高等数学2同济版第一章复习资料.docx

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1、第一章 函数与极限第一节 映射与函数一、集合(一).集合的相关概念1.集合：集合是数学中一个不加定义的原始概念，一般是这样描绘的：描绘性定义：具有某种特定性质的事物的总体称为集合,用大写字母A，B，C， 表示；组成集合的事物称为元素，用小写字母a，b，c， 表示.2.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作 . 3.几何与元素的关系：元素a属于集合A , 记作；元素a不属于集合A , 记作或.4.集合的分类：有限集：含有有限个元素的集合；无限集：不是有限集的集合.5.集合的表示法：(1).列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合.(2).描绘法：所具有的特征.例：表示方程的解集.6.

2、几种常用的数集：自然数集：；正整数集：；整数集：；有理数集： p 与 q 互质；实数集合：x 为有理数或无理数.(二).集合之间的关系与运算1.集合之间的关系包含关系： 设有集合A和B，假设必有，那么称 A是 B 的子集 , 或称 B 包含 A ,记作 或.相等关系：假设且，那么称 A 与 B 相等，记作.例如, ，.以下关系成立 :(1). ；.(2). 且.2.集合之间的运算：对集合A 与 B，有以下几种根本运算并集：或； 交集：且；差集：且； 余集(补集)：且，其中I称为全集，； 直积： (笛卡尔直积).特例：为平面上的全体点集.(三).区间和邻域1.有限区间; ；; .2.无限区间：；

3、 ； .3. 邻域点a的d 邻域: ；点a的去心d 邻域: ；点a的左d 邻域: ；点a的右d 邻域: .其中, a 称为邻域中心, d 称为邻域半径.4. 区间的直积：.二、实数集与其完备性1. 实数集的性质：(1). 封闭性：随意两个实数进展加、减、乘、除 (分母不为零) 运算后，其结果仍旧是实数.(2). 有序性：随意两个实数a和b，必满意且仅满意以下三种关系之一：a b，a = b.且假设a b，b c，那么a 0，取，那么，当时，.推论：假设数列从某项起(或)，且，那么(或).4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限：子数列：在数列中随意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序得

4、到的数列为原数列的一个子数列(简称子列).注：1. 对，当时，.2. 当时，称为奇子列；当时，称为偶子列.定理4. 对数列的任何子列，都有.证明：必要性：由，有，当时，.取，当时，有，有，即.充分性明显.注： 假设数列有两个子数列收敛于不同的极限,那么原数列肯定发散.例如：数列发散，而，.此例也说明发散的数列也可能有收敛的子列.第三节 函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限1. 时函数的极限(1).定义：设函数在点的某去心邻域内有定义, 对常数A，假设，有，那么称 A 为函数当时的极限, 记作或当.“定义：,当时，有.注：探讨函数当时的变更趋势，不考虑函数在点是否有定义.例如：函数当时，所

5、以时.再如：函数当时对应的函数值趋于1.(2).几何意义：对于一个以直线和为两边的带型区域，总存在一个，使得函数在区间与内的图形都位于这个带型区域内.例1. 证明，C为常数.证明：对，总成立，于是，总有，即.例2. 证明.证明：对，要使成立，只需，取.于是，总有，即.例3. 证明.证明：对，要使成立,取.于是，总有，即.例4.证明:当时，.证明：对，要使成立,只要.由于的定义域是，因此选取的要使，取.于是，总有，即.具体说明：由于，当时，即，代入上式有；当时，有，即，将代入上式得.(在的过程中，的方式是随意的，既可以是左侧的点，也可以是右侧的点，但要限定只在某一侧趋于，那么有下面的单侧极限，即

6、左极限和有极限.)2. 单侧极限 左极限：，有.右极限: ，有定理：.例5. 探讨函数 当时的极限是否存在.解：因为，明显，所以不存在.3. 函数极限的性质(1). 函数极限的唯一性定理1.假设存在，那么该极限值唯一.(2). 函数极限的部分有界性，那么，有.证明：由，可取，有，取，那么有.(3).函数极限的部分保号性,且(或)，那么，有(或).证明：由，可取，有.同理可证明的情形.定理3. 假设,且，那么， ，有.(4).函数极限的部分保序性定理4.假设,，那么，有.证明：对， 由，当时，有.由，当时，有.取，由和得到.推论：假设,，且，有，那么.(5).函数极限的归并性(函数极限与数列极限

7、之间的关系)定理5.(海涅定理) 对任何数列()，只要，就有.证明：必要性：设，由极限定义知，对，有.由于，故对上述，当时，有.综上可得：，当时，有，故.，那么，但.由此得到一个数列，由于，故，且，但是，与条件冲突，从而必有.二、自变量趋于无穷大时函数的极限1. 时函数的极限(1). 定义1.设函数当时有定义, 对常数A，假设，有，那么称 A 为当时的极限,记作或当.“定义：,，有.(2). 几何意义：对于一个以直线，为两边的带型区域，总存在一个，使得函数在区间与内的图形都位于该带型区域内，直线是曲线的程度渐近线.例6. 证明.证明：对，要使不等式成立，只需，取，于是，对，有，即.2. 单侧极

8、限,，有.,，有.思索与练习:1. 假设极限存在，是否肯定有？2. 设函数，且存在, 那么.第四节 无穷小量与无穷大量一、无穷小量1. 定义：假设 (或)时, 函数，即(或)，那么称函数为 (或)时的无穷小量.例如 :,函数当时为无穷小量；，函数当时为无穷小量；，函数当时为无穷小量.注：无穷小量不是很小的数，而是肯定值小于随意给定正常数的量，除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小量，因为，明显C只能是0 !2. 无穷小量与函数极限的关系定理1. ，其中a 为时的无穷小量,即.证明：必要性：，有，即，其中.充分性：，有,又，那么有，即.对自变量的其它变更过程类似可证.二、无穷大量定义： 假设，(

9、或)，对(或), 总有，那么称函数当时为无穷大量,为了便于表达函数的这一性态，也说函数的极限是无穷大量，记作(或).假设将换成(或)，那么将无穷大量记作(或).注：1.无穷大量不是很大的数, 它是描绘函数的一种状态.2.函数为无穷大量, 必定无界 . 但反之不真!例如： 函数，当，但，所以时，不是无穷大量!3.假设，那么称直线为曲线的铅直渐近线.假设，那么称直线为曲线的程度渐近线.例2. 证明.证明：对，要使，只需，取.于是，有，即.注：直线是曲线的铅直渐近线.例3. 求曲线的程度、铅直两种渐近线.解：由知直线是曲线的一条程度渐近线.由知直线是曲线的一条铅直渐近线.由知直线也是曲线的一条铅直渐

10、近线.三、无穷小与无穷大的关系定理2. 在自变量的同一变更过程中,假设为无穷大量,那么为无穷小量；假设为无穷小量且,那么为无穷大量.证明：设，那么，对于，有，即，即为时的无穷小量.反之，设且，那么，对于，有，又，从而，为时的无穷大量.类似可证的情形.第五节 极限运算法那么一、无穷小量的运算法那么定理1. 有限多个无穷小量的和还是无穷小量.证明:考虑两个无穷小量的和. 设，而.,取，于是，有，即.类似可证: 有限个无穷小量之和仍为无穷小量. 但无穷多个无穷小量之和未必是无穷小量，例如: .(后面再证明)定理2 .有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量.证明：设函数在的某一去心邻域内有界，即，有.又设

11、，即,.取.于是，有，即.推论1. 常数与无穷小量的乘积是无穷小量.推论2. 有限个无穷小量的乘积是无穷小量.例1. 求.解：由于，而，故.注：直线是曲线的程度渐近线.二、极限的四那么运算法那么定理 3 . 假设，那么有.证明：由，有(其中为无穷小量)于是, ，即.推论: 假设，且，那么.证明：令，那么，从而，由于，于是.说明:定理3可推广到有限个函数相加、减的情形.定理4.假设，那么有.证明：由，有(其中为无穷小量)于是, ，由于，从而.说明: 定理4可推广到有限个函数相乘的情形.推论1. ( C为常数).推论2. ( n为正整数).例2. 设 n 次多项式，试证.证明: .定理5. 假设，

12、且，那么有.证明：由，有(其中为无穷小量)设 ，因此 g 为无穷小量, 即，由极限与无穷小关系定理, 得.因为数列是一种特别的函数,下面定理给出数列的极限的运算法那么：定理6 . 假设，那么有(1). ；(2). ；(3). 当且时，.例3. 对分式函数，其中、是多项式，假设，试证: .证明：.例4. .例5. 求.解：由于，于是.例6. .分子分母同除以例7. .分子分母同除以例8. .解：由例7知，故例7知 .一般有如下结果： . ( 为非负常数)三、复合函数的极限运算法那么定理7. 设函数是由函数与复合而成，在点的某去心邻域内有定义，假设，且，那么.证明：由，当时，有.由对上述的，当时，

13、有.取，那么当时，有，从而有,即.注：假设定理中假设,那么有;假设,那么有.例8.求.解：令，那么，所以.例9.(分母有理化)另解：令，有，于是.本节的最终，我们应用极限的运算法那么来得到曲线的渐近线的具体表达式.四、曲线的斜渐近线定理8. 曲线在右(或左，或左右)方以直线为渐近线的充分必要条件是 (或，或)；(或，或).证明：必要性:设曲线在右方以为渐近线，点到直线的间隔 为，那么由渐近线的定义知，即，等价于，从而有.由此得，即.充分性：由得，从而.练习：试确定常数 a 使.解：令，那么，所以必有，故，即.第六节 极限存在准那么 两个重要极限一、极限存在准那么定理1.(夹逼准那么)假设函数满

14、意(1). 在的某一去心邻域内，有,(2). , 那么.证明：由知，,取，于是，有，即，因此.推论：假设数列、满意(1). ，当时，有,(2). ,那么.例1.求极限.解：由于，而，于是由夹逼准那么知.例2.证明：.证明：由于，而，由夹逼准那么知.定理2.(单调有界准那么)单调有界数列必收敛，即假设数列单调增加(或单调削减)且有上界(或有下界)，那么必存在.证明：仅就单调增加且有上界的情形证明,单调削减且有下界的情形类似可证.因为单调增加且有上界，由确界存在定理知，必有上确界.由上确界定义知，；，使，于是，有，即，因此，所以存在，且.注：单调增加有上界的数列的极限就是其上确界；单调削减有下界的

15、数列的极限就是其下确界.例3.设，证明数列极限存在，并求出其极限.证明：由数列的定义知，且.现用数学归纳法证明单调增加有上界.首先，设，那么，所以单调增加.其次，设，那么，综上可知单调增加有上界. 依据单调有界准那么，数列收敛，设，在等式两边令，取极限得，解得，但由极限的保号性知，故.例4.证明数列收敛.证明: 利用二项式公式, 有，比较可知，即数列单调增加. 由于时，有，即有上界. 依据单调有界准那么知数列收敛，将其极限记为，即，为自然对数的底，为无理数，其值为.定理3.(柯西收敛准那么)数列收敛的充分必要条件是，使得，有. 证明略.注：1.柯西收敛准那么的等价形式：数列收敛的充分必要条件是

16、，使得，有.2.数列发散的充要条件：数列收敛的充分必要条件是，使.例5.设，证明数列收敛.证明：，要使成立，只需，取.于是，使得，有，由柯西收敛准那么知，数列收敛.例6. 设，证明数列发散.证明：对，取，有，由柯西收敛准那么知数列发散.二、两个重要极限1.重要极限一：.证明：先设，作一单位圆，圆心角，点处的切线与的延长线相交与D，又，那么，由图易知，的面积扇形的面积的面积，即有，或，两边各项同除以，得，或 ，因为与都是偶函数，所以当时，不等式也成立，即有 ，从而 .令，由夹逼准那么得，从而.注：上述证明过程中，得到，于是有，.例7.例8.例9.2.重要极限二：.证明：，有或，记，那么当时，且，

17、而 ，故由夹逼准那么知.当时，令，那么，且，于是，.注：假设令，那么当时，从而得到第二个重要极限的另一种形式：.例10.例11.练习：填空.1. 0 2. 13. 0 4. 第七节 无穷小量的比较定义1.称两个无穷小量之比的极限为型未定型.定义2.设是自变量同一变更过程中的无穷小量，且.(1).假设，那么称b是比a高阶的无穷小量,记作，或称a是比b低阶的无穷小量.(2).假设，那么称b与a是同阶无穷小量,记作.(3).假设，那么称b与a是等价无穷小量,记作.(4).假设，那么称b是关于a的k阶无穷小量.例如：，即是比高阶的无穷小量，().，即是比低阶的无穷小量，().，即与是同阶无穷小量，()

18、.，即是关于的二阶无穷小量，().，即与是等价无穷小量，即，().例1. 证明: 当时，.证明：，于是.关于等价无穷小量，有下面两个等价无穷小量代换定理：定理1. .证明：.例如, 时，故时，.定理2. 设,且存在，那么.证明：.注：1.假设未定式的分子或分母为假设干个因子的乘积，那么可以对其中的随意一个或几个无穷小量因子用等价无穷小量来代换.2.假设未定式中含有函数的加、减运算，那么一般不能对其中的被加与被减函数进展等价无穷小量代换，否那么会出现错误.例2. .例3. .例4. .例5.错误会法：.不能对分子的差函数进展等价无穷小量代换.第八节 函数的连续性与连续点 一、函数连续的概念1.

19、函数连续的定义(1). 定义1：设函数在点的某一邻域内有定义，当从变到时，相应地从变到，假设趋近时，函数增量也趋近，即，那么称函数在点连续，并称点是的连续点.注：.(2). 定义2：设函数在点的某一邻域内有定义, 假设时， ，那么称在点连续，并称点是的连续点.注：用“语言表述：设函数在点的某一邻域内有定义，, ，有，那么称在点连续.注：函数在点连续必需具备以下条件:(1). 函数在点有定义，即存在；(2). 极限存在；(3). .2. 左连续、右连续左连续：.右连续：.注：.3. 区间上的连续函数：假设对，函数在点处连续，那么称在开区间 内连续. 假设在左端点处右连续、在右端点处左连续，那么称

20、在闭区间上连续.注：在一个区间上连续的函数的图形是一条连续不连续的曲线.例1.多项式函数在上连续，因为，.例2.有理分式函数其定义域内连续，因为当时，.例3.函数在内连续，因为.例4.证明：正弦函数在内连续.证明： ，由于，于是.由夹逼准那么知，即函数在内连续.同样可证: 函数在内连续.二、函数的连续点1. 连续点的定义：设函数在点的某一去心邻域内有定义, 假设有以下情形之一：(1). 函数在点无定义，即不存在；(2). 函数在点有定义，但极限不存在；(3). 函数在点有定义，且极限存在，但，那么称函数在点不连续(或连续)，并称点为的不连续点或连续点.2. 连续点分类:(1). 第一类连续点：

21、设点是函数的连续点，假设与都存在，那么称是 的第一类连续点. 其中，假设，那么称是的可去连续点；假设，那么称是的跳动连续点.(2). 第二类连续点：设点是函数的连续点，假设与至少一个不存在，那么称是的第一类连续点.其中，假设与中有一个为，那么称是的无穷连续点；假设与中有一个为振荡，那么称是的振荡连续点.例1.函数在点处无定义，所以是的连续点，又由于，所以是的无穷连续点.例2. 函数在点处无定义，所以是的连续点，又由于时，函数值在和之间变动无限屡次，所以是的振荡连续点.例3. 函数在点处无定义，所以是的连续点，由于，即左右极限都存在，所以是的可去连续点.例4. 函数在点处有定义，但由于，所以是的

22、连续点，由于，即左右极限都存在，所以是的可去连续点.例5. 函数在点处有定义，但由于，即左右极限都存在但不相等，所以点是的跳动连续点.第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的运算法那么 定理1.设函数和在点连续，那么它们的代数和、积以与商(当时)在点都连续.例1. 正切函数和余切函数在其定义域内都连续，因为和在区间连续.二、反函数与复合函数的连续性定理2. 假设函数在区间连续且单调增加(或单调削减)，那么它的反函数在对应的区间上连续且单调增加(或单调削减).例2. 函数在区间上连续且单调增加，它的反函数在区间上连续且单调增加.在点连续，函数在点处存在极限，且，又，那么复合函数点处

23、极限存在，且.注：由复合函数的极限运算法那么简洁验证.由定理3简洁得到下面的定理：定理4. 设函数在点连续，函数在点处连续，且，那么复合函数点处连续，且.注：当函数连续时，极限符号“与函数符号“可以交换次序.例3. .例4. 探讨函数的连续性.解：函数是由和符合而成，而在上连续，在连续，所以在上连续.三、初等函数的连续性定理5.一切初等函数在其定义区间内连续.注：定义区间是指包含在定义域内的区间.例5. .例6. .(由定理3得)即,当时，有.例7. .(令，那么，当时)即.定理6. 对幂指函数，假设，那么.例8. .第十节 闭区间上连续函数的性质一、有界性与最值性定理1.闭区间上的连续函数在

24、该区间上肯定有最大值和最小值.即：假设函数在闭区间上连续，那么，对，都有；且，使得；.注：假设函数在开区间上连续,或在闭区间内有连续点,那么函数在该区间上不肯定有界，也不肯定有最大值和最小值.例如：函数在内连续，但在该区间内无界，且既无最大值也无最小值；又如：函数在闭区间上有连续点，在该区间上有界，但既无最大值也无最小值.二、介值性1. 零点：对函数，假设，那么称点为的零点.2. 零点定理：假设函数在闭区间上连续其满意，那么至少存在一点，使得.几何直观：假设连续曲线弧的两个端点位于轴的不同侧，那么该曲线弧与轴至少有一个交点.由零点定理可得下面的一般性结论介值定理：3. 介值定理：假设函数在闭区间上连续其满意，那么对，至少存在一点，使得.证明: 作协助函数，那么在闭区间上连续，且，故由零点定理知, 至少有一点，使，即.几何意义：连续曲线弧与程度直线至少有一个交点.推论：闭区间上的连续函数必获得介于其最小值与最大值之间的任何值.例1.证明方程在区间内至少有一个根.证明：函数在上连续，且，,于是由零点定理知，至少存在一点，使得，即.