高数下册知识点[5].docx

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1、高等数学下册学问点第八章 空间解析几何及向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设，那么 , ； 5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：；2） 两点间的间隔 公式：3） 方向角：非零向量及三个坐标轴的正向的夹角4） 方向余弦：5） 投影：，其中为向量及的夹角。（二） 数量积，向量积1、 数量积：122、 向量积：大小：，方向：符合右手规那么12运算律：反交换律 （三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：2、 旋转曲

2、面：面上曲线，绕轴旋转一周：绕轴旋转一周：3、 柱面：表示母线平行于轴，准线为的柱面4、 二次曲面1） 椭圆锥面：2） 椭球面：旋转椭球面：3） 单叶双曲面：4） 双叶双曲面：5） 椭圆抛物面：6） 双曲抛物面马鞍面：7） 椭圆柱面：8） 双曲柱面：9） 抛物柱面：（四） 空间曲线及其方程1、 一般方程：2、 参数方程：，如螺旋线：3、 空间曲线在坐标面上的投影，消去，得到曲线在面上的投影（五） 平面及其方程1、 点法式方程： 法向量：，过点2、 一般式方程：截距式方程：3、 两平面的夹角：， 4、 点到平面的间隔 ：（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：2、 对称式点向式方程： 方向向量

3、：，过点3、 参数式方程：4、 两直线的夹角：， 5、 直线及平面的夹角：直线及它在平面上的投影的夹角， 第九章 多元函数微分法及其应用（一） 根本概念1、 间隔 ，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、 多元函数：，图形：3、 极限：4、 连续：5、 偏导数：6、 方向导数： 其中为的方向角。7、 梯度：，那么。8、 全微分：设，那么（二） 性质1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义122342、 闭区域上连续函数的性质有界性定理，最大最小值定理，介值定理3、 微分

4、法1） 定义： 2） 复合函数求导：链式法那么 假设，那么 ，3） 隐函数求导：两边求偏导，然后解方程组（三） 应用1、 极值1） 无条件极值：求函数的极值解方程组 求出全部驻点，对于每一个驻点，令， 假设，函数有微小值，假设，函数有极大值； 假设，函数没有极值； 假设，不定。2） 条件极值：求函数在条件下的极值令： 函数解方程组 2、 几何应用1） 曲线的切线及法平面曲线，那么上一点对应参数为处的切线方程为：法平面方程为：2） 曲面的切平面及法线曲面，那么上一点处的切平面方程为： 法线方程为：第十章 重积分（一） 二重积分1、 定义：2、 性质：6条3、 几何意义：曲顶柱体的体积。4、 计算

5、：1） 直角坐标，2） 极坐标 （二） 三重积分1、 定义： 2、 性质：3、 计算：1） 直角坐标 “先一后二 “先二后一2） 柱面坐标，3） 球面坐标（三） 应用曲面的面积：第十一章 曲线积分及曲面积分（一） 对弧长的曲线积分1、 定义：2、 性质：1 2 3在上，假设，那么4 ( l 为曲线弧 L的长度)3、 计算：设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，那么（二） 对坐标的曲线积分1、 定义：设 L 为面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数，在 L 上有界，定义，.向量形式：2、 性质： 用表示的反向弧 , 那么3、 计算：设在有向光滑弧上有定义且连续,

6、 的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，那么4、 两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为，上点处的切向量的方向角为：，那么.（三） 格林公式1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数在 D 上具有连续一阶偏导数, 那么有2、为一个单连通区域，函数在上具有连续一阶偏导数，那么 曲线积分 在内及途径无关曲线积分 在内为某一个函数的全微分（四） 对面积的曲面积分1、 定义：设为光滑曲面，函数是定义在上的一个有界函数，定义 2、 计算：“一单二投三代入，那么（五） 对坐标的曲面积分1、 预备学问：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、 定义：设为有向光滑曲面，函数是定义在

7、上的有界函数，定义 同理，3、 性质：1，那么2表示及取相反侧的有向曲面 , 那么4、 计算：“一投二代三定号，在上具有一阶连续偏导数，在上连续，那么,为上侧取“ + ， 为下侧取“ - .5、 两类曲面积分之间的关系：其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。（六） 高斯公式1、 高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成, 的方向取外侧, 函数在上有连续的一阶偏导数, 那么有或2、 通量及散度通量：向量场通过曲面指定侧的通量为：散度：（七） 斯托克斯公式1、 斯托克斯公式：设光滑曲面 S 的边界 G是分段光滑曲线, S 的侧及 G 的正向符合右手法那么, 在包含 在内的一个空间域内具有连续

8、一阶偏导数, 那么有为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:2、 环流量及旋度环流量：向量场沿着有向闭曲线G的环流量为旋度：第十二章 无穷级数（一） 常数项级数1、 定义：1无穷级数：部分和：，正项级数：，交织级数：，2级数收敛：假设存在，那么称级数收敛，否那么称级数发散3条件收敛：收敛，而发散；确定收敛：收敛。2、 性质：1） 变更有限项不影响级数的收敛性；2） 级数，收敛，那么收敛；3） 级数收敛，那么随意加括号后照旧收敛；4） 必要条件：级数收敛.留意：不是充分条件！3、 审敛法正项级数：，1） 定义：存在；2） 收敛有界；3） 比较审敛法：，为正项级数，且 假设收敛，那么收敛；假设发散，那

9、么发散.4） 比较法的推论：，为正项级数，假设存在正整数，当时，而收敛，那么收敛；假设存在正整数，当时，而发散，那么发散. 5） 比较法的极限形式：，为正项级数，假设，而收敛，那么收敛；假设或，而发散，那么发散.6） 比值法：为正项级数，设，那么当时，级数收敛；那么当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散.7） 根值法：为正项级数，设，那么当时，级数收敛；那么当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散.8） 极限审敛法：为正项级数，假设或，那么级数发散；假设存在，使得，那么级数收敛.交织级数：莱布尼茨审敛法：交织级数：，满意：，且，那么级数收敛。随意项级数：确定收敛，那么收敛。常见典型级

10、数：几何级数：p -级数：（二） 函数项级数1、 定义：函数项级数，收敛域，收敛半径，和函数；2、 幂级数：收敛半径的求法：，那么收敛半径 3、 泰勒级数 绽开步骤：干脆绽开法1） 求出；2） 求出；3） 写出；4） 验证是否成立。间接绽开法：利用函数的绽开式1；2；3；4；56784、 傅里叶级数1） 定义：正交系：函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间上积分为零。傅里叶级数：系数： 2） 收敛定理：(绽开定理)设 f (x) 是周期为2p的周期函数, 并满意狄利克雷( )条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类连续点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 那么 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有3） 傅里叶绽开：求出系数：；写出傅里叶级数；依据收敛定理断定收敛性。