高考数学知识点整理经典.docx

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1、高中数学根底学问要点解析第一章 集合及简易逻辑1集合中元素具有确定性、无序性、互异性2集合的性质：任何一个集合是它本身的子集，记为；空集是任何集合的子集，记为；空集是任何非空集合的真子集；假如，同时，那么A = B假如留意：Z= 整数 Z =全体整数 集合S 中A的补集是一个有限集，那么集合A也是有限集例：S=N； A=，那么CsA= 0 空集的补集是全集假设集合A=集合B，那么CBA = ， CAB = CSCAB= D 注 ：CAB = 3x，y|xy =0，xR，yR坐标轴上的点集x，y|xy0，xR，yR二、四象限的点集x，y|xy0，xR，yR 一、三象限的点集注：对方程组解的集合应

2、是点集例： 解的集合(2，1)点集及数集的交集是例：A =(x，y)| y =x+1 B=y|y =x2+1 那么AB =4n个元素的子集有2n个n个元素的真子集有2n 1个n个元素的非空真子集有2n2个51一个命题的否命题为真，它的逆命题确定为真否命题逆命题一个命题为真，那么它的逆否命题确定为真原命题逆否命题例：假设应是真命题解：逆否：a = 2且 b = 3，那么a+b = 5，成立，所以此命题为真 解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2,故是的既不是充分，又不是必要条件2小范围推出大范围；大范围推不出小范围例：假设6集合的运算De Morgan公式 CuA CuB = CuA

3、B CuA CuB = CuA B7容斥原理：对随意集合AB有第二章 函数1函数的三要素：定义域，值域，对应法那么2函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分对于详细的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，假如函数在区间0，1上为减函数，在区间1，2上为减函数，就不能说函数在上为减函数3反函数定义：只有满意，函数才有反函数例：无反函数函数的反函数记为，习惯上记为在同一坐标系，函数及它的反函数的图象关于对称注：一般地，的反函数是先的反函数，在左移三个单位是先左移三个单位，在的反函数41单调函数必有反函数，但并非反函数存在时确定是单调的因此，全部偶函数不存在反函数2假如一个函数有

4、反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数3设函数y = fx定义域，值域分别为X、Y假如y = fx在X上是增减函数，那么反函数在Y上确定是增减函数，即互为反函数的两个函数增减性一样4一般地，假如函数有反函数，且，那么这就是说点在函数图象上，那么点在函数的图象上5指数函数：，定义域R，值域为1当，指数函数：在定义域上为增函数；当，指数函数：在定义域上为减函数2当时，的值越大，越靠近轴；当时，那么相反6对数函数：假如的次幂等于，就是，数就叫做以为底的的对数，记作，负数和零没有对数；其中叫底数，叫真数1对数运算：以上留意1：当时，留意2：当时，取“+，当是偶数时且时，而，故取“例如：中x0而中x

5、R2及互为反函数当时，的值越大，越靠近轴；当时，那么相反7奇函数，偶函数：1偶函数：设为偶函数上一点，那么也是图象上一点偶函数的断定：两个条件同时满意定义域确定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数满意，或，假设时，2奇函数：设为奇函数上一点，那么也是图象上一点奇函数的断定：两个条件同时满意定义域确定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数满意，或，假设时，8对称变换：y = fxy =fxy =fx9推断函数单调性定义作差法：对带根号的确定要分子有理化，例如：再进展探讨10外层函数的定义域是内层函数的值域例如：函数fx= 1+的定义域为A，函数ffx的定义域是B，那么集合A及集合B之间的关系是 解：

6、的值域是的定义域，的值域，故，而A，故11常用变换：证：证：121熟识常用函数图象：例：关于轴对称 关于轴对称2熟识分式图象：例：定义域，值域值域前的系数之比等差数列等比数列定义递推公式；通项公式中项前项和重要性质第三章 数列11等差、等比数列：2看数列是不是等差数列有以下三种方法：2()(为常数)3看数列是不是等比数列有以下四种方法：(，)注：i，是a、b、c成等比的双非条件，即a、b、c等比数列iiac0为a、b、c等比数列的充分不必要iii为a、b、c等比数列的必要不充分iv且为a、b、c等比数列的充要留意：随意两数a、c不确定有等比中项，除非有ac0，那么等比中项确定有两个(为非零常数

7、)正数列成等比的充要条件是数列成等比数列4数列的前项和及通项的关系：注：可为零也可不为零为等差数列充要条件即常数列也是等差数列假设不为0，那么是等差数列充分条件等差前n项和 可以为零也可不为零为等差的充要条件假设为零，那么是等差数列的充分条件；假设不为零，那么是等差数列的充分条件非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列不是非零，即不行能有等比数列2等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍；假设等差数列的项数为2，那么；假设等差数列的项数为，那么，且，3常用公式：1+2+3 +n =注：熟识常用通项：9，99，999，； 5，55，555，4等比数列的前项和公式的常见应用题：1

8、消费部门中有增长率的总产量问题例如，第一年产量为，年增长率为，那么每年的产量成等比数列，公比为其中第年产量为，且过年后总产量为：2银行部门中按复利计算问题例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，那么每月的元过个月后便成为元因此，第二年年初可存款：=3分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；为年利率5数列常见的几种形式：1p、q为二阶常数用特证根方法求解详细步骤：写出特征方程对应，x对应，并设二根假设可设，假设可设；由初始值确定2P、r为常数用转化等差，等比数列；逐项选代；消去常数n转化为的形式，再用特征根方法求；公式法，由确定转化等差，等比：选代法：

9、用特征方程求解：由选代法推导结果：6几种常见的数列的思想方法：1等差数列的前项和为，在时，有最大值如何确定使取最大值时的值，有两种方法：一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值2假如数列可以看作是一个等差数列及一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可按照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和例如：3两个等差数列的一样项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个一样项，公差是两个数列公差的最小公倍数第四章 三角函数1及0360终边一样的角的集合角及角的终边重合：终边在x轴上的角的集合： 终边在y轴上的角的集合：终边在坐标轴上的角的集合：终边在y=x轴上的角的集合

10、： 终边在轴上的角的集合：假设角及角的终边关于x轴对称，那么角及角的关系：假设角及角的终边关于y轴对称，那么角及角的关系：假设角及角的终边在一条直线上，那么角及角的关系：角及角的终边互相垂直，那么角及角的关系：2角度及弧度的互换关系：360=2 180= 1=001745 1=5730=5718留意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零3三角函数的定义域：三角函数 定义域sinxcosxtanxcotxsecxcscx4三角函数的公式：一根本关系 公式组二 公式组三公式组四 公式组五 公式组六 二角及角之间的互换公式组一 公式组二 , 5正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性

11、质：A、0定义域RRR值域RR周期性 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当非奇非偶当奇函数单调性上为增函数；上为减函数；上为增函数上为减函数上为增函数上为减函数上为增函数；上为减函数留意：及的单调性正好相反；及的单调性也同样相反一般地，假设在上递增减，那么在上递减增及的周期是或的周期的周期为2，如图，翻折无效的对称轴方程是，对称中心；的对称轴方程是，对称中心；的对称中心当；及是同一函数,而是偶函数，那么函数在上为增函数 只能在某个单调区间单调递增假设在整个定义域，为增函数，同样也是错误的定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称奇偶都要，二是满意奇偶性条

12、件，偶函数：，奇函数：奇偶性的单调性：奇同偶反例如：是奇函数，是非奇非偶定义域不关于原点对称奇函数特有性质：假设的定义域，那么确定有的定义域，那么无此性质不是周期函数；为周期函数；是周期函数如图；为周期函数；的周期为如图，并非全部周期函数都有最小正周期，例如： 有6、反三角函数1反三角函数：1反正弦函数是奇函数，故，确定要注明定义域，假设，没有及一一对应，故无反函数注：，2反余弦函数非奇非偶，但有，注：，是偶函数，非奇非偶，而和为奇函数3反正切函数：，定义域，值域，是奇函数，注：，4反余切函数：，定义域，值域，是非奇非偶，注：，及互为奇函数，同理为奇而及非奇非偶但满意，2正弦、余弦、正切、余切

13、函数的解集：的取值范围 解集 的取值范围 解集的解集 的解集1 1 =1 =1 1 1 的解集： 的解集：7、三角恒等式组一组二组三 三角函数不等式 在上是减函数假设，那么第五章 平面对量1长度相等且方向一样的两个向量是相等的量留意：假设为单位向量，那么 单位向量只表示向量的模为1，并未指明向量的方向假设，那么2=设 向量的模，针对向量坐标求模 平面对量的数量积：留意：不确定成立；向量无大小“大于、“小于对向量无意义，向量的模有大小长度为0的向量叫零向量，记，及随意向量平行，的方向是随意的，零向量及零向量相等，且假设有一个三角形ABC，那么0；此结论可推广到边形假设，那么有 当等于时，而不确定

14、相等=，=针对向量非坐标求模，当时，由不能推出，这是因为任一及垂直的非零向量，都有=0假设，那么当等于时，不成立3向量及非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得平行向量或共线向量当及共线同向：当及共线反向；当那么为及任何向量共线留意：假设共线，那么 假设是的投影，夹角为，那么， 设=，设，那么A、B、C三点共线=两个向量、的夹角公式：线段的定比分点公式：和设 =或=，且的坐标分别是，那么推广1：当时，得线段的中点公式：推广2：那么对应终点向量三角形重心坐标公式：ABC的顶点，重心坐标：留意：在ABC中，假设0为重心，那么，这是充要条件平移公式：假设点P按向量=平移到P，那么41正弦定理：

15、设ABC的三边为a、b、c，所对的角为A、B、C，那么2余弦定理：3正切定理：4三角形面积计算公式：设ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，rS=1/2aha=1/2bhb=1/2chc S=PrS=abc/4RS=1/2sinCab=1/2acsinB=1/2cbsinAS= 海伦公式S=1/2b+c-ara如以下图=1/2b+a-crc=1/2a+c-brb注：到三角形三边的间隔 相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心如图：图1中的I为SABC的内心， S=Pr，图2中的I为SABC的一个旁心，S=1/2b+c-ara 附：三角形的

16、五个“心；重心：三角形三条中线交点外心：三角形三边垂直平分线相交于一点内心：三角形三内角的平分线相交于一点垂心：三角形三边上的高相交于一点旁心：三角形一内角的平分线及另两条内角的外角平分线相交一点5O是ABC的内切圆，假设BC=a，AC=b，AB=c 注：s为ABC的半周长,即，那么：AE=1/2b+c-aBN=1/2a+c-bFC=1/2a+b-c综合上述：由得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边如图4特例：在RtABC，c为斜边，那么内切圆半径r=如图3 6在ABC中，有以下等式成立证明：因为所以，所以，结论！7在ABC中，D是BC上随意一点，那么证明：在ABCD中，由余弦定理，有在

17、ABC中，由余弦定理有，代入，化简可得，斯德瓦定理假设AD是BC上的中线，；假设AD是A的平分线，其中为半周长；假设AD是BC上的高，其中为半周长8ABC的断定：ABC为直角A + B =ABC为钝角A + BABC为锐角A + B附：证明：，得在钝角ABC中，9平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和第六章 不等式11平方平均算术平均几何平均调和平均a、b为正数：当a = b时取等特殊地，当a = b时，幂平均不等式：2含立方的几个重要不等式a、b、c为正数：，；3确定值不等式：4算术平均几何平均a1、a2an为正数：a1=a2=an时取等5柯西不等式：设那么等号成立当且仅当时成

18、立约定时，例如：6常用不等式的放缩法：2常用不等式的解法举例x为正数：类似于第七章 直线和圆的方程一、直线方程1直线的倾斜角：一条直线向上的方向及轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线及轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是注：当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在每一条直线都存在惟一的倾斜角，除及轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率确定时，其倾斜角也对应确定2直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式特殊地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程是：注：假设是始终线的方程，那么这条直线的方程是，但假设那么不

19、是这条线附：直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，假如改变时，对应的直线也会改变当为定植，改变时，它们表示过定点0，的直线束当为定值，改变时，它们表示一组平行直线31两条直线平行：两条直线平行的条件是：和是两条不重合的直线在和的斜率都存在的前提下得到的因此，应特殊留意，抽掉或无视其中任一个“前提都会导致结论的错误一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，那么，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件，且推论：假如两条直线的倾斜角为那么 2两条直线垂直：两条直线垂直的条件：设两条直线和的斜率分别为和，那么有这里的前提是的斜率都存在，且的斜率不存在或，

20、且的斜率不存在即是垂直的充要条件4直线的交角：1直线到的角方向角；直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到及重合时所转动的角，它的范围是，当时2两条相交直线及的夹角：两条相交直线及的夹角，是指由及相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，那么有5过两直线的交点的直线系方程为参数，不包括在内6点到直线的间隔 ：1点到直线的间隔 公式：设点，直线到的间隔 为，那么有2两条平行线间的间隔 公式：设两条平行直线，它们之间的间隔 为，那么有7关于点对称和关于某直线对称：1关于点对称的两条直线确定是平行直线，且这个点到两直线的间隔 相等2关于某直线对称的两条直线性质：假设两条

21、直线平行，那么对称直线也平行，且两直线到对称直线间隔 相等假设两条直线不平行，那么对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线3点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，那么中点在对称直线上方程，过两对称点的直线方程及对称直线方程垂直方程可解得所求对称点注：曲线、直线关于始终线对称的解法：y换x，x换y例：曲线f(x ,y)=0关于直线y=x2对称曲线方程是f(y+2 ,x 2)=0曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a x, 2b y)=0二、圆的方程11曲线及方程：在直角坐标系中，假如某曲线上的 及一个二元方程的实数建立了如下关系：曲线上的点的

22、坐标都是这个方程的解以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线图形2曲线和方程的关系，本质上是曲线上任一点其坐标及方程的一种关系，曲线上任一点是方程的解；反过来，满意方程的解所对应的点是曲线上的点注：假如曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P0(x0 ,y)线C上的充要条件是f(x0 ,y0)=0 2圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：注：特殊圆的方程：及轴相切的圆方程 及轴相切的圆方程 及轴轴都相切的圆方程 3圆的一般方程： 当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径当时，方程表示一个点当时，方程

23、无图形称虚圆注：圆的参数方程：为参数方程表示圆的充要条件是：且且圆的直径或方程：用向量可征4点和圆的位置关系：给定点及圆在圆内在圆上在圆外5直线和圆的位置关系：设圆圆：；直线：；圆心到直线的间隔 时，及相切；附：假设两圆相切，那么相减为公切线方程时，及相交；附：公共弦方程：设有两个交点，那么其公共弦方程为时，及相离附：假设两圆相离，那么相减为圆心的连线的中及线方程由代数特征推断：方程组用代入法，得关于或的一元二次方程，其判别式为，那么：及相切；及相交；及相离注：假设两圆为同心圆那么，相减，不表示直线6圆的切线方程：圆的斜率为的切线方程是过圆上一点的切线方程为：一般方程假设点(x0 ,y0)在圆

24、上，那么(x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2特殊地，过圆上一点的切线方程为假设点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)那么，联立求出切线方程7求切点弦方程：方法是构造图，那么切点弦方程即转化为公共弦方程如图：ABCD四类共圆的方程 又以ABCD为圆为方程为，所以BC的方程即代，相切即为所求第八章 圆锥曲线一、椭圆方程1椭圆方程的第确定义：1椭圆的标准方程：i中心在原点，焦点在x轴上：ii中心在原点，焦点在轴上：一般方程：椭圆的标准参数方程：的参数方程为一象限应是属于2顶点：或轴：对称轴：x轴，轴；长轴长，短轴长焦点：或焦距：准线：或离心率：焦点半径：i 设为椭圆上的一点，为

25、左、右焦点，那么由椭圆方程的第二定义可以推出ii设为椭圆上的一点，为上、下焦点，那么由椭圆方程的第二定义可以推出由椭圆第二定义可知：归结起来为“左加右减留意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经坐标：和3共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是，我们称此方程为共离心率的椭圆系方程4假设P是椭圆：上的点为焦点，假设，那么的面积为用余弦定理及可得假设是双曲线，那么面积为二、双曲线方程2双曲线的第确定义：1双曲线标准方程：一般方程：2i焦点在x轴上：顶点：，焦点：，准线方程，渐近线方程：或ii焦点在轴上：顶点：焦点：准线方程：渐近

26、线方程：或，参数方程：或 轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c离心率准线距两准线的间隔 ；通径参数关系焦点半径公式：对于双曲线方程分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点 “长加短减原那么： 构成满意 及椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号 3等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率4共轭双曲线：以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做双曲线的共轭双曲线及互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：5共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为假如双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为例如：假设双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？解：令

27、双曲线的方程为：，代入得6直线及双曲线的位置关系：区域：无切线，2条及渐近线平行的直线，合计2条；区域：即定点在双曲线上，1条切线，2条及渐近线平行的直线，合计3条；区域：2条切线，2条及渐近线平行的直线，合计4条；区域：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条及渐近线平行的直线，合计2条；区域：即过原点，无切线，无及渐近线平行的直线小结：过定点作直线及双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条假设直线及双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法及渐近线求交和两根之和及两根之积同号7假设P在双曲线，那么常用结论1：P到焦点的间隔 为m = n，那么P到两准

28、线的间隔 比为mn简证： = 常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的间隔 等于b三、抛物线方程3设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：图形焦点准线范围对称轴轴轴顶点 0，0离心率焦点注：顶点那么焦点半径;那么焦点半径为通径为2p，这是过焦点的全部弦中最短的或的参数方程为或为参数四、圆锥曲线的统确定义4圆锥曲线的统确定义：平面内到定点F和定直线的间隔 之比为常数的点的轨迹当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线；当时，轨迹为圆，当时5圆锥曲线方程具有对称性例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线及双曲线的交点是关于原点对称的因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD及BC

29、的中点重合即可第九章 立体几何一、平面1经过不在同一条直线上的三点确定一个面注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内2两个平面可将平面分成3或4部分两个平面平行，两个平面相交3过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面三条直线在一个平面内平行，三条直线不在一个平面内平行注：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个4三个平面最多可把空间分成 8 部分X、Y、Z三个方向二、空间直线1空间直线位置分三种：相交、平行、异面相交直线共面有反且有一个公共点；平行直线共面没有公共点；异面直线不同在任一平面内注：两条异面直线在同一平面内射影确定是相交的两条直线可能两条直线平行，也可能是点和直

30、线等直线在平面外，指的位置关系：平行或相交假设直线a、b异面，a平行于平面，b及的关系是相交、平行、在平面内两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点在平面内射影是直线的图形确定是直线射影不确定只有直线，也可以是其他图形在同一平面内的射影长相等，那么斜线长相等并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段是夹在两平行平面间的线段，假设，那么的位置关系为相交或平行或异面2异面直线断定定理：过平面外一点及平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线不在任何一个平面内的两条直线3平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行4等角定理：假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行

31、并且方向一样，那么这两个角相等如以下图 二面角的取值范围 直线及直线所成角 斜线及平面成角 直线及平面所成角向量及向量所成角推论：假如两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角或直角相等5两异面直线的间隔 ：公垂线的长度空间两条直线垂直的状况：相交共面垂直和异面垂直是异面直线，那么过外一点P，过点P且及都平行平面有一个或没有，但及间隔 相等的点在同一平面内或在这个做出的平面内不能叫及平行的平面三、直线及平面平行、直线及平面垂直1空间直线及平面位置分三种：相交、平行、在平面内2直线及平面平行断定定理：假如平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行“线线平

32、行，线面平行注：直线及平面内一条直线平行，那么平面外一条直线直线及平面内一条直线相交，那么及平面相交平面外一条直线假设直线及平面平行，那么内必存在多数条直线及平行不是随意一条直线，可利用平行的传递性证之两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面可能在此平面内平行于同始终线的两个平面平行两个平面可能相交平行于同一个平面的两直线平行两直线可能相交或者异面直线及平面、所成角相等，那么、可能相交3直线和平面平行性质定理：假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行“线面平行，线线平行4直线及平面垂直是指直线及平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一

33、条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直l 假设，得三垂线定理，得不出因为，但不垂直OAl 三垂线定理的逆定理亦成立直线及平面垂直的断定定理一：假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面“线线垂直，线面垂直直线及平面垂直的断定定理二：假如平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面推论：假如两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行注：垂直于同一平面的两个平面平行可能相交，垂直于同一条直线的两个平面平行垂直于同始终线的两个平面平行一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面垂直于同一平面的两条直线平行51垂线段和斜线段长定理

34、：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；垂线段比任何一条斜线段短注：垂线在平面的射影为一个点一条直线在平面内的射影是一条直线2射影定理推论：假如一个角所在平面外一点到角的两边的间隔 相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上四、平面平行及平面垂直1空间两个平面的位置关系：相交、平行2平面平行断定定理：假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行“线面平行，面面平行推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行注：一平面间的任始终线平行于另一平面

35、3两个平面平行的性质定理：假如两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行“面面平行，线线平行4两个平面垂直性质断定一：两个平面所成的二面角是直二面角，那么两个平面垂直两个平面垂直性质断定二：假如一个平面及一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面“线面垂直，面面垂直注：假如两个二面角的平面对应平面互相垂直，那么两个二面角没有什么关系5两个平面垂直性质定理：假如两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面推论：假如两个相交平面都垂直于第三平面，那么它们交线垂直于第三平面证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于，因为那么6两异面直线随意两点间的间隔 公式：为锐

36、角取加，为钝取减，综上，都取加那么必有71最小角定理：为最小角，如图2最小角定理的应用PBN为最小角简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，确定有4条成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，确定有2条成角比交线夹角一半大，又及交线夹角相等，确定有3条或者2条成角比交线夹角一半小，又及交线夹角一半小，确定有1条或者没有五、棱锥、棱柱1棱柱1直棱柱侧面积：为底面周长，是高该公式是利用直棱柱的侧面绽开图为矩形得出的斜棱住侧面积：是斜棱柱直截面周长，是斜棱柱的侧棱长该公式是利用斜棱柱的侧面绽开图为平行四边形得出的2四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体直四棱柱平行六面体=直

37、平行六面体3棱柱具有的性质：棱柱的各个侧面都是平行四边形，全部的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形棱柱的两个底面及平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形注：棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推想是直棱柱直棱柱不能保证底面是钜形可如图直棱柱定义棱柱有一条侧棱和底面垂直4平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分注：四棱柱的对角线不确定相交于一点定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和推论一：长方体一条对角线及同一个顶点的三条棱所成的角为，那么推论二：长方体一条对角线及同一个顶点的三各侧面所成的角为，那么注：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱斜四面体的两个平行的平面可以为矩形各侧面都是正方形的棱柱确定是正棱柱应是各侧面都是正方形的直棱柱才行对角面都是全等的矩形的直四棱柱确定是长方体只能推出对角线相等