五年级暑假奥数自编讲义.docx

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1、第一讲 统筹问题 在日常生活和消费中，我们会常常遇到一些事情须要进展合理、科学地支配，既要在指定时间内完成任务，又要考虑到精打细算，用最少的时间、人力、物力，发挥出最大的效率。这就涉与这一章的学问“统筹问题。它包含的内容特别广泛，例如统筹支配问题、排队问题、最短路途问题、场地设置问题、物资调运问题、最省运费问题等等，每类问题都有特定的解法。这些来源于生活的实际问题，正是启发同学们学数学、用数学最好的思维熬炼题目。例1 赵乡长下村召集甲、乙、丙、丁四个村的干部开会，这四个村子，每两个村子都是相距5千米(如以下图)，参与会议的人数甲村8人，乙村5人，丙村3人，丁村7人。试求赵乡长应在( )村子召集

2、会议最为合理。 甲村 乙村 丙村 丁村 8人 5人 3人 7人点拔 要使全部参与会议的人所走路程的总和最小，首先，某村人数是总人数的一半以上，该村就是设置会场的最好地点，这称为“小往大靠。 其次，某村人数不超过总人数的一半，可以把本村人移到邻近 村庄，这称“支往干靠。解 四村总人数的一半是(8537)211.5(人)，没有一个村庄的人数多于11.5人，属于“支往干靠。 甲村人数乙村人数8513(人) 丙村人数丁村人数3710(人) 因为1013，所以“小往大靠。 明显会议地点应选在乙村最为合理。例2 天津和广州同时制成大型电子计算机假设干台，天津可调往外地12台，广州可调往外地6台。现确定给成

3、都调去10台，给合肥调去8台，假设每台运费如下表所示，问怎样调运运费最省？点拨一 依题意，设广州调往合肥x台(x6)。依据题中的相应数量关系列关于总费用的关系式，再通过对最值问题的讨论，那么问题易解。解法一 设广州调往合肥x台(16)，那么广州调往成都应为(6x)台，天津调往合肥(8x)台，天津调往成都12(8x)(4x)台，那么总费用为： 400x600(6x)500(8x)900(4x) 400x600x500x900x360040003600 200x11200 要使运费最省，只有当x0时，这时总运费为11200元。即天津调运4台到成都，调运8台到合肥，广州的6台全调运至成都，运费最省。

4、点拨二 通常从运费最少的地方考虑，如广州的6台全运给合肥，那么合肥还缺2台，再从天津运2台给合肥，其余运给成都。计算总费用，但不肯定最少。还应比较一下，须要量多、运费也多的地方如何运才能使运费最省，如广州的6台全运给成都后，再从天津运4台给成都，其余全部运给合肥。计算总运费，比较一下便知，怎样调运运费最少。解法二 通常从运费最少的那个地方考虑，如广州的6台全运往合肥只需40062400(元)，还缺2台，再从天津运来2台运费为50021000(元)，总计：240010003400(元)，与上面计算的从天津调8台到合肥的运费50084000(元)比较是节约了，但总的费用反而多：1090034001

5、2400。这就告知我们，应当先比较一下，须要量多运费也多的地方如何运最省。如运往成都，广州6台运费60063600(元)，成都还缺少4台，再从天津调运，运费90043600(元)，比干脆从天津调运到成都省10900360036001800(元)。因此天津调运4台到成都，调运8台到合肥，广州的6台调运至成都，运费最少。例3 (“华罗庚金杯决赛试题)有十个村庄，坐落在从水库动身的一条马路上(如以下图，间隔 单位是千米)，要安装水管，从水库送自来水供应各村，可以用粗细两种水管。粗管足够供应全部各村用水，细管只能供应一个村用水。粗管每千米要用8000元，细管每千米要用2000元。把粗管和细管适当搭配、

6、互相连接，可以降低工程的总费用，按你认为最节约的方法，费用应是多少？点拨 由题意可知，粗管每千米的费用正好是细管每千米费用的4倍，因此，假如在同一段上要安装4根以上的细管，就应当用一根粗管来代替，便可降低工程的总费用。解 假设从水库到每个村子都各接一根细管(如上图)，那么在AB1、AB2、AB3、AB4、AB5、AB6之间各有10根、9根、8根、7根、6根、5根细管，应当把A与B6之间都换装粗管，工程的总费用将最低，这时的总费用是 8000(3052423)2000(2423225)414000(元)说明 做这类问题时，依据粗管费用是细管费用的a倍(或a倍)，那么最终a(或a1)个村子用细管，

7、这样费用最省。例4 (北京市“迎春杯竞赛试题)甲地有89吨货物运到乙地，大卡车的载重量是7吨，小卡车的载重量是4吨，大卡车运一趟货物耗油14升，小卡车运一趟货物耗油9升。运完这些货物最少耗油多少升？点拨 大卡车载重7吨，运一趟货物用汽油14升，运1吨货平均用汽油1472(升)；小卡车载重4吨，运一趟货物用汽油9升，运一吨货平均耗油942(升)。因为大卡车比小卡车耗油量少，应尽量用大卡车运。解 (1)假如89吨全用大卡车运，要运89713(趟)，耗油1413182(升)。 (2)假如用大卡车运12趟，897125，所以剩下的5吨要用小卡车运2趟，耗油141292186(升)。 (3)假如用大卡车

8、运11趟，8971112，所以剩下的12吨用小卡车运3趟，耗油141193181(升)。 三种方法比较，支配大卡车运11趟，小卡车运3趟耗油最少，最少耗油181升。说明 计算这类问题时要留意，不肯定是大、小卡车正好把货物装完才最省油，须要尝试几种运法后才能得出正确答案。例5 (第二届“祖冲之杯邀请赛试题)某人从住地外出有两种方案，一种是骑自行车去，另一种是乘公共汽车去。明显公共汽车的速度比自行车的速度快，但乘公共汽车有一个等候时间(候车时间可看做是固定不变的)。在任何状况下，他总会采纳花时间最少的最正确方案。下表表示他到达A、B、C三地采纳最正确方案所须要的时间。为了到达离他8千米的地方，他须

9、要花多少分钟？请简述理由。目的地目的地距住地的路程最正确方案所需时间A地2千米12分钟B地3千米C地4千米18分钟点拨 A、B两地离住地相差1千米，多用3.5分钟；而B、C两地离住地相差1千米，只多用2.5分钟，由此可见，到A、B、C三地采纳了不同的方案。由于候车时间是固定的，由常识可知较远处的C地是乘公共汽车，而较近的A地是骑自行车。解 明显去B地不是骑自行车，因为假如去B地采纳骑自行车的方案，那么须要的时间是(122)318(分钟)，而实际最正确方案只需15.5分钟，所以去B地是乘公共汽车。 由B、C两地都是乘公共汽车，可知汽车行1千米需1815.52.5(分钟)，由此又可算出候车时间是8

10、分钟。828(分钟)。说明 这类题要依据路程间的相差关系和时间的相差关系来确定出最正确方案。例6 有四辆汽车要派往五个地点运送货物(如右图)，中的数字分别表示五个地点完成任务须要的装卸工人数，五个地点共需装卸工20人。假如有些装卸工可以跟车走，那么应如何支配跟车人数与各点的装卸工人数，使完成任务所用的装卸工总人数最少？点拨一 可用尝试法。因为五个地点中需装卸工最多的是5个人，所以假如每辆车跟5名工人，那么每辆车到达任何一个地点，都能正常进展装卸。由此得到，跟车人数的摸索范围是15人。解法一 假设每车跟车5人，那么各点不用支配人，共需20人；假设每车跟车4人，那么原来需5人的点还需各支配1人，共

11、需18人； 假设每车跟车3人，那么原来需5人的点还需各支配2人，原来需4人的点还需各支配1人，共需17人； 同理可求出，每车跟车2人，共需18人；每车跟车1人，共需19人。 可见，支配每车跟车3人，原来需5人的两个点各支配2人，原来需4人的点支配1人，这时所用的装卸工总人数最少，需17人。点拨二 假设有m个地点，n辆车(nm)，m个地点须要的人数按从多到少排列为 A1A2A3Am， 那么须要的最少总人数就是前n个数之和，即 A1A2An。 这时每车的跟车人数可以是An1至An之间的任一数。解法二 详细到例6，5个点4辆车，5个点中须要人数最多的4个数之和，即554317(人)就是须要的最少总人

12、数，因为A4A53，所以每车跟车3人。假设在例6是只有2辆车，其他条件不变，那么最少须要5510(人)，因为A25，A34，所以每车跟车5人或4人。当每车跟车5人时，全部点不再支配人；当每车跟车4人时，须要5人的两个点各支配1人，其余点担心排人。说明 假如车辆数大于地点数，即nm，那么跟车人数是0，各点须要人数之和就是总共须要的最少人数。例7 (第四届“盼望杯邀请赛试题)某班40名师生星期天参与植树活动，师生按身体状况分成甲、乙、丙三种人员。他们的任务是挖树坑和运树苗两种活，要求挖树坑30人，运树苗那么运得越多越好。甲、乙、丙三种劳动人员的效率，如下表所示，试求最合理的人员安排方案与运树苗总数

13、。点拔 看了题目后，肯定会有人觉得这个问题不难解决，可以让甲种人员去挖坑，乙种和丙种人员去运树苗。这的确是一种方案。由于这种方案满意挖30个坑的要求，并且运树苗为220棵(1015710)。但这种方案不是最优方案。我们的目的是在完成挖树坑30个的根底上，使运树苗尽可能多，此时应用的方法是“相对效率法。解 先求出各种劳动人员的挖坑与运树的相对效率： 甲0.1，乙0.12，丙 由此得到：甲丙乙。10)，还差4个树坑，最终支配2个甲种人员去挖坑，这样30个树坑的任务全都支配好了，剩下的13名甲种人员是运树，可运260棵(2013)树苗。这明显比前面所得220棵要多，如此得到了最优方案。即由13名甲种

14、人员去运树苗，其余的人员全部去挖树坑。说明 “相对效率是指一名劳动人员干两种工作的效率之比，如此题中甲种劳动人员挖树坑与运树苗的效率之比是0.1，它是指甲种劳动人员平均运一棵树，相当于他挖0.1个树坑。又如乙种劳动人员的相对效率是0.12，即乙种人员运一棵树，相当于他挖0.12个树坑。如此可知，虽然乙种人员一天内挖树坑或运树苗的单一效率比甲种人员差，但相对效率却比甲高，这就是说乙种人员在挖树坑时要比运树苗发挥的能量更大。练习一1.A、B两个粮店分别有70吨和60吨大米，甲、乙、丙三个居民点分别须要30吨、40吨和50吨大米。从A、B两粮店每运1吨大米到三个居民点的运费如下表所示。如何调运才能使

15、运费最少？2. 电车公司修理站有7辆电车须要进展修理。假如用一名工人修理这7辆电车的修复时间分别为12分钟、17分钟、8分钟、18分钟、23分钟、30分钟、14分钟。每辆电车每停开1分钟经济损失11元。如今由3名工作效率一样的修理工人各自单独工作，要使经济损失减到最低程度，最少损失多少元？3.某蔬菜专业队有甲等劳力15人、乙等劳力23人、丙等劳力15人、丁等劳力25人，他们既要整地，又要种菜，而且要求每天整出的地要与时种上菜。应如何调配支配劳力，才能使一天种菜25公亩，并整地尽量多？(各种劳力整地和种菜的效率如下表)4. A、B两地油井每月各产原油30万吨、50万吨，打算投资修建座炼油厂，加工

16、A、B两地所产的原油。炼油厂建于何处时，才能使运费最省？(两地吨公里运费一样)5. 打字室收到一份共12整页的文件，要求尽快打印。小王每小时能打3页，小红每小时能打4页。两人同时打字，小王和小红各打多少页完成任务最快？须要多少小时？6. 某水池可以用甲、乙两个水管注水，单放甲管需12小时注满，单放乙管需24小时注满。如今要求10小时注满水池，并且甲、乙两管合放的时间尽可能的少，那么甲、乙合放最少需多少小时？7.有一个80人的观光团，其中男50人，女30人，他们住的旅馆有11人、7人和5人的三种房间。男、女分住不同房间，而且每个房间都按原定人数住满了旅游团的成员。他们至少要住几个房间？8.一条单

17、线铁路上有A、B、C、D、E五个车站，它们之间的间隔 如以下图所示(单位：千米)。两列火车同时从A、E两站相对开出，从A站开出的火车每小时行60千米，从E站开出的火车每小时行50千米。由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道，要使对面开来的列车通过，须在车站停车，才能让开行车轨道。因此应当支配在( )站相遇，才能使停车等待的时间最短。先到这一站的那列火车至少须要停车( )分钟。9. 某种产品是由一个大零件和两个小零件组成的，师傅每小时可消费9个大零件或者14个小零件。徒弟每小时可消费3个大零件或者10个小零件。如今要消费27个这种产品，两人合作至少用多少小时？10.建筑工程队给窗户安铁齿，须要长

18、度分别为44cm、36cm、65.5cm的钢筋。如今有一批长800cm的钢条，每锯断一根须要损耗0.5cm。最好每根800cm长的钢筋锯成44cm的( )根，36cm的( )根，65.5cm的( )根才不奢侈。11. 某缝纫社有甲、乙、丙、丁四个小组，甲组每天能缝制8件上衣或10条裤子；乙组每天能缝制9件上衣或12条裤子；丙组每天能缝制7件上衣或11条裤子；丁组每天能缝制6件上衣或7条裤子。如今上衣和裤子要配套缝制(每套一件上衣和一条裤子)，7天中这四个小组最多可缝制多少套衣服？12. 钢筋原材料每件长7.3米，每套钢筋架子用长2.9米、2.1米和1.5米的钢筋各一段。如今须要绑好钢筋架子10

19、0套，至少要用去原材料几件？截料方法怎样最省？13. 有100名少先队员在岸边打算坐船去湖中离岸边600米的甲岛，等最终一人到达甲岛15分钟后，再去离甲岛900米的乙岛。现有机船和木船可各坐10人和25人，机船速度为每分钟300米，机船速度是木船速度的两倍。最终一批少先队员到达乙岛最短须要多长时间？(按小时计算)14. 甲、乙两个服装厂的工人和设备都能全力消费同一规格的西服。甲厂每月用的时间消费上衣，的时间消费裤子，全月恰好消费900套西服；乙厂每月用的时间消费上衣，的时间消费裤子，全月恰好消费1200套西服。如今两厂结合消费，尽量发挥各自特长多消费西服，那么如今每月比过去多消费西服多少套？1

20、5.某自然气站要安装自然气管道通往位于一条环形线上的AG七个居民区，每两个居民区间的间隔 如右图所示(单位：千米)。管道有粗、细两种规格，粗管可供全部七个居民区用气，每千米8000元；细管只能供一个居民区用气，每千米3000元。粗、细管的转接处必需在居民区中，问应怎样搭配运用这两种管道才能使费用最省？第二讲 时钟问题 时钟问题就是讨论钟面上时针和分针关系的问题。大家都知道，钟面的一周分为60格，分针每走60格，时针正好走5格，所以时针的速度是分针速度的。时钟问题常常围围着两针指时针与分针重合、垂直、两针成直线、两针成多少度角提出问题。因为时针与分针的速度不同，并且都沿顺时针方向转动，所以常常将

21、时钟问题转化为追与问题来解。例1 如今是2点，什么时候时针与分针第一次重合？分析：如右图所示，2点分针指向12，时针指向2，分针在时针后面 例2 在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻互相垂直？分析：7点时分针指向12，时针指向7见右图，分针在时针后 面5735格。时针与分针垂直，即时针与分针相差15格，在7点与8点之间，有以下图所示的两种状况： 1顺时针方向看，分针在时针后面15格。从7点开始，分针要比时针多走35-15=20格，需 2顺时针方向看，分针在时针前面15格。从7点开始，分针要比时针多走351550格，需例3 在3点与4点之间，时针和分针在什么时刻位于一条直线上？分析：3点时分针

22、指向12，时针指向3见右图，分针在时针后 面5315格。时针与分针在一条直线上，可分为时针与分针重合、时针与分针成180角两种状况见以下图：1时针与分针重合。从3点开始，分针要比时针多走15格，需152时针与分针成180角。从3点开始，分针要比时针多走1530例4 晚上7点到8点之间电视里播出一部动画片，开始时分针与时针正好成一条直线，完毕时两针正好重合。这部动画片播出了多长时间？分析：这道题可以利用例3的方法，先求出开始的时刻和完毕的时刻，再求出播出时间。但在这里，我们可以简化一下。因为开始时两针成180，完毕时两针重合，分针比时针多转半圈，即多走30格，所以播出时间为例5、 3点过多少分时

23、，时针和分针离“3的间隔 相等，并且在“3的两边？分析：假设3点以后，时针以相反的方向行走，时针和分针相遇的时刻就是此题所求的时刻。这就变成了相遇问题，两针所行间隔 和是15个格。例6 小明做作业的时间缺乏1时，他发觉完毕时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。小明做作业用了多少时间？分析：从左上图我们可以看出，时针从A走到B，分针从B走到A，两针一共走了一圈。换一个角度，问题可以化为：时针、分针同时从B动身，反向而行，它们在A点相遇。两针所行的间隔 和是60格，分针每分钟走小格。那么两针相遇时间是练 习 二1、 时针与分针在9点多少分时第一次重合？2、 王师傅2点多钟

24、开始工作时，时针与分针正好重合在一起。5点多钟完工时，时针与分针正好又重合在一起。王师傅工作了多长时间？3、8点50分以后，经过多长时间，时针与分针第一次在一条直线上？4、 小红8点钟开始画一幅画，正好在时针与分针第三次垂直时完成，此时是几点几分？5、3点36分时，时针与分针形成的夹角是多少度？6、3点过多少分时，时针和分针离“2的间隔 相等，并且在“2的两边？7、早晨小亮从镜子中看到表的指针指在6点20分，他赶快起床出去跑步，可跑步回来妈妈告知他刚到6点20分。问：小亮跑步用了多长时间？ 第三讲 百分数百分数有两种不同的定义。1分母是100的分数叫做百分数。这种定义着眼于形式，把百分数作为分

25、数的一种特别形式。2表示一个数比较数是另一个数标准数的百分之几的数叫做百分数。这种定义着眼于应用，用来表示两个数的比。所以百分数又叫百分比或百分率。 百分数通常不写成分数形式，而采纳符号“来表示，叫做百分号。 在第二种定义中，出现了比较数、标准数、分率百分数，这三者的关系如下：比较数标准数=分率百分数，标准数分率=比较数，比较数分率=标准数。依据比较数、标准数、分率三者的关系，就可以解答很多与百分数有关的应用题。例1、纺织厂的女工占全厂人数的80，一车间的男工占全厂男工的25。问：一车间的男工占全厂人数的百分之几？分析与解：因为“女工占全厂人数的80，所以男工占全厂人数的1-80=20。又因为

26、“一车间的男工占全厂男工的25，所以一车间的男工占全厂人数的2025=5。例2、学校去年春季植树500棵，成活率为85，去年秋季植树的成活率为90。去年春季比秋季多死了20棵树，那么去年学校共种活了多少棵树？分析与解：去年春季种的树活了50085=425棵，死了500-425=75棵。去年秋季种的树，死了75-20=55棵，活了 551-9090=495棵。所以，去年学校共种活425+495=920棵。例3、一次考试共有5道试题。做对第1，2，3，4，5题的人数分别占参与考试人数的85，95，90，75，80。假如做对三道或三道以上为与格，那么这次考试的与格率至少是多少？分析与解：因为百分数的

27、含义是部分量占总量的百分之几，所以不妨设总量即参与考试的人数为100。由此得到做错第1题的有1001-85=15人；同理可得，做错第2，3，4，5题的分别有5，10，25，20人。总共做错15+5+10+25+20=75题。一人做错3道或3道以上为不与格，由753=25人，推知至多有25人不与格，也就是说至少有75人与格，与格率至少是75。例4、育红小学四年级学生比三年级学生多25，五年级学生比四年级学生少10，六年级学生比五年级学生多10。假如六年级学生比三年级学生多38人，那么三至六年级共有多少名学生？分析：以三年级学生人数为标准量，那么四年级是三年级的125，五年级是三年级的1251-1

28、0，六年级是三年级的1251-101+10。因为六年级比三年级多38人，所以可依据六年级的人数列方程。解：设三年级有x名学生，依据六年级的人数可列方程：x1251-101+10=x+38，x12590110=x+38，1.2375x=x+38，0.2375x=38，x=160。三年级有160名学生。四年级有学生 160125=200名。五年级有学生2001-10180名。六年级有学生 160+38=198名。160+200+180+198=738名。答：三至六年级共有学生738名。在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题。我们都知道，将糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。假如

29、水的量不变，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是说，糖水甜的程度是由糖溶质与糖水溶液=糖+水二者重量的比值确定的，这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二者重量的比值就叫酒精含量。溶质、溶剂、溶液与溶质含量有如下根本关系：溶液重量=溶质重量+溶剂重量，溶质含量=溶质重量溶液重量，溶液重量=溶质重量溶质含量，溶质重量=溶液重量溶质含量。溶质含量通常用百分数表示。例如，10克白糖溶于90克水中，含糖量溶例5、有含糖量为7的糖水600克，要使其含糖量加大到10，须要再参与多少克糖？分析与解：在600克含糖量为7的糖水中，有糖溶质6007=42克。 设再加x克糖，可使其

30、含糖量加大到10。此时溶质有42+x克，溶液有600+x克，依据溶质含量可得方程答：须要再参与20克糖。例6、仓库运来含水量为90的一种水果100千克，一星期后再测，发觉含水量降低到80。如今这批水果的总重量是多少千克？分析与解：可将水果分成“水和“果两部分。一开始，果重1001-90=10千克。一星期后含水量变为80，“果与“水的比值为因为“果始终是10千克，可求出此时“水的重量为所以总重量是10+40=50千克。练习三1. 某修路队修一条路，5天完成了全长的20。照此计算，完成任务还需多少天？2. 服装厂一车间人数占全厂的25，二车间人数比一车间少20，三车间人数比二车间多30。三车间有1

31、56人，全厂有多少人？3. 有三块地，第二块地的面积是第一块地的80，第三块地的面积比第二块多20，三块地共69公顷，求三块地各多少公顷。4. 某工厂四个季度的全勤率分别为90，86，92，94。问：全年全勤的人至少占百分之几？5. 有酒精含量为30的酒精溶液假设干，加了肯定数量的水后稀释成酒精含量为24的溶液，假如再参与同样多的水，那么酒精含量将变为多少？6. 配制硫酸含量为20的硫酸溶液1000克，须要用硫酸含量为18和23的硫酸溶液各多少克？7. 有一堆含水量14.5的煤，经过一段时间的风干，含水量降为10，如今这堆煤的重量是原来的百分之几？第四讲 浓度问题在百分数应用题中有一类叫溶液配

32、比问题，即浓度问题。我们知道，将糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。假如水的量不变，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是说糖水甜的程度是由糖溶质与糖水溶液糖+水二者质量的比值确定的。这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二者质量的比值叫酒精含量。因此浓度就是溶质质量与溶液质量的比值，通常用百分数表示，即，浓度溶质质量/溶液质量100溶质质量/溶质质量溶剂质量100%解答浓度问题，首先要弄清什么是浓度。在解答浓度问题时，依据题意列方程解答比较简单，在列方程时，要留意找寻题目中数量问题的相等关系。浓度问题变更多，有些题目难度较大，计算也较困难。

33、要依据题目的条件和问题逐一分析，也可以分步解答。【例题1】有含糖量为7的糖水600克，要使其含糖量加大到10，须要再参与多少克糖？【思路导航】依据题意，在7的糖水中加糖就变更了原来糖水的浓度，糖的质量增加了，糖水的质量也增加了，但水的质量并没有变更。因此，可以先依据原来糖水中的浓度求出水的质量，再依据后来糖水中的浓度求出如今糖水的质量，用如今糖水的质量减去原来糖水的质量就是增加的糖的质量。原来糖水中水的质量：60017558克如今糖水的质量 ：558110620克参与糖的质量 ：62060020克答：须要参与20克糖。练习1：1如今有浓度为20的糖水300克，要把它变成浓度为40的糖水，须要加

34、糖多少克？2有含盐15的盐水20千克，要使盐水的浓度为20，需加盐多少千克？3有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了200毫升清水，乙瓶里装了200毫升纯酒精。第一次把20毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶，此时甲瓶里含纯酒精多，还是乙瓶里含水多？【例题2】一种35的新农药，如稀释到1.75时，治虫最有效。用多少千克浓度为35的农药加多少千克水，才能配成1.75的农药800千克？【思路导航】把浓度高的溶液经添加溶剂变为浓度低的溶液的过程称为稀释。在这种稀释过程中，溶质的质量是不变的。这是解这类问题的关键。800千克1.75的农药含纯农药的质量为8001.7514千克含14千克纯

35、农药的35的农药质量为143540千克由40千克农药稀释为800千克农药应加水的质量为80040760千克答：用40千克的浓度为35的农药中添加760千克水，才能配成浓度为1.75的农药800千克。练习2：1用含氨0.15的氨水进展油菜追肥。现有含氨16的氨水30千克，配置时需加水多少千克？2仓库运来含水量为90的一种水果100千克。一星期后再测，发觉含水量降低到80。如今这批水果的质量是多少千克？3一容器内装有10升纯酒精，倒出2.5升后，用水加满；再倒出5升，再用水加满。这时容器内溶液的浓度是多少？【例题3】现有浓度为10的盐水20千克。再参与多少千克浓度为30的盐水，可以得到浓度为22的

36、盐水？【思路导航】这是一个溶液混合问题。混合前、后溶液的浓度变更了，但总体上溶质与溶液的总质量没有变更。所以，混合前两种溶液中溶质的和等于混合后溶液中的溶质的量。20千克10的盐水中含盐的质量20102千克混合成22时，20千克溶液中含盐的质量2022404千克需加30盐水溶液的质量4.42302230千克答：需参与30千克浓度为30的盐水，可以得到浓度为22的盐水。练习3：1在100千克浓度为50的硫酸溶液中，再参与多少千克浓度为5的硫酸溶液就可以配制成25的硫酸溶液？2浓度为70的酒精溶液500克与浓度为50的酒精溶液300克混合后所得到的酒精溶液的浓度是多少？3在20的盐水中参与10千克

37、水，浓度为15。再参与多少千克盐，浓度为25？【例题4】将20的盐水与5的盐水混合，配成15的盐水600克，须要20的盐水和5的盐水各多少克？【思路导航】依据题意，将20的盐水与5的盐水混合配成15的盐水，说明混合前两种盐水中盐的质量和与混合后盐水中盐的质量是相等的。可依据这一数量间的相等关系列方程解答。 解：设20的盐水需x克，那么5的盐水为600x克，那么20x+600x560015X 400600400200克答：须要20的盐水400克，5的盐水200克。练习4：1两种钢分别含镍5和40，要得到140吨含镍30的钢，须要含镍5的钢和含镍40的钢各多少吨？2甲、乙两种酒各含酒精75和55，

38、要配制含酒精65的酒3000克，应当从这两种酒中各取多少克？3甲、乙两只装糖水的桶，甲桶有糖水60千克，含糖率为40；乙桶有糖水40千克，含糖率为20。要使两桶糖水的含糖率相等，需把两桶的糖水互相交换多少千克？【例题5】甲、乙、丙3个试管中各盛有10克、20克、30克水。把某种质量分数的盐水10克倒入甲管中，混合后取10克倒入乙管中，再混合后从乙管中取出10克倒入丙管中。如今丙管中的盐水的质量分数为0.5。最早倒入甲管中的盐水质量分数是多少？【思路导航】混合后甲、乙、丙3个试管中应有的盐水分别是20克、30克、40克。依据题意，可求出如今丙管中盐的质量。又因为丙管中原来只有30克的水，它的盐是

39、从10克盐水中的乙管里取出的。由此可求出乙管里30克盐水中盐的质量。而乙管里的盐又是从10克盐水中的甲管里取出的，由此可求出甲管里20克盐水中盐的质量。而甲管里的盐是某种浓度的盐水中的盐，这样就可得到最初倒入甲管中盐水的质量分数。丙管中盐的质量：30+100.502克【20+1010】0.6克【10+1010】1.2克1012答：最早倒入甲管中的盐水质量分数是12。练习5：1从装满100克80的盐水中倒出40克盐水后，再用清水将杯加满，搅拌后再倒出40克盐水，然后再用清水将杯加满。如此反复三次后，杯中盐水的浓度是多少？2甲容器中又8的盐水300克，乙容器中有12.5的盐水120克。往甲、乙两个

40、容器分别倒入等量的水，使两个容器中盐水的浓度一样。每个容器应倒入多少克水？3甲种酒含纯酒精40，乙种酒含纯酒精36，丙种酒含纯酒精35。将三种酒混在一起得到含酒精38.5的酒11千克。乙种酒比丙种酒多3千克，那么甲种酒有多少千克？第五讲 商业中的数学市场经济中有很多数学问题。同学们可能都有和父母一起去买东西的经验，都知道商品有定价，但是这个价格是怎样定的？这就涉与到商品的本钱、利润等听起来有些生疏的名词。这一讲的内容就是小学数学学问在商业中的应用。利润=售出价-本钱，例如，一件商品进货价是80元，售出价是100元，那么这件商品的利润是100-80=20元，利润率是在这里我们用“进货价代替了“本

41、钱，事实上本钱除了进货价，还包括运输费、仓储费、损耗等，为简便，有时就忽视不计了。例1、某商品按每个7元的利润卖出13个的钱，与按每个11元的利润卖出12个的钱一样多。这种商品的进货价是每个多少元？解：设进货价是每个x元。由“售出价=进货价+利润，依据前、后两次卖出的钱相等，可列方程x+713=x+1112，13x+91=12+132x=41。答：进货价是每个41元。例2 、租用仓库堆放3吨货物，每月租金7000元。这些货物原方案要销售3个月，由于降低了价格，结果2个月就销售完了，由于节约了租仓库的租金，所以结算下来，反而比原方案多赚了1000元。问：每千克货物的价格降低了多少元？分析与解：原

42、方案租仓库3个月，现只租用了2个月，节约了1个月的租金7000元。假如不降低价格，那么应比原方案多赚7000元，但如今只多赚了1000元，说明降价损失是7000-1000=6000元。因为共有3吨，即3000千克货物，所以每千克货物降低了60003000=2元。例3 、张先生向商店订购了每件定价100元的某种商品80件。张先生对商店经理说：“假如你肯减价，那么每减价1元，我就多订购4件。商店经理算了一下，假设减价5，那么由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元。问：这种商品的本钱是多少元？分析与解：设这种商品的本钱是x元。减价5就是每件减1005=5元，张先生可多买45=20件。由获得

43、利润的状况，可列方程100-x80 +100=100-5-x80 + 20，8000-80x+100=9500-100x，20x=1400，x=70，这种商品的本钱是70元。由例2、例3看出，商品降价后，由于增加了销售量，所以获得的利润有时反而比原来多。例4 、某商店到苹果产地去收买苹果，收买价为每千克1.20元。从产地到商店的间隔 是400千米，运费为每吨货物每运1千米收1.50元。假如在运输与销售过程中的损耗是10，商店要想实现25的利润率，零售价应是每千克多少元？分析与解：4001000=1.80元。1-10=2.00元。售出价=本钱利润率+125+1=2.50元，即零售价应是每千克2.50元。例5、小明到商店买了一样数量的红球和白球，红球原价2元3个，白球原价3元5个。新年实惠，两种球都按1元2个卖，结果小明少花了8元钱。问：小明共买了多少个球？例6 、某厂向银行申请甲、乙两种贷款共40万元，每年需付利息5万元。甲种贷款年利率为12，乙种贷款年利率为14。该厂申请甲、乙两种贷款的金额各是多少？解：设申请甲种贷款x万元，那么申请乙种贷款40-x万元。依据需付利息可得方程x12+40-x14=5，0.12x+5.6-0.14x5，0.02x0.6，x=30万元。40-30=10万元。答：申请甲种贷款30万元，乙种贷款10万元。练习五1.商店进了一批钢笔，用零售价10元卖出