挑战中考数学压轴题全套.docx

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1、第一部分 函数图象中点的存在性问题11因动点产生的相像三角形问题 12因动点产生的等腰三角形问题 13因动点产生的直角三角形问题 14因动点产生的平行四边形问题15因动点产生的面积问题16因动点产生的相切问题17因动点产生的线段和差问题第二部分 图形运动中的函数关系问题21由比例线段产生的函数关系问题第三部分 图形运动中的计算说理问题31代数计算及通过代数计算进展说理问题32几何证明及通过几何计算进展说理问题第四部分 图形的平移、翻折及旋转41图形的平移42图形的翻折43图形的旋转44三角形45四边形46圆47函数的图象及性质11 因动点产生的相像三角形问题课前导学相像三角形的断定定理有3个，

2、其中断定定理1和断定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相像的动态问题，一般状况下首先找寻一组对应角相等断定定理2是最常用的解题根据，一般分三步：找寻一组等角，分两种状况列比例方程，解方程并检验假如AD，探求ABC及DEF相像，只要把夹A和D的两边表示出来，根据对应边成比例，分和两种状况列方程应用断定定理1解题，先找寻一组等角，再分两种状况探讨另外两组对应角相等应用断定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程组还有一种状况，探讨两个直角三角形相像，假如一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为探讨另一个三角形是直角三角形的问题求线段的长，要用到两点间

3、的间隔 公式，而这个公式简洁记错理解记忆比较好如图1，假如A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的间隔 呢？我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边及坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了程度间隔 BC的长就是A、B两点间的程度间隔 ，等于A、B两点的横坐标相减；竖直间隔 AC就是A、B两点间的竖直间隔 ，等于A、B两点的纵坐标相减图1 图1 图2例 1 湖南省衡阳市中考第28题二次函数yax2bxca0的图象及x轴交于A(3, 0)、B(1, 0)两点，及y轴交于点C(0,3m)m0，顶点为D1求该二次函数的解析式系数用含m的代数式表示；2如图1，当m2时，点P为第三象限内抛物线上的一

4、个动点，设APC的面积为S，试求出S及点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；3如图2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形及OBC相像？动感体验 请翻开几何画板文件名“14衡阳28，拖动点P运动，可以体验到，当点P运动到AC的中点的正下方时，APC的面积最大拖动y轴上表示实数m的点运动，抛物线的形态会变更，可以体验到，ACD和ADC都可以成为直角思路点拨1用交点式求抛物线的解析式比较简便2连结OP，APC可以割补为：AOP及COP的和，再减去AOC3探讨ACD及OBC相像，先确定ACD是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相像4直角三角形ACD存在两种状况图文解析1因为抛物线及x

5、轴交于A(3, 0)、B(1, 0)两点，设ya(x3)(x1)代入点C(0,3m)，得3m3a解得am所以该二次函数的解析式为ym(x3)(x1)mx22mx3m2如图3，连结OP当m2时，C(0,6)，y2x24x6，那么P(x, 2x24x6)由于SAOP(2x24x6)3x26x9， SCOP3x，SAOC9，所以SSAPCSAOPSCOPSAOC3x29x所以当时，S获得最大值，最大值为图3 图4 图5 图63如图4，过点D作y轴的垂线，垂足为E过点A作x轴的垂线交DE于F由ym(x3)(x1)m(x1)24m，得D(1,4m)在RtOBC中，OBOC13m假如ADC及OBC相像，那

6、么ADC是直角三角形，而且两条直角边的比为13m如图4，当ACD90时，所以解得m1此时，所以所以CDAOBC如图5，当ADC90时，所以解得此时，而因此DCA及OBC不相像综上所述，当m1时，CDAOBC考点伸展 第2题还可以这样割补： 如图6，过点P作x轴的垂线及AC交于点H由直线AC：y2x6，可得H(x,2x6)又因为P(x, 2x24x6)，所以HP2x26x因为PAH及PCH有公共底边HP，高的和为A、C两点间的程度间隔 3，所以SSAPCSAPHSCPH(2x26x) 例 2 2021年湖南省益阳市中考第21题如图1，在直角梯形ABCD中，AB/CD，ADAB，B60，AB10，

7、BC4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设APx21cnjy1求AD的长；2点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形及以P、C、B为顶点的三角形相像？假设存在，求出x的值；假设不存在，请说明理由；图13设ADP及PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，假设SS1S2，求S的最小值. 动感体验 请翻开几何画板文件名“14益阳21”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，圆心O的运动轨迹是线段BC的垂直平分线上的一条线段视察S随点P运动的图象，可以看到，S有最小值，此时点P看上去象是AB的中点，其实离得很近而已思路点拨1第2题先确定PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相像2第3题理解PC

8、B的外接圆的圆心O很关键，圆心O在确定的BC的垂直平分线上，同时又在不确定的BP的垂直平分线上而BP及AP是相关的，这样就可以以AP为自变量，求S的函数关系式图文解析1如图2，作CHAB于H，那么ADCH在RtBCH中，B60，BC4，所以BH2，CH所以AD2因为APD是直角三角形，假如APD及PCB相像，那么PCB肯定是直角三角形如图3，当CPB90时，AP1028所以，而此时APD及PCB不相像图2 图3 图4如图4，当BCP90时，BP2BC8所以AP2所以所以APD60此时APDCBP综上所述，当x2时，APDCBP3如图5，设ADP的外接圆的圆心为G，那么点G是斜边DP的中点设PC

9、B的外接圆的圆心为O，那么点O在BC边的垂直平分线上，设这条直线及BC交于点E，及AB交于点F设AP2m作OMBP于M，那么BMPM5m在RtBEF中，BE2，B60，所以BF4在RtOFM中，FMBFBM4(5m)m1，OFM30，所以OM所以OB2BM2OM2在RtADP中，DP2AD2AP2124m2所以GP23m2于是SS1S2(GP2OB2)所以当时，S获得最小值，最小值为图5 图6考点伸展关于第3题，我们再探讨个问题问题1，为什么设AP2m呢？这是因为线段ABAPPMBMAP2BM10这样BM5m，后续可以削减一些分数运算这不影响求S的最小值问题2，假如圆心O在线段EF的延长线上，

10、S关于m的解析式是什么？如图6，圆心O在线段EF的延长线上时，不同的是FMBMBF(5m)41m此时OB2BM2OM2这并不影响S关于m的解析式例 3 2021 年湖南省湘西市中考第26题如图1，直线yx3及x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线yx2bxc经过A、B两点，点P在线段OA上，从点O动身，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A动身，向点B以每秒个单位的速度匀速运动，连结PQ，设运动时间为t秒1求抛物线的解析式；2问：当t为何值时，APQ为直角三角形；3过点P作PE/y轴，交AB于点E，过点Q作QF/y轴，交抛物线于点F，连结EF，当EF/PQ时，求点F的

11、坐标；4设抛物线顶点为M，连结BP、BM、MQ，问：是否存在t的值，使以B、Q、M为顶点的三角形及以O、B、P为顶点的三角形相像？假设存在，恳求出t的值；假设不存在，请说明理由 图1动感体验请翻开几何画板文件名“15湘西26”，拖动点P在OA上运动，可以体验到，APQ有两个时刻可以成为直角三角形，四边形EPQF有一个时刻可以成为平行四边形，MBQ及BOP有一次时机相像思路点拨1在APQ中，A45，夹A的两条边AP、AQ都可以用t表示，分两种状况探讨直角三角形APQ2先用含t的式子表示点P、Q的坐标，进而表示点E、F的坐标，根据PEQF列方程就好了3MBQ及BOP都是直角三角形，根据直角边对应成

12、比例分两种状况探讨图文解析1由yx3，得A(3, 0)，B(0, 3)将A(3, 0)、B(0, 3)分别代入yx2bxc，得 解得所以抛物线的解析式为yx22x32在APQ中，PAQ45，AP3t，AQt分两种状况探讨直角三角形APQ：当PQA90时，APAQ解方程3t2t，得t1如图2当QPA90时，AQAP解方程t(3t)，得t1.5如图3图2 图3图4 图53如图4，因为PE/QF，当EF/PQ时，四边形EPQF是平行四边形所以EPFQ所以yEyPyFyQ因为xPt，xQ3t，所以yE3t，yQt，yF(3t)22(3t)3t24t因为yEyPyFyQ，解方程3t(t24t)t，得t1

13、，或t3舍去所以点F的坐标为(2, 3)4由yx22x3(x1)24，得M(1, 4)由A(3, 0)、B(0, 3)，可知A、B两点间的程度间隔 、竖直间隔 相等，AB3由B(0, 3)、M(1, 4)，可知B、M两点间的程度间隔 、竖直间隔 相等，BM所以MBQBOP90因此MBQ及BOP相像存在两种可能：当时，解得如图5当时，整理，得t23t30此方程无实根考点伸展第3题也可以用坐标平移的方法：由P(t, 0)，E(t, 3t)，Q(3t, t)，根据PE方向，将点Q向上平移，得F(3t, 3)再将F(3t, 3)代入yx22x3，得t1，或t312 因动点产生的等腰三角形问题课前导学

14、我们先回忆两个画图问题：1线段AB5厘米，以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2线段AB6厘米，以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外在探讨等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类假如ABC是等腰三角形，那么存在ABAC，BABC，CACB三种状况解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快几何法一般分三步：分类、画图、计算哪些题目合适用几何法呢？假如ABC的A的余弦值是确定的，夹A

15、的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法如图1，假如ABAC，干脆列方程；如图2，假如BABC，那么；如图3，假如CACB，那么代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验假如三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的间隔 公式，三边长的平方就可以罗列出来图1 图2 图3 图1例 9 2021年长沙市中考第26题如图1，抛物线yax2bxca、b、c是常数，a0的对称轴为y轴，且经过(0,0)和两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的P总经过定点A(0, 2)1求a、b、c的值；2求证：在点P运动的过程中，P始终及x轴相

16、交；3设P及x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标动感体验 请翻开几何画板文件名“14长沙26，拖动圆心P在抛物线上运动，可以体验到，圆及x轴总是相交的，等腰三角形AMN存在五种状况思路点拨1不算不知道，一算真奇异，原来P在x轴上截得的弦长MN4是定值2等腰三角形AMN存在五种状况，点P的纵坐标有三个值，根据对称性，MAMN和NANM时，点P的纵坐标是相等的图文解析1抛物线的顶点为(0,0)，所以yax2所以b0，c0将代入yax2，得解得舍去了负值2抛物线的解析式为，设点P的坐标为A(0, 2)，所以而圆心P到x轴的间隔 为，所以半径PA圆

17、心P到x轴的间隔 所以在点P运动的过程中，P始终及x轴相交3如图2，设MN的中点为H，那么PH垂直平分MN在RtPMH中，所以MH24所以MH2因此MN4，为定值等腰AMN存在三种状况：如图3，当AMAN时，点P为原点O重合，此时点P的纵坐标为0图2 图3图4 图5如图4，当MAMN时，在RtAOM中，OA2，AM4，所以OM2此时xOH2所以点P的纵坐标为如图5，当NANM时，根据对称性，点P的纵坐标为也为如图6，当NANM4时，在RtAON中，OA2，AN4，所以ON2此时xOH2所以点P的纵坐标为如图7，当MNMA4时，根据对称性，点P的纵坐标也为图6 图7考点伸展假如点P在抛物线上运动

18、，以点P为圆心的P总经过定点B(0, 1)，那么在点P运动的过程中，P始终及直线y1相切这是因为：设点P的坐标为B(0, 1)，所以而圆心P到直线y1的间隔 也为，所以半径PB圆心P到直线y1的间隔 所以在点P运动的过程中，P始终及直线y1相切例 10 2021年湖南省张家界市中考第25题如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线yax2bxca0过O、B、C三点，B、C坐标分别为(10, 0)和，以OB为直径的A经过C点，直线l垂直x轴于B点1求直线BC的解析式；2求抛物线解析式及顶点坐标；3点M是A上一动点不同于O、B，过点M作A的切线，交y轴于点E，交直线l于点F，设线段ME长为m

19、，MF长为n，请揣测mn的值，并证明你的结论；4假设点P从O动身，以每秒1个单位的速度向点B作直线运动，点Q同时从B动身，以一样速度向点C作直线运动，经过t0t8秒时恰好使BPQ为等腰三角形，恳求出满意条件的t值图1 动感体验请翻开几何画板文件名“14张家界25，拖动点M在圆上运动，可以体验到，EAF保持直角三角形的形态，AM是斜边上的高拖动点Q在BC上运动，可以体验到，BPQ有三个时刻可以成为等腰三角形 思路点拨1从直线BC的解析式可以得到OBC的三角比，为探讨等腰三角形BPQ作铺垫2设交点式求抛物线的解析式比较简便3第3题连结AE、AF简洁看到AM是直角三角形EAF斜边上的高 4第4题的P

20、BQ中，B是确定的，夹B的两条边可以用含t的式子表示分三种状况探讨等腰三角形图文解析1直线BC的解析式为2因为抛物线及x轴交于O、B(10, 0)两点，设yax(x10)代入点C，得解得所以抛物线的顶点为3如图2，因为EF切A于M，所以AMEF由AEAE，AOAM，可得RtAOERtAME所以12同理34于是可得EAF90所以51由tan5tan1，得所以MEMFMA2，即mn25 图24在BPQ中，cosB，BP10t，BQt分三种状况探讨等腰三角形BPQ：如图3，当BPBQ时，10tt解得t5如图4，当PBPQ时，解方程，得 如图5，当QBQP时，解方程，得图3 图4 图5 图6考点伸展在

21、第3题条件下，以EF为直径的G及x轴相切于点A如图6，这是因为AG既是直角三角形EAF斜边上的中线，也是直角梯形EOBF的中位线，因此圆心G到x轴的间隔 等于圆的半径，所以G及x轴相切于点A例 11 2021年湖南省邵阳市中考第26题在平面直角坐标系中，抛物线yx2(mn)xmnmn及x轴相交于A、B两点点A位于点B的右侧，及y轴相交于点C1假设m2，n1，求A、B两点的坐标；2假设A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是(0,1)，求ACB的大小；3假设m2，ABC是等腰三角形，求n的值动感体验请翻开几何画板文件名“14邵阳26”，点击屏幕左下方的按钮2，拖动点A在x轴正半轴上运动，可以体验

22、到，ABC保持直角三角形的形态点击屏幕左下方的按钮3，拖动点B在x轴上运动，视察ABC的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰三角形ABC有4种状况思路点拨1抛物线的解析式可以化为交点式，用m，n表示点A、B、C的坐标2第2题断定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比3第3题探讨等腰三角形ABC，先把三边长的平方罗列出来，再分类解方程图文解析1由yx2(mn)xmn(xm)(xn)，且mn，点A位于点B的右侧，可知A(m, 0)，B(n, 0)假设m2，n1，那么A(2, 0)，B(1, 0)2如图1，由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,1)，mn1，O

23、C1假设A、B两点分别位于y轴的两侧，那么OAOBm(n)mn1所以OC2OAOB所以所以tan1tan2所以12又因为1及3互余，所以2及3互余所以ACB903在ABC中，A(2, 0)，B(n, 0)，C(0, 2n)探讨等腰三角形ABC，用代数法解比较便利：由两点间的间隔 公式，得AB2(n2)2，BC25n2，AC244n2当ABAC时，解方程(n2)244n2，得如图2当CACB时，解方程44n25n2，得n2如图3，或n2A、B重合，舍去当BABC时，解方程(n2)25n2，得如图4，或如图5图1 图2 图3图4 图5考点伸展第2题常用的方法还有勾股定理的逆定理由于C(0, mn)

24、，当点C的坐标是(0,1)，mn1由A(m, 0)，B(n, 0)，C(0,1)，得AB2(mn)2m22mnn2m2n22，BC2n21，AC2m21所以AB2BC2AC2于是得到RtABC，ACB90第3题在探讨等腰三角形ABC时，对于CACB的状况，此时A、B两点关于y轴对称，可以干脆写出B(2, 0)，n2例 12 2021年湖南省娄底市中考第27题如图1，在ABC中，ACB90，AC4cm，BC3cm假如点P由点B动身沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A动身沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s连结PQ，设运动时间为ts0t4，解答以下问题：1设APQ的面积为S，当t

25、为何值时，S获得最大值？S的最大值是多少？2如图2，连结PC，将PQC沿QC翻折，得到四边形PQPC，当四边形PQPC为菱形时，求t的值；3当t为何值时，APQ是等腰三角形？图1 图2 图3 图4动感体验 请翻开几何画板文件名“14娄底27”，拖动点Q在AC上运动，可以体验到，当点P运动到AB的中点时，APQ的面积最大，等腰三角形APQ存在三种状况还可以体验到，当QC2HC时，四边形PQPC是菱形思路点拨1在APQ中，A是确定的，夹A的两条边可以用含t的式子表示2四边形PQPC的对角线保持垂直，当对角线相互平分时，它是菱形，图文解析1在RtABC中，AC4，BC3，所以AB5，sinA，cos

26、A作QDAB于D，那么QDAQ sinAt所以SSAPQ当时，S获得最大值，最大值为2设PP及AC交于点H，那么PPQC，AHAPcosA假如四边形PQPC为菱形，那么PQPC所以QC2HC解方程，得3等腰三角形APQ存在三种状况：如图5，当APAQ时，5tt解得如图6，当PAPQ时，解方程，得如图7，当QAQP时，解方程得图5 图6 图7图8考点伸展在此题情境下，假如点Q是PPC的重心，求t的值如图8，假如点Q是PPC的重心，那么QCHC解方程，得 例 13 2021 年湖南省怀化市中考第22题如图1，RtABC中，C90，AC8，BC6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒

27、2个单位的速度从ABC方向运动，它们到C点后都停顿运动，设点P、Q运动的时间为t秒1在运动过程中，求P、Q两点间间隔 的最大值；2经过t秒的运动，求ABC被直线PQ扫过的面积S刚好间t的函数关系式；3P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得PQC为等腰三角形假设存在，求出此时的t值，假设不存在，请说明理由，结果保存一位小数动感体验请翻开几何画板文件名“15怀化22”，拖动点P在AC上运动，可以体验到，PQ及BD保持平行，等腰三角形PQC存在三种状况 思路点拨1过点B作QP的平行线交AC于D，那么BD的长就是PQ的最大值2线段PQ扫过的面积S要分两种状况探讨，点Q分别在AB、BC上3等腰三角

28、形PQC分三种状况探讨，先罗列三边长图文解析1在RtABC中，AC8，BC6，所以AB10如图2，当点Q在AB上时，作BD/PQ交AC于点D，那么所以AD5所以CD3如图3，当点Q在BC上时，又因为，所以因此PQ/BD所以PQ的最大值就是BD在RtBCD中，BC6，CD3，所以BD所以PQ的最大值是图1图2 图3 图42如图2，当点Q在AB上时，0t5，SABD15由AQPABD，得所以SSAQP如图3，当点Q在BC上时，5t8，SABC24因为SCQP，所以SSABCSCQP24(t8)2t216t403如图3，当点Q在BC上时，CQ2CP，C90，所以PQC不行能成为等腰三角形当点Q在AB

29、上时，我们先用t表示PQC的三边长：易知CP8t如图2，由QP/BD，得，即所以如图4，作QHAC于H在RtAQH中，QHAQ sinA，AH在RtCQH中，由勾股定理，得CQ分三种状况探讨等腰三角形PQC：1当PCPQ时，解方程，得3.4如图5所示当QCQP时，整理，得所以(11t40)(t8)0解得3.6如图6所示，或t8舍去当CPCQ时，整理，得解得3.2如图7所示，或t0舍去综上所述，当t的值约为3.4，3.6，或等于3.2时，PQC是等腰三角形图5 图6 图7图8 图9考点伸展第1题求P、Q两点间间隔 的最大值，可以用代数计算说理的方法：如图8，当点Q在AB上时，PQ当Q及B重合时，

30、PQ最大，此时t5，PQ的最大值为如图9，当点Q在BC上时，PQ当Q及B重合时，PQ最大，此时t5，PQ的最大值为综上所述，PQ的最大值为13 因动点产生的直角三角形问题课前导学我们先看三个问题：1线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？3点A(4,0)，假如OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标图1 图2 图3图4如图1，点C在垂线上，垂足除外如图2，点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除外如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符

31、合题意的点B，共6个解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步找寻分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根一般状况下，根据直角顶点或者斜边分类，然后根据三角比或勾股定理列方程有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便解直角三角形的问题，经常和相像三角形、三角比的问题联络在一起假如直角边及坐标轴不平行，那么过三个顶点作及坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相像直角三角形，这样列比例方程比较简便如图4，A(3, 0)，B(1,4)，假如直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C假如作BDy轴于D，那么AOCCD

32、B设OCm，那么这个方程有两个解，分别对应图中圆及y轴的两个交点 例 19 2021 年湖南省益阳市中考第21题如图1，抛物线E1：yx2经过点A(1,m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2)，点A、B关于y 轴的对称点分别为点A、B1求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；2如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B为顶点的三角形为直角三角形？假设存在，求出点Q的坐标；假设不存在，请说明理由；3如图2，P为第一象限内的抛物线E1上及点A不重合的一点，连结OP并延长及抛物线E2相交于点P，求PAA及PBB的面积之比 图1 图2图3 图4动感体验请翻开几何画

33、板文件名“15益阳21”，拖动点P在抛物线E1上运动，可以体验到，点P始终是线段OP的中点还可以体验到，直角三角形QBB有两个思路点拨1推断点P是线段OP的中点是解决问题的打破口，这样就可以用一个字母表示点P、P的坐标2分别求线段AABB，点P到AA的间隔 点P到BB的间隔 ，就可以比较PAA及PBB的面积之比图文解析1当x1时，yx21，所以A(1, 1)，m1设抛物线E2的表达式为yax2，代入点B(2,2)，可得a所以yx22点Q在第一象限内的抛物线E1上，直角三角形QBB存在两种状况：如图3，过点B作BB的垂线交抛物线E1于Q，那么Q(2, 4)如图4，以BB为直径的圆D及抛物线E1交

34、于点Q，那么QD2设Q(x, x2)，因为D(0, 2)，根据QD24列方程x2(x22)24解得x此时Q3如图5，因为点P、P分别在抛物线E1、E2上，设P(b, b2)，P(c, )因为O、P、P三点在同一条直线上，所以，即所以c2b所以P(2b, 2b2)如图6，由A(1, 1)、B(2,2)，可得AA2，BB4由A(1, 1)、P(b, b2)，可得点P到直线AA的间隔 PM b21由B(2,2)、P(2b, 2b2)，可得点P到直线BB的间隔 PN2b22所以PAA及PBB的面积比2(b21)4(2b22)14 考点延长第2中当BQB90时，求点Q(x, x2)的坐标有三种常用的方法

35、：方法二，由勾股定理，得BQ2BQ2BB2所以(x2)2(x22)2(x2)2(x22)242方法三，作QHBB于H，那么QH2BHBH所以(x22)2(x2) (2x)图5 图6图1 图2例 20 2021 年湖南省湘潭市中考第26题如图1，二次函数yx2bxc的图象及x轴交于A(1, 0)、B(3, 0)两点，及y轴交于点C，连结BC动点P以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，动点Q以每秒个单位长度的速度从点B向点C运动，P、Q两点同时动身，连结PQ，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停顿运动设运动的时间为t秒1求二次函数的解析式；2如图1，当BPQ为直角三角形时，求t的值；3如图2，当

36、t2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点，假设存在，求出点N的坐标及t的值；假设不存在，请说明理由动感体验请翻开几何画板文件名“15湘潭26，拖动点P在AB上运动，可以体验到，BPQ有两次时机可以成为直角三角形还可以体验到，点N有一次时机可以落在抛物线上 思路点拨1分两种状况探讨等腰直角三角形BPQ2假如PQ的中点恰为MN的中点，那么MQNP，以MQ、NP为直角边可以构造全等的直角三角形，从而根据直角边对应相等可以列方程图文解析1因为抛物线yx2bxc及x轴交于A(1, 0)、B(3, 0)两点，所以y(x1)(x3)x22x32由A(1, 0)、B

37、(3, 0)、C(0,3)，可得AB4，ABC45在BPQ中，B45，BP4t，BQt直角三角形BPQ存在两种状况：当BPQ90时，BQBP解方程t(4t)，得t2如图3当BQP90时，BPBQ解方程4t2t，得t如图4图3 图4 图53如图5，设PQ的中点为G，当点G恰为MN的中点时，MQNP作QEy轴于E，作NFx轴于F，作QHx轴于H，那么MQENPF由条件，可得P(t1, 0)，Q(3t,t)由QEPF，可得xQxNxP，即3txN(t1)解得xN2将x2代入y(x1)(x3)，得y3所以N(2,3)由QH/NF，得，即整理，得t29t120解得因为t2，所以取考点伸展第3题也可以应用

38、中点坐标公式，得所以xN2xG214 因动点产生的平行四边形问题课前导学我们先思索三个问题：1A、B、C三点，以A、B、C、D为顶点的平行四边形有几个，怎么画？2在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对边AB及DC平行且相等？3在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对角线相互平分？图1 图2 图3图4如图1，过ABC的每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个点D如图2，A(0, 3)，B(2, 0)，C(3, 1)，假如四边形ABCD是平行四边形，怎样求点D的坐标呢？点B先向右平移2个单位，再向上平移3个单位及点A重合，因为BA及CD平行且相等，所以点C(3, 1) 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点D(5, 4)