四中高考数学总复习函数的基本性质提高知识梳理.docx

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1、函数的根本性质进步【考纲要求】1. 理解函数的定义域、值域，并能简洁求解2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合详细函数，理解函数奇偶性的含义3. 会运用函数图象理解和探讨函数的性质【学问网络】函数的根本性质奇偶性单调性周期性【考点梳理】1单调性1一般地，设函数的定义域为假如对于定义域内某个区间上的随意两个自变量的值，当时，假设都有，那么就说函数在区间上单调递增，假设都有，那么就说函数在区间上单调递减。2假如函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有严格的单调性，区间叫做的单调区间。3推断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像定义法：用定义法证明函数的

2、单调性的一般步骤是设，且；作差；变形合并同类项、通分、分解因式、配方等推断的正负符号；依据定义下结论。复合函数分析法设，都是单调函数，那么在上也是单调函数，其单调性由“同增异减来确定，即“里外函数增减性一样，复合函数为增函数，“里外函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：增增增增减减减增减减减增导数证明法：设在某个区间内有导数，假设在区间内，总有，那么在区间上为增函数减函数；反之，假设在区间内为增函数减函数，那么。图像法：一般通过条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。2、奇偶性(1)定义:假如对于函数f(x)的定义域内的随意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么称f(x)为这肯定

3、义域内的奇函数;假如对于函数f(x)的定义域内的随意一个x,都有f(-x)=f(x),那么称f(x)为这肯定义域内的偶函数.理解：()上述定义要求一对实数x,-x必需同时都在f(x)的定义域内,留意到实数x,-x在x轴上的对应点关于原点对称(或及原点重合),故知f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要条件.()推断函数奇偶性的步骤:考察函数定义域;考察f(-x)及f(x)的关系;依据定义作出推断.()定义中条件的等价转化f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0;或f(-x)=-f(x) =-1 (f(x)0)f(-x)= f(x) f(x)-f(-x)=0;或f(-x)=f

4、(x) =1 (f(x)0)(2)延长() 设函数f(x)是定义域关于原点对称的随意一个函数,那么有f(x)=+ =g(x)+p(x)其中,g(x)= 为偶函数,p(x)= 为奇函数.即对于定义域关于原点对称的任何一个函数f(x), f(x)总可以表示为一个奇函数及一个偶函数的和.()假设f(x)为奇函数且零属于f(x)的定义域,那么f(0)=0.(3)奇(偶)函数图像的特征()奇函数图像关于原点对称;()偶函数图像关于y轴对称.(4)奇偶性及单调性的联络当函数f(x)既具奇偶性,又在某区间上单调时,我们可利用奇、偶函数的定义导出以下命题:设G,G为函数的定义域的子区间，并且区间及关于原点对称

5、，那么有()当为奇函数时，在区间和区间上的单调性一样；()当为偶函数时，在区间和区间上的单调性相反这一命题又可凝练为八个字：区间对称，奇同偶反【典型例题】类型一、求推断函数的单调区间数在区间是增函数。解：设， 函数在区间是增函数。举一反三：【变式】求以下函数的单调区间：(1)y=|x+1|； (2)(3).解：(1)画出函数图象，函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+)；(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-，0)及(0，+)为减函数，那么上为减函数；(3)定义域为(-，0)(0，+)，单调增区间为：(-，0)，单调减区间为(0，+).类型二、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数

6、值域，求函数的最大值或最小值)例2. 二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.解：(1)对称轴是确定f(x)单调性的关键，联络图象可知只需；(2)f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又a2，-2a-4f(2)=-2a+11-4+11=7.举一反三：【变式】函数，假设关于x的方程有两个不同的实根，那么实数k的取值范围是_. 解：单调递减且值域(0,1，单调递增且值域为，由图象知，假设有两个不同的实根，那么实数k的取值范围是0,1.类型三、推断函数的奇偶性例3. 推断以下函数的奇偶性：(1) (2)(3)f(x)=x

7、2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6) (7)解析：(1)f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)x-10，f(x)定义域不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数；(3)对随意xR，都有-xR，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，那么f(x)=x2-4|x|+3为偶函数 ；(4)xR，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，f(x)为奇函数；(5)，f(x)为奇函数；(6)xR，f(x)=-x|x|+x f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，f(x)为奇函数；(

8、7)，f(x)为奇函数.举一反三：【变式】f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域一样，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)g(x)那么F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x)=-F(x)G(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)-g(x)=f(x)g(x)=G(x)f(x)+g(x)为奇函数，f(x)g(x)为偶函数.类型四、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，及单调性结合)例4设是偶函数1求的值;2证明：在上为增函数解析：1方法一：是偶函数且其定义域为， ， ，解得或， 方法

9、二：是偶函数且其定义域为， 当时即，解得或 2方法一：定义法由1知：设，那么， ，即故在上为增函数。方法二：导数法由1知：，时时故在上为增函数。点评：偶函数在其定义域内恒成立，因此可以应用恒等式的相关方法进展处理。在利用定义法证明单调性的时候，必需留意书写格式的标准。举一反三：【变式】函数f(x)在(1，1)上有定义，f()=1,当且仅当0x1时f(x)0,且对随意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减 【答案】(1)证明：由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f

10、()=f(0)=0 f(x)=f(x)，f(x)为奇函数 (2)证明：先证f(x)在(0，1)上单调递减 令0x1x21,那么f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1)=f()0x1x20,1x1x20，0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0x2x11x2x1,01,由题意知f()0，即f(x2)f(x1)f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0f(x)在(1，1)上为减函数。 类型五：分段函数的根本性质例5函数，求：1的值；2的定义域、值域。解析：1， 2的定义域为，即当时，；当时，；当时，；综上可得的值域为。点评：分段函数分段探讨，先部分后整体；结果应当要并。举一反三：【变式】设，那么 ， .【答案】：。解析：，；，.