小学常用奥数知识点及公式汇总必备.docx

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1、小学常用奥数学问点及公式汇总(必备).doc1和差倍问题22年龄问题的三个根本特征：3归一问题的根本特点：4植树问题5鸡兔同笼问题6盈亏问题37牛吃草问题8周期循环及数表规律9平均数10抽屉原理411定义新运算12数列求和13二进制及其应用514加法乘法原理和几何计数15质数及合数616约数及倍数17数的整除718余数及其应用19余数、同余及周期20分数及百分数的应用821分数大小的比较922分数拆分23完全平方数24比和比例1025综合行程26工程问题27逻辑推理1128几何面积29立体图形30时钟问题快慢表问题1231时钟问题钟面追及32浓度及配比33经济问题1333经济问题34简洁方程3

2、5不定方程36循环小数141 和差倍问题和差问题和倍问题差倍问题条件几个数的和及差几个数的和及倍数几个数的差及倍数公式适用范围两个数的和，差，倍数关系公式(和差)2=较小数较小数差=较大数和较小数=较大数(和差)2=较大数较大数差=较小数和较大数=较小数和(倍数1)=小数小数倍数=大数和小数=大数差(倍数-1)=小数小数倍数=大数小数差=大数关键问题求出同一条件下的和及差和及倍数差及倍数2年龄问题的三个根本特征：两个人的年龄差是不变的；两个人的年龄是同时增加或者同时削减的；两个人的年龄的倍数是发生变更的；3归一问题的根本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量，题目一般用“照这样的速度等

3、词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；4植树问题根本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树根本公式棵数=段数1棵距段数=总长棵数=段数1棵距段数=总长棵数=段数棵距段数=总长关键问题确定所属类型，从而确定棵数及段数的关系5鸡兔同笼问题根本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；根本思路：假设，即假设某种现象存在甲和乙一样或者乙和甲一样：假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的缘由；再

4、根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。根本公式：把全部鸡假设成兔子：鸡数兔脚数总头数总脚数兔脚数鸡脚数把全部兔子假设成鸡：兔数总脚数一鸡脚数总头数兔脚数一鸡脚数关键问题：找出总量的差及单位量的差。6盈亏问题根本概念：确定量的对象，根据某种标准分组，产生一种结果：根据另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量根本思路：先将两种安排方案进展比较，分析由于标准的差异造成结果的变更，根据这个关系求出参与安排的总份数，然后根据题意求出对象的总量基此题型：一次有余数，另一次缺乏；根本公式：总份数余数缺乏数两次每份数的差当两次都有余数；根本

5、公式：总份数较大余数一较小余数两次每份数的差当两次都缺乏；根本公式：总份数较大缺乏数一较小缺乏数两次每份数的差根本特点：对象总量和总的组数是不变的。关键问题：确定对象总量和总的组数。7牛吃草问题根本思路：假设每头牛吃草的速度为“1份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的缘由，即可确定草的生长速度和总草量。根本特点：原草量和新草生长速度是不变的； 关键问题：确定两个不变的量。根本公式：生长量=较长时间长时间牛头数 - 较短时间短时间牛头数长时间-短时间；总草量= 较长时间长时间牛头数- 较长时间生长量；8周期循环及数表规律周期现象：事物在运动变更的过程中，某些特征有规律

6、循环出现。周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。关键问题：确定循环周期。闰年：一年有366天；年份能被4整除；假如年份能被100整除，那么年份必需能被400整除；平年：一年有365天。年份不能被4整除；假如年份能被100整除，但不能被400整除； 9平均数根本公式：平均数=总数量总份数 总数量=平均数总份数 总份数=总数量平均数平均数=基准数每一个数及基准数差的和总份数根本算法：求出总数量以及总份数，利用根本公式进展计算.基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选及全部数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求全部给出数及基准数的差；再求出全部差的和；再求出这些差

7、的平均数；最终求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，详细关系见根本公式10抽屉原理抽屉原那么一：假如把n+1个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种状况：4=4+0+04=3+1+04=2+2+04=2+1+1视察上面四种放物体的方式，我们会发觉一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。抽屉原那么二：假如把n个物体放在m个抽屉里，其中nm，那么必有一个抽屉至少有:k=n/m +1个物体：当n不能被m整除时。k=n/m个物体：当n能被m整除时

8、。理解学问点：X表示不超过X的最大整数。例4.351=4；0.321=0；2.9999=2； 关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后根据抽屉原那么进展运算。11定义新运算根本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种根本混合运算。根本思路：严格根据新定义的运算规那么，把的数代入，转化为加减乘除的运算，然后根据根本运算过程、规律进展运算。关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。考前须知：新的运算不确定符合运算规律，特殊留意运算依次。每个新定义的运算符号只能在此题中运用。12数列求和等差数列：在一列数中，随意相邻两个数的差是确定的，这样的一列数，就叫做等差数列。根

9、本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；项数：等差数列的全部数的个数，一般用n表示；公差：数列中随意相邻两个数的差，一般用d表示；通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示根本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n, sn,通项公式中涉及四个量，假如己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，假如己知其中三个，就可以求这第四个。根本公式：通项公式： an = a1+n1d；通项首项项数一1) 公差；数列和公式：sn,= (a1+ an)n2；数列和首项末项项数2；项数公式：n= (an+ a1)d1；项数=末项

10、-首项公差1；公差公式：d =ana1n1；公差=末项首项项数1；关键问题：确定量和未知量，确定运用的公式；13二进制及其应用十进制：用09十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2102+310+4。=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+A3102+A2101+A1100留意：N0=；N=N其中N是随意自然数二进制：用01两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义。2= An2n-1+An-12n-2+An-22

11、n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7+A322+A221+A120留意：An不是0就是1。十进制化成二进制：根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n次方，依此方法始终找到差为0，根据二进制绽开式特点即可写出。14加法乘法原理和几何计数加法原理：假如完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：m1+ m2. +mn种不同的方法。关键问题：确定工作的

12、分类方法。根本特征：每一种方法都可完成任务。乘法原理：假如完成一件任务须要分成n个步骤进展，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1m2. mn种不同的方法。关键问题：确定工作的完成步骤。根本特征：每一步只能完成任务的一部分。直线：一点在直线或空间沿确定方向或相反方向运动，形成的轨迹。直线特点：没有端点，没有长度。线段：直线上随意两点间的间隔 。这两点叫端点。线段特点：有两个端点，有长度。射线：把直线的一端无限延长。射线特点：只有一个端点；没有长度。数线段规律：总数1+2+3+点数一1；数角规

13、律=1+2+3+射线数一1；数长方形规律：个数=长的线段数宽的线段数：数长方形规律：个数=11+22+33+行数列数15质数及合数质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。质因数：假如某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。分解质因数的标准表示形式：N=，其中a1、a2、a3an都是合数N的质因数，且a1a2a3an。求约数个数的公式：P=(r1+1)(r2+1)

14、(r3+1)(rn+1)互质数：假如两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。16约数及倍数约数和倍数：假设整数a可以被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。最大公约数的性质：1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有：1、2、3、6、9、18；那么12和1

15、8的公约数有：1、2、3、6；那么12和18最大的公约数是：6，记作12，18=6；求最大公约数根本方法：1、分解质因数法：先分解质因数，然后把一样的因数连乘起来。2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，可以整除的那个余数，就是所求的最大公约数。公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。12的倍数有：12、24、36、48；18的倍数有：18、36、54、72；那么12和18的公倍数有：36、72、108；那么12和18最小的公倍数是36，记作12，18=36；最小公倍数的性质：1、两个数的随意公倍数都是它

16、们最小公倍数的倍数。2、两个数最大公约数及最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。求最小公倍数根本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法17数的整除一、根本概念和符号：1、整除：假如一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。2、常用符号：整除符号“|，不能整除符号“；因为符号“，所以的符号“；二、整除推断方法：1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。4.能被3、9整除：各个数位上数字的和

17、能被3、9整除。5.能被7整除：末三位上数字所组成的数及末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。逐次去掉最终一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。6.能被11整除：末三位上数字所组成的数及末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。奇数位上的数字和及偶数位数的数字和的差能被11整除。逐次去掉最终一位数字并减去末位数字后能被11整除。7.能被13整除：末三位上数字所组成的数及末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。逐次去掉最终一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。三、整除的性质：1.假如a、b能被c整除，那么a+b及a-b也能被c整除。2.假如a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也

18、能被b整除。3.假如a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。4.假如a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。18.余数及其应用根本概念：对随意自然数a、b、q、r，假如使得ab=qr，且0rb,那么r叫做a除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商。余数的性质：余数小于除数。假设a、b除以c的余数一样，那么c|a-b或c|b-a。a及b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。a及b的积除以c的余数等于a除以c的余数及b除以c的余数的积除以c的余数。19余数、同余及周期一、同余的定义：假设两个整数a、b除以m的余数一样，那么称a、b对于模m同余。

19、三个整数a、b、m，假如m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作ab(modm)，读作a同余于b模m。二、同余的性质：自身性：aa(modm)；对称性：假设ab(modm)，那么ba(modm)；传递性：假设ab(modm)，bc(modm)，那么a c(modm)；和差性：假设ab(mod m)，cd(mod m)，那么a+cb+d(mod m)，a-cb-d(mod m)；相乘性：假设a b(modm)，cd(modm)，那么ac bd(modm)；乘方性：假设ab(modm)，那么anbn(modm)；同倍性:假设a b(mod m)，整数c，那么ac bc(modmc)；三、关于乘方的

20、预备学问：假设A=ab，那么MA=Mab=Mab假设B=c+d那么MB=Mc+d=McMd四、被3、9、11除后的余数特征：一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，那么Mn(mod 9)或mod 3；一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，那么MY-X或M11-X-Y(mod 11)；五、费尔马小定理：假如p是质数素数，a是自然数，且a不能被p整除，那么ap-11(mod p)。20分数及百分数的应用根本概念及性质：分数：把单位“1平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以一样的数0除外，分数的大小不变。分数单

21、位：把单位“1平均分成几份，表示这样一份的数。百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。常用方法：逆向思维方法：从题目供应条件的反方向或结果进展思索。对应思维方法：找出题目中详细的量及它所占的率的干脆对应关系。转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进展解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准在分数中一般指的是一倍量下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。假设思维方法：为理解题的便利，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种状况成立，计算出相应的结果，然后再进展调整，求出最终结果。量不变思维方法：在变更的各个量当中，总有一个量是不变的，不

22、管其他量如何变更，而这个量是始终固定不变的。有以下三种状况：A、重量发生变更，总量不变。B、总量发生变更，但其中有的重量不变。C、总量和重量都发生变更，但重量之间的差量不变更。交换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。同倍率法：总量和重量之间根据同分率变更的规律进展处理。浓度配比法：一般应用于总量和重量都发生变更的状况。21分数大小的比较根本方法：通分分子法：使全部分数的分子一样，根据同分子分数大小和分母的关系比较。通分分母法：使全部分数的分母一样，根据同分母分数大小和分子的关系比较。基准数法：确定一个标准，使全部的分数都和它进展比较。分子和分母大小比较法：当分

23、子和分母的差确定时，分子或分母越大的分数值越大。倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变更时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变更关系比较分数的大小。详细运用见同倍率变更规律转化比较方法：把全部分数转化成小数求出分数的值后进展比较。倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进展比较。大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。基准数比较法：确定一个基准数，每一个数及基准数比较。22.分数拆分将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：第一题你要拆1/12也就是1/A 先列出12的约因数：1、2、3、4、6、12随意选两个约

24、数 分为a1 a2 这里我选3、4公式：1/A=Aa1a1+a2/1+ Aa2a1+a2/1套入公式：1/12=1233+4/1+ 1243+4/1最终等于：1/12=1/28+1/21第二题就像上面的一样套入公式计算，要把第一题的其中一个答案再拆分就可以了。答案是：1/21+1/84+1/4223完全平方数完全平方数特征：1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。2.除以3余0或余1；反之不成立。3.除以4余0或余1；反之不成立。4.约数个数为奇数；反之成立。5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。7.两个相临整数的平方之

25、间不行能再有平方数。平方差公式：X2-Y2=X-YX+Y完全平方和公式：X+Y2= X2+2XY+Y2完全平方差公式：X-Y2= X2-2XY+Y2费尔马小定理：假如p是质数素数，a是自然数，且a不能被p整除，那么ap-11(mod p)。24比和比例比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以一样的数零除外，比值不变。比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或比例的性质：两个外项积等于两个内项积(穿插相乘)，ad=bc。正比例：假设A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍AB的

26、商不变时，那么A及B成正比。反比例：假设A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍AB的积不变时，那么A及B成反比。比例尺：图上间隔 及实际间隔 的比叫做比例尺。按比例安排：把几个数按确定比例分成几份，叫按比例安排。25综合行程根本概念：行程问题是探讨物体运动的，它探讨的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.根本公式：路程=速度时间；路程时间=速度；路程速度=时间关键问题：确定运动过程中的位置和方向。相遇问题：速度和相遇时间=相遇路程请写出其他公式追及问题：追刚好间路程差速度差写出其他公式流水问题：顺水行程=船速+水速顺水时间逆水行程=船速-水速逆水时间顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速静水速

27、度=顺水速度+逆水速度2水速=顺水速度-逆水速度2流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。主要方法：画线段图法基此题型：路程相遇路程、追及路程、时间相遇时间、追刚好间、速度速度和、速度差中随意两个量，求第三个量。26工程问题根本公式：工作总量=工作效率工作时间工作效率=工作总量工作时间工作时间=工作总量工作效率根本思路：假设工作总量为“1和总工作量无关；假设一个便利的数为工作总量一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数，利用上述三个根本关系，可以简洁地表示出工作效率及工作时间.关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应

28、关系。经验简评：合久必分，分久必合。27逻辑推理根本方法简介：条件分析假设法：假设可能状况中的一种成立，然后根据这个假设去推断，假如有及题设条件冲突的状况，说明该假设状况是不成立的，那么及他的相反状况是成立的。例如，假设a是偶数成立，在推断过程中出现了冲突，那么a确定是奇数。条件分析列表法：当题设条件比较多，须要屡次假设才能完成时，就须要进展列表来协助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象及状况，视察表格内的题设状况，运用逻辑规律进展推断。条件分析图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线那么表示“是，有等确定

29、的状态，没有连线那么表示否认的状态。例如A和B两人之间有相识或不相识两种状态，有连线表示相识，没有表示不相识。逻辑计算：在推理的过程中除了要进展条件分析的推理之外，还要进展相应的计算，根据计算的结果为推理供应一个新的推断挑选条件。简洁归纳及推理：根据题目供应的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并从特殊状况推广到一般状况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。28几何面积根本思路：在一些面积的计算上，不能干脆运用公式的状况下，一般须要对图形进展割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规那么的图形变为规那么的图形进展计算；另外须要驾驭和记忆一些常规的面积规律。常用方法：2.利用等底

30、等高的两个三角形面积相等。3.大胆假设有些点的设置题目中说的是随意点，解题时可把随意点设置在特殊位置上。等腰直角三角形，随意一条边都可求出面积。斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。圆的面积占外接正方形面积的78.5%。29立体图形名称图形特征外表积体积长方体8个顶点；6个面；相对的面相等；12条棱；相对的棱相等；S=2(ab+ah+bh)V=abh=Sh正方体8个顶点；6个面；全部面相等；12条棱；全部棱相等；S=6a2V=a3圆柱体上下两底是平行且相等的圆；侧面绽开后是长方形；S=S侧+2S底S侧=ChV=Sh圆锥体下底是圆；只有一个顶点；l:母线，顶

31、点究竟圆周上随意一点的间隔 ；S=S侧+S底S侧=rlV=Sh球体圆心到圆周上随意一点的间隔 是球的半径。S=4r2V=r330时钟问题快慢表问题根本思路：1、根据行程问题中的思维方法解题；2、不同的表当成速度不同的运动物体；3、路程的单位是分格表一周为60分格；4、时间是标准表所经过的时间；5、合理利用行程问题中的比例关系；31时钟问题钟面追及根本思路：封闭曲线上的追及问题。关键问题：确定分针刚好针的初始位置； 确定分针刚好针的路程差；根本方法：分格方法：时钟的钟面圆周被匀称分成60小格，每小格我们称为1分格。分针每小时走60分格，即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走

32、112分格。度数方法：从角度观点看，钟面圆周一周是360，分针每分钟转360/60 度，即6，时针每分钟转360/12*60 度，即1/2 度。32浓度及配比经验总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进展混合的两种溶液的重量和他们浓度的变更成反比。溶质：溶解在其它物质里的物质例如糖、盐、酒精等叫溶质。溶剂：溶解其它物质的物质例如水、汽油等叫溶剂。溶液：溶质和溶剂混合成的液体例如盐水、糖水等叫溶液。根本公式：溶液重量=溶质重量+溶剂重量；溶质重量=溶液重量浓度；浓度=溶质溶液100%溶剂=溶液1-浓度理论部分小练习：试推出溶质、溶液、溶剂三者的其它公式。经验总结：在配比的过程中存在这样的

33、一个反比例关系，进展混合的两种溶液的重量和他们浓度的变更成反比。33经济问题利润的百分数=卖价-本钱本钱100%；卖价=本钱1+利润的百分数；本钱=卖价1+利润的百分数；商品的定价根据期望的利润来确定；定价=本钱1+期望利润的百分数；本金：储蓄的金额；利率：利息和本金的比；利息=本金利率期数；含税价格=不含税价格1+增值税税率；34简洁方程代数式：用运算符号加减乘除连接起来的字母或者数字。方程：含有未知数的等式叫方程。列方程：把两个或几个相等的代数式用等号连起来。列方程关键问题：用两个以上的不同代数式表示同一个数。等式性质：等式两边同时加上或减去一个数，等式不变；等式两边同时乘以或除以一个数除

34、0，等式不变。移项：把数或式子变更符号后从方程等号的一边移到另一边；移项规那么：先移加减，后变乘除；先去大括号，再去中括号，最终去小括号。加去括号规那么：在只有加减运算的算式里，假如括号前面是“+号，那么添、去括号，括号里面的运算符号都不变；假如括号前面是“号，添、去括号，括号里面的运算符号都要变更；括号里面的数前没有“+或“的，都按有“+处理。移项关键问题：运用等式的性质，移项规那么，加、去括号规那么。乘法安排率：a(b+c)=ab+ac解方程步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；求解；方程组：几个二元一次方程组成的一组方程。解方程组的步骤：消元；按一元一次方程步骤。消元的方法：加减消元；

35、代入消元。35不定方程一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；常规方法：视察法、试验法、枚举法；多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；多元不定方程解法：根据条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，根据二元一次不定方程解即可；涉及学问点：列方程、数的整除、大小比较；解不定方程的步骤：1、列方程；2、消元；3、写出表达式；4、确定范围；5、确定特征；6、确定答案；技巧总结：A、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表

36、示范围大的未知数；B、消元技巧：消掉范围大的未知数；36循环小数一、把循环小数的小数部分化成分数的规那么纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数及循环节的位数一样，最终能约分的再约分。混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数及不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数及一个循环节的位数一样，末几位是0，0的个数及不循环部分的位数一样。二、分数转化成循环小数的推断方法：一个最简分数，假如分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。一个最简分数，假

37、如分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。* 1至30的平方1*1=1 2*2=4 3*3=9 4*4=16 5*5=25 6*6=36 7*7=49 8*8=64 9*9=81 10*10=100 11*11=121 12*12=144 13*13=169 14*14=196 15*15=225 16*16=256 17*17=289 18*18=324 19*19=36120*20=400 21*21=441 22*22=484 23*23=529 24*24=576 25*25=625 26*26=676 27*27=729 28*28=784 29*29

38、=841 30*30=900* 世界上最奇妙的数字是1除以7的循环节：142857 1/7=0.142857 142857 142857.它奇妙在哪里呢？ 1、我们把它从1乘到6看看142857 X 1 = 142857 142857142857 X 2 = 285714 285714142857 X 3 = 428571 428571142857 X 4 = 571428 571428142857 X 5 = 714285 714285142857 X 6 = 857142 857142同样的6个数字，只是依此调换了位置，反复出现。2、我们从1乘到6除以7看看1/7=0.142857. 2/

39、7=0.285714.3/7=0.428571.4/7=0.571428.5/7=0.714285.6/7=0.857142.1，3，5分别除以7所得商的规律是循环节的最高位后移，后面的前移。2，4，6分别除以7所得商的规律是循环节的前两位后移，后面的前移。 3、那么把它乘以7是多少呢？我们会惊人的发觉是9999994、142 + 857 = 999 14 + 28 + 57 = 99 1+4+2+8+5+7=9+9+95、我们用 142857 乘以142857=20408122449 前五位+上后六位的得数是多少呢？20408 + 122449 = 142857“142857发觉于埃及金字塔

40、内，它的确是一组奇妙的数字。* 数学小故事：奇妙奇妙的“9 九，是我们中华民族所崇拜的数字，在中国古代人们的观念中，将天称为“九天、“九重、“九霄;将地划为“九州、“九域 ;将宗庙称为“九庙;道路谓之“九陌;山有“九崇;水曰“九河;地有“九泉;人分“九级;官为“九品。在古乐古诗中有九辩、九喜、九歌、九章等。九在中国人的心中竟拥有如此奇妙的地位;作为一个数学爱好者，应当去深化探究它的本质及其它奇妙的蕴意。易经上说，九数含有桔祥的意思，假如根据“阴阳来说，奇数为阳，偶数为阴，而九是阳数中最大的，称为“极阳数。十是一个完备的数字，而九接近十而不到十，具有很强的倾向性，一位数字只有十个，而九是最大的一

41、个，故为数字之极，寓义崇高。或许，就是这个缘由，九有其最多的奇异特点，最多的兴趣性质。九有一个特别奇异的性质，是其它数字所没有的。假如要求一个自然数除以九的余数，那么只要将这个数各位数字相加，其和假如仍是两位以上的数，那么再将这个和的各位数字相加，最终所得的一位数，就是这个自然数除以九的余数。九的这一奇异特点，总使数学爱好者特别着迷，很多兴趣数学嬉戏，都及九的这一规律有关。数学老师常用“凑九法验算学生的算式是否有误，而“凑九法就是接受了这一原理。九的倍数的各位数字之和也确定是九的倍数，可知九的倍数是一个特别和谐圆满的数系。八位数12345679，假如将它同九相乘，惊奇的很，其积竟是全由1组成的

42、数字111111111;如再乘18(九的2倍)，可得九个2，乘27(九的3倍)，可得九个3，直到乘81，就可以得到九个9.这种整齐统一的特点，给人以多么奇妙的印象啊!或许有人要问为什么把8去掉，填上会有规律吗假设把7、8都去掉，或把6、7、8都去掉，仍用九去乘，还有规律吗答案是确定的。九这个数字就是这么奇妙，我们来看以下算式：纵观上面九个算式，不仅算式的结果很有规律，且积的数字之和都为九。第一个算式到第九个算式的变更，更能显示稀奇异无比的秩序美。假如你随意找来一个两位以上的自然数，比方是317，将此数打乱，变成173、731、713吧，我们如今求出新数及原数的差，你猜会有什么结论这些差144、

43、414、396竟然全是九的倍数。在这里，无论是定数字，还是打乱所找数字的依次，都是多么的为所欲为啊!可是在这种繁乱中竟能出现规律，这种规律的主宰者却是九。假设再随意找一个两位以上的数，比方418，先将它的各位数字之和求出;用原数减去其数字之和(418-18)，其差405也是九的倍数。以下算式的确是种简明的公式：100a+10b+c-(a+b+c)=99a+9b，公式的结果竟然是一个常数，且还是九的倍数，如所选的数是4位、5位，是否还有规律呢我们敢于确定地说，九的奇异确定到处再现，无论是多少位，九的统一美的光芒定会时时闪烁。九是一个奇妙的反序数，在算式10899=9801中可知，九乘某一个数字，能使其依次正好颠倒过来。从算式1234567898+9=987654321中也可知，九加某数也竟能使其依次颠倒;九