考复数知识点精华总结.docx

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1、复 数1复数的概念：1虚数单位i；2复数的代数形式z=a+bi，(a, bR)；3复数的实部、虚部、虚数及纯虚数。2复数集3复数a+bi(a, bR)由两局部组成，实数a及b分别称为复数a+bi的实部及虚部，1及i分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi就是实数，当b0时，a+bi是虚数，其中a=0且b0时称为纯虚数。应特殊留意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，假设a=b=0，那么a+bi=0是实数。4复数的四那么运算 假设两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，1加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；2减法：z1z2=(a1a2)+(b1b2)i；3乘法

2、：z1z2=(a1a2b1b2)+(a1b2+a2b1)i；4除法：；5四那么运算的交换率、结合率；安排率都适合于复数的状况。6特殊复数的运算： (n为整数)的周期性运算； (1i)2 =2i； 假设=-+i，那么3=1，1+2=0.5共轭复数及复数的模1假设z=a+bi，那么，为实数，为纯虚数(b0).2复数z=a+bi的模|Z|=, 且=a2+b2.6.依据两个复数相等的定义，设a, b, c, dR，两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+di. 由这个定义得到a+bi=0.两个复数不能比拟大小，只能由定义推断它们相等或不相等。4复数a+bi的共轭复数是abi，假设两复数是共轭

3、复数，那么它们所表示的点关于实轴对称。假设b=0，那么实数a及实数a共轭，表示点落在实轴上。5复数的加法、减法、乘法运算及实数的运算根本上没有区分，最主要的是在运算中将i2=1结合到实际运算过程中去。如(a+bi)(abi)= a2+b26复数的除法是复数乘法的逆运算将满意(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商。由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即.7复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。二典型例题讲解1复数的概念例1实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m1)i是1实数？2

4、虚数？3纯虚数？4对应的点Z在第三象限？解：复数z=m+1+(m1)i中，因为mR，所以m+1，m1都是实数，它们分别是z的实部和虚部， 1m=1时，z是实数； 2m1时，z是虚数；3当时，即m=1时，z是纯虚数；4当时，即m1时，z对应的点Z在第三象限。例2(2x1)+i=y(3y)i，其中x, yR，求x, y.解：依据复数相等的意义，得方程组，得x=, y=4.例4当m为何实数时，复数z+(m2+3m10)i；1是实数；2是虚数；3是纯虚数 解：此题主要考察复数的有关概念及方程组的解法 1z为实数，那么虚部m2+3m10=0，即，解得m=2， m=2时，z为实数。2z为虚数，那么虚部m2

5、+3m100，即，解得m2且m5. 当m2且m5时，z为虚数，解得m=, 当m=时，z为纯虚数 诠释：此题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必需具备的条件，还应特殊留意分母不为零这一要求例5计算：ii2i3+i2005. 解：此题主要考察in的周期性ii2i3+i2005=(i+i2+i3+i4)+(i2001+i2002+ i2003i2004)i2005 =(i1i+1)+ (i1i+1)+(i1i+1)+i 000+ii.或者可利用等比数列的求和公式来求解略 诠释：此题应抓住in的周期及合理分组例8使不等式m2(m23m)i(m24m3)i10成立的实数m .解：此题主要考察复数能

6、比拟大小的条件及方程组和不等式的解法 m2(m23m)i(m24m3)i10, 且虚数不能比拟大小，解得， m=3.当m3时，原不等式成立诠释：此题应抓住复数能比拟大小时必需都为实数这一条件。例9z=xyi(x，yR)，且 ，求z解：此题主要考察复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法 ，解得或, z2i或z12i诠释：此题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、娴熟地解方程指数，对数方程例10x为纯虚数，y是实数，且2x1iy(3y)i，求x、y的值解：此题主要考察复数的有关概念，实数及i的运算，复数相等的充要条件，方程组的解法设xti (tR，且t0，那么2x1iy(3y)i可化为2t

7、i1iy(3y)i，即(2t1)i1=y(3y)i，, y=1, t=, x=i.1复数z满意|z2|=2，z+R，求z.解：设z=x+yi, x, yR，那么z+=z+， z+R， =0， 又|z2|=2, (x2)2+y2=4,联立解得，当y=0时, x=4或x=0 (舍去x=0, 因此时z=0)，当y0时, , z=1, 综上所得 z1=4，z2=1+i，z3=1i.2复数z满意(z+1)(+1)=|2，且为纯虚数，求z.解：设z=x+yi (x, yR)，那么(z+1)(+1)=|2+z+1=|2， z+1=0，z+=1，x=.=为纯虚数， x2+y21=0, y=, z=+i或z=i.3复数z满意(1+2i)z+(310i)=434i，求z.解：设z=x+yi (x, yR)，那么(1+2i)(x+yi)+(310i)(xyi) =434i，整理得(4x12y)(8x+2y)i=434i. , 解得, z=4+i.