有这样的二次项(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D，E，F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了(3)及圆的标准方程相比拟，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标及半径大小，几何特征较明显.例1求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径

4、长和圆心坐标。 分析：据已知条件，很难干脆写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先设出圆的一般方程 解：设所求的圆的方程为：在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于的三元一次方程组.即解此方程组，可得：所求圆的方程为：；得圆心坐标为（4，-3）.或将左边配方化为圆的标准方程，,从而求出圆的半径，圆心坐标为(43) 练习：1推断二元二次方程是否表示圆的方程？假如是，恳求出圆的圆心及半径.2若方程a2x2+(2)y2+20表示圆，则a的值为 （ ）1. B.2 1或2 D.13.一个圆经过点及，圆心在直线上，求此圆的方程.

5、4.求经过两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为4的圆的方程.5.一圆及y轴相切，圆心在直线30上，且直线截圆所得弦长为2，求圆的方程。6已知圆满意：截y轴所得弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；圆心到直线l：20的间隔 为，求该圆的方程三、点及圆的位置关系1.推断方法：点到圆心的间隔 及半径的大小关系点在圆内；点在圆上；点在圆外即（1）点在圆上等价于；（2）点在圆内部等价于；（3）点在圆外部等价于2.涉及最值：（1）圆外一点，圆上一动点，探讨的最值（2）圆内一点，圆上一动点，探讨的最值 思索：过此点作最短的弦？（此弦垂直）练习：1.已知点在圆上，求的值2.设点P(23)和圆(4)

6、2+(5)2=9上各点间隔 为d,则d的最大值为四、直线及圆的位置关系I 复习打算：1. 在初中我们知道直线现圆有三种位置关系：（1）相交，有一两个公共点；（2）相切，只有一个公共点；（3）相离，没有公共点。2. 在初中我们知道怎样推断直线及圆的位置关系？如今如何用直线和圆的方程推断它们之间的位置关系？3.推断方法（为圆心到直线的间隔 ）（1）相离没有公共点（2）相切只有一个公共点（3）相交有两个公共点4.直线及圆相切（1）学问要点根本图形(如图)主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线及圆相切意味着什么？：圆心到直线的间隔 恰好等于半径（2）常见题型求过定点的切线方程切线条数：点在圆

7、外两条；点在圆上一条；点在圆内无求切线方程的方法及留意点i）点在圆外如定点，圆：，第一步：设切线方程 第二步：通过，从而得到切线方程特殊留意：（i）以上解题步骤仅对存在有效，当不存在时，应补上千万不要漏了！（）点在圆上（1）若点在圆上，则切线方程为（2）若点在圆上，则切线方程为求切线长：利用根本图形，求切点坐标：利用两个关系列出两个方程3.直线及圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题垂径定理及勾股定理常用弦长公式：（驾驭，圆锥曲线将会涉及）（2）推断直线及圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.（3）关于点的个数问题练习：1.直线341=0被圆(3)22=9截得的弦长为 （

8、 ） (A) (B)4 (C) (D)2 2.若直线1及圆()2+(2)2=1 有两个不同交点，则a的取值范围是 （ ）A.(0, ) B.(- ,0) C.( ) D.(- )3.已知点M()(0)是圆222内一点，直线l是以M为中点的弦所在的直线，直线m的方程是2,那么 （ ）且m及圆C相切 B. lm且m及圆C相切且m及圆C相离 D. lm且m及圆C相离4.直线(1)(1)=0及圆x22=2的位置关系是 （ ）A.相离 B.相切 C.相交或相切 D.不能确定5.把直线2l=0向左平移1个单位长度，再向下平移两个单位长度后，所得直线正好及圆x22+240相切，则实数l的值为 （ ）A.3或

9、13 3或13 C.3或-13 3或-136.直线及圆交于两点，则三角形（是原点）的面积等于 。7.若经过点的直线及圆相切，求此直线在y轴上的截距. 8.过点向圆引切线，求切线方程.9.已知圆：，直线：（）（1）证明：不管取什么值，直线及圆均有两个交点；（2）求其中弦长最短的直线方程.五、对称问题1.圆本身关于直线对称，则直线过圆心。2.圆关于直线对称的方程转化为圆心关于直线对称，半径不变。练习：1、曲线x22+220关于 （ ）A.直线轴对称 B. 直线轴对称C.点（-2,）中心对称 D.点（-,0）中心对称2.若圆，关于直线对称，则实数的值_ .3.已知圆C及圆关于直线对称，则圆C的方程为

10、 （ ） A. B. C. D.4.已知圆：及圆：关于直线对称，则直线的方程为 .5.圆关于点对称的曲线方程是.六、最值问题方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；练习：1.在圆x22=4上，及3412=0间隔 最长的点的坐标是 （ ）A. ( ) B. ( ) C. (- ,) D. (- ,)2.在圆上，在圆，则的最小值是 。3.一束光线从点A(-1,1)动身，经x轴反射到圆C:(2)2+(3)2=1上的最短路程是（ ）A.4 B.5 C.31 D.2 4.从点(m,3)向圆x22-20作切线，则切线长的最小值是 （ ）A.2 B. C.3 D. 5.已知实数，满意方程，求：（1）的最

11、大值和最小值；（2）的最小值；（3）的最大值和最小值.七、圆及圆的位置关系1.推断方法：几何法（为圆心距）（1）外离 （2）外切（3）相交 （4）内切（5）内含2.两圆公共弦所在直线方程圆：，圆：，则为两相交圆公共弦方程.补充说明：若及相切，则表示其中一条公切线方程；若及相离，则表示连心线的中垂线方程.3圆系问题（1）过两圆：和：交点的圆系方程为（）说明：1）上述圆系不包括；2）当时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）（2）过直线及圆交点的圆系方程为（3）两圆公切线的条数问题相内切时，有一条公切线；相外切时，有三条公切线；相交时，有两条公切线；相离时，有四条公切线练习：1.若圆C1: x22-

12、22=4和圆C2: x22+248-4m2相交，则m的取值范围是（ ）A. (- ) B.(0,2) C. (- ,)(0,2) D. (- )(0,2)2.两个圆C122+222=0及C222-421=0的公切线有且仅有 （ ）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条3求以圆C1x22-12213=0和圆C2：x22+121625=0的公共弦为直径的圆的方程 八、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）：略（2）干脆法：通过已知条件干脆得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式轨迹方程.练习：1.已知M (-1,0), N (3,0), 则以为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程( )

13、(A) (B)(C) (D) 2.过原点O作圆x22+60的弦 (1)求弦中点M的轨迹方程； (2)延长到N，使，求N点的轨迹方程.3.如图，圆及圆的半径都是1，=4，过动点P分别作圆、圆的切线、（M、N分别为切点），使得，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程。PMO1O24 如图，已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x22=1，动点M到圆C的切线长及的比等于求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。 xQyO九、空间直角坐标系I 复习打算：1.提问：平面直角坐标系的建立方法，点的坐标确实定过程、表示方法？2.探讨：一个点在平面怎么表示？在空间呢？ 讲授新课：1.空间直角坐标系：如图，

14、是单位正方体.以A为原点，分别以的方向为正方向，建立三条数轴。这时建立了一个空间直角坐标系.(1)点A叫做坐标原点 (2)x 轴，y轴，z轴叫做坐标轴. (3)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。2. 右手法则： 令右手大拇指、食指和中指互相垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以确定三轴间的相位置。3.有序实数组（1).空间一点M的坐标可以用有序实数组来表示，有序实数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作（x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标 4、空间两点的间隔 公式已知两点M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2)，求此两点间的间隔 d。空间两点的间隔 公式:。思索：（1）点M（x，y，z）到坐标原点O（0，0，0）的间隔 ？（2）假如是定长r,那么表示什么图形？ 5练习：1.点A(04,1),点C及A关于平面对称，点B及点A关于原点对称，则（ ）A.7 B.8 C.9 D.22.已知点A(1,41)(2,2,1)(3,4,3),则的形态是