身边的数学校本课程教案.docx

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1、书目序 言1第一讲 世界数学难题观赏四色揣测2第二讲 世界数学难题观赏哥尼斯堡七桥问题4第三讲 电冰箱温控器调整6第四讲 赌马中数学问题10第五讲 对称自然美根底12第七讲 斐波那契数列14第八讲 蜂房中数学17第九讲 龟背上学问18第十讲 Music 与数学20第十一讲 e和银行业21第十二讲 几何就在你身边23第十三讲 巧用数学看现实24第十四讲 商品调价中数学问题25第十五讲 煤商怎样进煤利润高27第十六讲 把握或然，你会更聪慧29第十七讲 顺水推舟，克“敌致胜 例谈反证法应用33第十八讲 抽屉原理和六人集会问题33第十九讲 数独嬉戏与数学33第二十讲 集合与生活33第二十一讲 生活中立

2、体几何33第二十二讲 生活中排列组合33第二十三讲 算法妙用33序 言数学是翻开学问大门钥匙，是整个科学根底学问。创新教学先行者里斯特伯先生指出：“学生学习数学就是要解决生活问题，只有极少数人才能攻关艰深高级数学问题，我们不能只为了培育尖端人才而忽视或者牺牲大多数学生利益，所以数学首先应当是生活概念。在生活中学数学，以学生生活中实实在在鲜活材料来吸引学生对科学爱好。我们选取都是从学生生活理论中取材，将数学学问奇妙地运用于生活之中，增加了学生对数学爱好，实现新课改所提倡情感体验，培育良好科学看法和正确价值观目的。数学校本课程开发要满意学生已有爱好和爱好，又要激发和培育学生新爱好和爱好，要要求和激

3、励学生投入生活，亲身理论体验。选题要敬重学生实际、学生探究本能和爱好，给与每个学生主体性发挥广袤空间，从而更好培育学生提出问题、分析问题、解决问题素养和实力。使学生成为学习主人，学有爱好，习有方法，必有胜利。学生特性在社会活动中得以安康开展，学生潜能在自学自育中得到充分开发。第一讲 世界数学难题观赏四色揣测平面内至多可以有四个点构成每两个点两两连通且连线不相交。可用符号表示：Kn)，n=、4。四色原理简介：这是一个拓扑学问题，即找出给球面或平面地图着色时所需用不同颜色最小数目。着色时要使得没有两个相邻即有公共边界限段区域有一样颜色。1852年英国格思里推想：四种颜色是充分必要。1878年英国数

4、学家凯利在一次数学家会议上呼吁大家留意解决这个问题。直到1976年，美国数学家阿佩哈尔、哈肯和考西利用高速电子计算机运算了1200个小时，才证明了格思里推想。20世纪80-90年头曾邦哲综合系统论构造论观将“四色揣测命题转换等价为“互邻面最大多面体是四面体。四色问题解决在数学探讨方法上打破，开拓了机器证明奇妙前景。 四色定理诞生过程：世界近代三大数学难题之一(另外两个是费马定理和哥德巴赫揣测)。四色揣测提出来自英国。1852年，毕业于伦敦高校弗南西斯格思里(Francis Guthrie)来到一家科研单位搞地图着色工作时，觉察了一种好玩现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界

5、国家着上不同颜色。,用数学语言表示，即“将平面随意地细分为不相重迭区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻两个区域得到一样数字。这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在高校读书弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而运用稿纸已经堆了一大叠，可是探讨工作没有进展。1852年10月23日，他弟弟就这个问题证明请教他老师、闻名数学家德摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题途径，于是写信向自己好友、闻名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根信后，对四色问题进展论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有可以解决。1872年，英国当时最闻名数学家凯利正

6、式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色揣测成了世界数学界关注问题。世界上很多一流数学家都纷纷参与了四色揣测大会战。18781880年两年间，闻名律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色揣测论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色揣测从今也就解决了。肯普证明是这样：首先指出假如没有一个国家包围其他国家，或没有三个以上国家相遇于一点，这种地图就说是“正规左图。如为正规地图，否那么为非正规地图右图。一张地图往往是由正规地图和非正规地图联络在一起，但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需颜色，假如有一张需要五种颜色地图，那就是指它正规地图是五色，要证明四色揣测成立，只要证明不存在一张正规五

7、色地图就足够了。肯普是用归谬法来证明，大意是假如有一张正规五色地图，就会存在一张国数最少“微小正规五色地图，假如微小正规五色地图中有一个国家邻国数少于六个，就会存在一张国数较少正规地图仍为五色，这样一来就不会有微小五色地图国数，也就不存在正规五色地图了。这样肯普就认为他已经证明了“四色问题，但是后来人们觉察他错了。不过肯普证明说明了两个重要概念，对以后问题解决供给了途径。第一个概念是“构形。他证明了在每一张正规地图中至少有一国具有两个、三个、四个或五个邻国，不存在每个国家都有六个或更多个邻国正规地图，也就是说，由两个邻国，三个邻国、四个或五个邻国组成一组“构形是不行防止，每张地图至少含有这四种

8、构形中一个。肯普提出另一个概念是“可约性。“可约这个词运用是来自肯普论证。他证明了只要五色地图中有一国具有四个邻国，就会有国数削减五色地图。自从引入“构形，“可约概念后，逐步开展了检查构形以确定是否可约一些标准方法，可以寻求可约构形不行防止组，是证明“四色问题重要根据。但要证明大构形可约，需要检查大量细微环节，这是相当困难。 11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己精确计算指出肯普证明是错误。不久，泰勒证明也被人们否认了。后来，越来越多数学家虽然对此费尽心机，但一无所获。于是，人们开始相识到，这个貌似简洁题目，其实是一个可与费马揣测相媲美难题：先辈数学大师们努力，为后世数学家提示四色揣测之谜

9、铺平了道路。进入20世纪以来，科学家们对四色揣测证明根本上是根据肯普想法在进展。1913年，伯克霍夫在肯普根底上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推动到35国。1960年，有人又证明了39国以下地图可以只用四种颜色着色；随后又推动到了50国。看来这种推动仍旧特别缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度快速进步，加之人机对话出现，大大加快了对四色揣测证明进程。1976年，在J. Koch算法支持下，美国数学家阿佩尔(Kenneth Appel)与哈肯(Wolfgang Haken)在美国伊利诺斯高校两台不同电子计算机上，用

10、了1200个小时，作了100亿推断，最终完成了四色定理证明。四色揣测计算机证明，轰动了世界,当时中国科学家也有在探讨这原理。它不仅解决了一个历时100多年难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维起点。 四色定理是第一个主要由计算机证明理论，这一证明并不被全部数学家承受，因为它不能由人工干脆验证。最终，人们必需对计算机编译正确性以及运行这一程序硬件设备充分信任。缺乏数学应有标准成为了另一个方面；以致于有人这样评论“一个好数学证明应当像一首诗而这纯粹是一本 簿！由四色揣测产生了德摩尔根地图四色定理，地球区划图奇异四色定理，宇宙万物图奇异十六色定理，雄伟原创性科学觉察和创建万有图形色数。第二讲 世界

11、数学难题观赏哥尼斯堡七桥问题请你做下面嬉戏：一笔画出如图1图形来。规那么：笔不分开纸面，每根线都只能画一次。这就是古老民间嬉戏一笔画。你能画出来吗？假如你画出来了，那么请你再看图2能不能一笔画出来？虽然你动了脑筋，但我信任你确定不能一笔画出来！为什么我语气这么确定？我们来分析一以下图2。我们把图2看成是由点和线组成一种集合。图里直线交点叫做顶点，连结顶点线叫做边。这个图是联通，即任何二个顶点之间都有边。很明显，图中顶点有两类：一类是有偶数条边联它，另一类是有奇数条边联它。一个顶点假如有偶数条边联它，这点就称为偶点；假如有奇数条边联它，就称它为奇点。我们知道，能一笔画图形只有两类：一类是全部点都

12、是偶点。另一类是只有二个奇点图形。图2有六个奇点，四个偶点，当然不能一笔画出来了。为什么能一笔画图形只有上述两类呢？有关这个问题探讨，要追溯到二百年前一个闻名问题：哥尼斯堡七桥问题。十八世纪东普鲁士哥尼斯堡城今俄罗斯加里宁格勒普莱格尔河，它有两个支流，在城市中心汇成大河，中间是岛区，河上有7座桥，将河中两个岛和河岸连结，如图3所示。由于岛上有古老哥尼斯堡高校，有教堂，还有哲学家康德墓地和塑像，因此城中居民，尤其是高校生们常常沿河过桥漫步。渐渐地，爱动脑筋人们提出了一个问题：一个漫步者能否一次走遍7座桥，而且每座桥只许通过一次，最终仍回到起始地点。这就是七桥问题，一个闻名图论问题。 图3这个问题

13、看起来好像很简洁，然而很多人作过尝试始终没有能找到答案。因此，一群高校生就写信给当时年仅20岁大数学家欧拉。欧拉从千百人次失败，以深邃洞察力揣测，或许根本不行能不重复地一次走遍这七座桥，并很快证明了这样揣测是正确。欧拉是这样解决问题：既然陆地是桥梁连接地点，不妨把图中被河隔开陆地看成4个点，7座桥表示成7条连接这4个点线，如图4所示。 图4 图5于是“七桥问题就等价于图5中所画图形一笔画问题了。欧拉留意到，假如一个图能一笔画成，那么确定有一个起点开始画，也有一个终点。图上其它点是“过路点画时候要经过它。如今看“过路点具有什么性质。它应当是“有进有出点，有一条边进这点，那么就要有一条边出这点，不

14、行能是有进无出，假如有进无出，它就是终点，也不行能有出无进，假如有出无进，它就是起点。因此，在“过路点进出边总数应当是偶数，即“过路点是偶点。假如起点和终点是同一点，那么它也是属于“有进有出点，因此必需是偶点，这样图上全体点都是偶点。假如起点和终点不是同一点，那么它们必需是奇点，因此这个图最多只能有二个奇点。如今比照七桥问题图，全部顶点都是奇点，共有四个，所以这个图确定不能一笔画成。欧拉对“七桥问题探讨是图论探讨开始，同时也为拓扑学探讨供给了一个初等例子。事实上，中国民间很早就流传着这种一笔画嬉戏，从长期理论经验，人们知道假如图点全部是偶点，可以随意选择一个点做起点，一笔画成。假如是有二个奇点

15、图形，那么就选一个奇点做起点以顺当一笔画完。惋惜是，古时候没有人对它重视，没有数学家对它进展经验总结，以及加以探讨。今日学习欧拉成果不应是单纯把它作为数学嬉戏，重要是应当知道他怎样把一个实际问题抽象成数学问题。探讨数学问题不应当为“抽象而抽象，抽象目是为了更好、更有效解决实际产生问题，欧拉对“七桥问题探讨就是值得我们学习一个样板。第三讲 电冰箱温控器调整人民生活程度日益进步，很多家庭都购置了电冰箱等家用电器。但是有很多家庭并不理解电冰箱工作原理，更不理解电冰箱温控器工作原理及其调整方法。不正确运用电冰箱势必会缩短其运用寿命，带来了不必要费事，同时也奢侈了自然资源和财力。电冰箱工作了很长时间，却

16、始终不停机。检查后觉察只是温控器调整不正确。这使我们相识到了冰箱温控器对于电冰箱重要性。因此，我们来探讨一下电冰箱温控器正确运用方法，即如何使电冰箱运用寿命更长。问题：如何正确调整电冰箱温控器，使电冰箱运用寿命更长。电冰箱制冷是靠中温低压液态制冷剂进入蒸发器汲取热量汽化为低温低压气态制冷剂，到达蒸发器四周降温使冰箱内部冷却目。压缩机、冷凝器、枯燥过滤器、毛细管那么是扶植并保证在蒸发器中已运用过制冷剂回复到中温低压液体，能再一次送回蒸发器吸热汽化，实现单向连续循环制冷。蒸发器是电冰箱中唯一制冷器件。压缩机把蒸发器出来低温低压汽态制冷剂经回气管由压缩机吸入气缸，被压缩为高温高压气态进入冷凝器，把蒸

17、发器中汲取热量和压缩机在压缩做功时转换热量，利用制冷剂与四周介质之间有较大温差，通过冷凝器全部散发到空气中。制冷剂在冷凝器中因放热而被液化。这高压中温液态制冷剂经枯燥过滤器汲取其中水分，滤除其中杂质，进入毛细管节流降压，使高压液态制冷剂降为低压而能回到蒸发器重复运用。电冰箱就是这样由各种制冷剂作工质，在封闭系统中作单向连续循环，把冰箱内热量不断转移到箱外而到达制冷目。电冰箱压缩机是开开停停间歇工作。电冰箱到达箱内设定温度是通过温度限制器限制压缩机开、停机来完成。压缩机运转时间长，即制冷时间长，那么箱内温低；反之箱温就高。温度限制器二个触点串联在压缩机电路中，当箱内温度低到某一设定温度时那么温控

18、器触点跳开，压缩机停转，暂停制冷，随后箱内温度渐渐进步，在箱内温度高到另一设定温度时那么温控器触点闭合，压缩机又运转制冷如此循环。使箱内温度保持在确定范围内。电冰箱温控器中感温包感受蒸发器温度，当温度上升或降低时，感温元件中感温剂膨胀或收缩，使非刚性元件感温腔水纹管或膜盒推动或退缩，从而变更感温元件与弹簧片之间作用力通过温控器中机械传力放大，使感温腔微小形变产生微小位移放大，限制电触点，使其闭合或断开电路。温控器指向数字，并不表示准确温度，而是表示限制温度上下程度趋向，数字小表示限制在较高温度，数字大那么表示限制在较低温度。我们认为，压缩机运用寿命在很大程度上确定了电冰箱运用寿命。而影响压缩机

19、工作时间因素主要有：外界温度、温控器档位、冷冻室食品量、开关冰箱门习惯。当电冰箱工作稳定后，冷冻室食品量对其影响特别微小，但不行以忽视不计。无论是在寒冷冬季，还是在燥热夏季，冰箱中食品都是在不断吸热和放热。当冰箱内冷汽散失时，食品吸热；当电冰箱制冷吸热时，食品放热。这在夏季时最为明显：当电冰箱停机时，冰箱内食品越多其停机时间越长，因为假如假设食品平均比热容不变，那么根据物理学关于热能公式Q=MCT可知食品量与停机时间成反比。其中Q 为食品热量变更，C 为食品平均比热，T食品温度变更量。因此，冰箱内食品量多少也是特别重要。事实上，外界温度随季节变更而变更，温控器档位靠人工调整，冰箱内食品量和如何

20、开关门对于一个家庭来讲变更不会很大，因为已经形成了习惯。但是，运用时假如压缩机长时间连续工作，压缩机温度就会上升，就会造成热冲击。过多热冲击会缩短压缩机运用寿命。因此，我们只要调整温控器档位，使电冰箱冷冻室温度不低于某一温度，而且压缩机在非长时间连续工作条件下不超过一个小时，工作时间与工作、停机时间和比值最小如工作10分钟，停机10分钟，那么比值为0.5)，即压缩机运用寿命更长，就可以使电冰箱运用寿命更长。同时，电冰箱耗电量也降低了。这样，一台电冰箱在运用过程中既省电，又可以延长运用寿命，当然特别经济。通过电冰箱消费厂家 询问，专业技术人员确定了我们上述看法。于是我们就此进展了一些试验，并通过

21、 询问得到了一些精确数据。在北京等中国北方城市，冬季供暖由市区县各供暖单位负责保证。政府规定，冬季居民室内温度不得低于16摄氏度。北京市供暖单位如今一般可以保证这个温度在18摄氏度左右，最高温可达20摄氏度，最低温绝不低于16摄氏度。因此，可以认为我国北方冬季家庭室内温度在18摄氏度左右。又因为，我国北方春秋季节家庭室内温度也在18摄氏度左右，偏冷地区依旧有暖汽等供暖，甚至常年不断。所以，可以认为，我国北方春秋冬三季家庭室内温度均在18摄氏度左右。就一般家庭而言，熟食一般现吃现买，生食一般只放几个星期。电冰箱冷冻室食品量一般占冷冻室容积五分之三左右，且一般变更不是很大。就是说，一般家庭食品量对

22、冰箱影响根本一样。综上所述，我们志向化试验条件是我国北方春秋冬三季一般家庭电冰箱。在探讨这个问题时可以把食品量和室内温度作为常数来考虑。由于每次开冰箱门时都会使冰箱内食品吸热升温，所以不同人开门习惯和速度会影响到冰箱制冷效果。比方说：老人可能手脚不是很利落，而且拿一件东西要想一下；年轻人可能一只手开门，另一只手就把东西拿出来了。为了简便计算，我们可以认为，在一个家庭中不考虑老人与青年人分别，只考虑平均到每个家庭成员运用效果，那么各个家庭状况根本一样。结果是，我们在计算过程中可以忽视这一因素影响。我们想利用家用电冰箱来进展一次试验。于是我们选用了长岭阿里斯顿 BCD 208 型电冰箱，在保持室温

23、为18 摄氏度且食品量始终占冷冻室有效容积五分之三不变状况下，测定了一些数据。这种电冰箱属于中等档次家用电器，制冷效果属于一般程度。目前很多家庭运用电冰箱制冷效果和保温实力都与其相差无几。这些满意了本论文前面交代试验条件，可以作为该条件下一个例子，来解决这个问题。于是我们开始了试验。试验进展了一个多星期，每组数据既一个档位间间隔二个小时，让电冰箱进展调整，以保证数据精确性。这台冰箱温控器旋钮有六个档位，分别是从零到五。第零档为停机档，既电冰箱压缩机停顿工作，不会启动；第五档为速冻档，即压缩机始终启动，不会停机。因此，我们不能选第零档，因为冰箱不会制冷；不能选第五档，因为冰箱持续工作，即奢侈电能

24、，又会造成热冲击，还有可能冻坏食品。我们设工作时间与工作、停机时间和比值为y ，设电冰箱温控器档位为x 。那么自变量x 取值范围为0，5。在平面直角坐标系中描点作图，为了便于计算，且不影响结果正确，我们在计算时把原值扩大了100倍。这样可以便利计算，也能便利作图。视察散点分布，我们认为这些点极有可能是在一条抛物线上，因此设y 关于x 函数为。我们在后面附有试验数据列表和用绘图工具几何画板作出函数图象。其中，表格包含五组数据，在测定时每组数据之间至少间隔两个小时，因为电冰箱需要约一个小时来调整。函数图象有一个大致轮廓。图中空心圆点表示描点，实心圆点表示当x 为4.5时函数图象上点。我们分别以三组

25、数据为一组，把五组数据分成了十组。设五组数据对应函数图象上点从左至右依次为A、B、C、D、E，那么将五组数据分组为：ABC、ABD、ABE、ACDBDE、CDE。每组可分别解出一个函数，但都有确定误差。其中，但凡包含数据组E 组误差都特别大，且不太正常。我们认为是由于压缩机升温且冷凝器温度上升散热变慢，导致电冰箱工作异样。这种可能性特别大，属于正常现象。通过 询问，冰箱厂家技术人员确定了我们想法，并告知我们：目前一些高级冷凝管可以大大进步散热效率，但造价颇高，且调整温控器就可解决问题，没必要多花钱去消费。于是把数据组E 舍去，只计算前四组，又可以分为四组：ABC、ABD、ACD、BCD。以这四

26、组数据分别解出一个函数，这四组函数中也存在误差，但是应当保存数据组A 存在误差那一分组。因为，温控器调得过低后也会造成冰箱本身问题。由于档位越低，要求到达温度越高不确定始终在设定温度以下，所以要工作时间就比较短，但停机时间缩短得更多。就是说，冰箱内食品在较长时间内放出了热量，在较短时间内又吸入了大致一样热量。冰箱在这时需要适度调低要求到达温度。这就是为什么要留意温控器调整。就是说，由BCD 解得函数对于点A、D 误差属于合理误差。最终，只有BCD 这一组不合理误差最小(此时A点误差为-0.36),最终解得函数即为所求函数y=f(x)。由数据组BCD 解函数：当x = 2.574 时,函数有最小

27、值y = 35.846；所以,温控器旋钮应指在2.574 位置。可是由于试验中不行能消退误差，所以应指在2、3 之间一个位置，室温稍低时就调低一点儿，反之就高一点儿，一般家庭不用常常调，温度差2到3 度不会有大影响。但是不同电冰箱性能不同，详细食品量在变更，外界温度也会上下浮动，每个人每一次开门造成影响都不一样，不同品牌电冰箱温控器限制面板也不一样。所以忽视绝大多数家庭一样因素，只须再考虑不同电冰箱性能不同、电冰箱温控器限制面板也不一样。尽管不同电冰箱性能不同，但是它们工作原理一样，都是在不断吸热、放热。就是说，它们在那个档位根本上都是最正确。虽然电冰箱温控器限制面板不一样，但是内部旋转多少角

28、度能调整多少温度，却是同样根本一样。目前市场上比较多款式主要有：“0到“5，“1到“7和“弱、“中、“强。由于我们试验用电冰箱装备是第一种款式温控器，所以对应到其它两种款式分别是“3、“4档之间和“中略偏“弱。问题解决了，是在中国北方春秋冬三季，一般家庭家用电冰箱温控器调整。目是如何更经济运用好电冰箱。答案就是上一段最终几句话。问题虽然很小，而且用就是解方程方法，但却能培育我们从生活中找寻数学问题、运用数学学问好习惯。这对于推行素养教化是一个极佳方法，它使学生因为自己爱好而学习，学问也就更加牢固。另外，这个问题可以扩展到其它方面。如下水道清理问题，你必需知道什么时候清理最合理：时间早了奢侈物资

29、，晚了又极难工作。当然牵扯量也是相当多。我们信任，通过我们不断学习，我们将解决更多生活中问题。第四讲 赌马中数学问题 随着中国改革开放，境外很多事物渐渐被生活在大陆人知晓诸如赌马、六合彩等常在媒体中提及。对我们来说，理解一些原来不熟识东西也是必要。其实，一些博彩嬉戏和古老赌博有很多相像之处，我们可以用初等概率学问对其中现象作确定分析。我们以赌马问题为例。为简便起见，假设只有两匹马参与竞赛。通过对确定马匹输赢各因素探讨以及对以往赛事输赢状况统计分析，我们可得出两匹马各自胜出实际概率。不失一般性，设其中一匹马胜出实际概率为，那么另一匹马胜出实际概率为。那么，参赌者该如何下注以最大限度确保他们能赢得

30、钱呢？要解决这个问题必需先弄明白庄家赔率是如何设定。所谓赔率，是指押注一元钱于胜方所获得总金额。举例来说，假设赔率为1.65元，那么如押注一元一方恰好胜出，可得收益0.65元，加上本金，一共可得1.65元。假设押注负方，那么会失去所押注1元，但不须另外再输钱。如今，我们知道了马匹胜出实际概率，知道了庄家设定赔率，就可以分析参赌者该如何下注。这里，设总金额为1元，并设在第一匹立刻押注元，那么在第二匹立刻押注。至于详细押注多少，参赌者可以将总金额按该比例安排给这两匹马。于是，可得下表：马匹第一匹第二匹胜出实际概率庄家设定赔率元押注元假如第一匹马赢，参赌者可得到元，再减去付出1元，参赌者收益为元；同

31、理，假如第二匹马赢，参赌者收益为元。考虑到两匹马胜出实际概率分别为和，参赌者期望收益为，其中。另外，假设参赌者把全部钱都押注于第一匹马时期望收益为；假设参赌者把全部钱都押注于第二匹马时，期望收益为。自然，参赌者盼望收益，这样，他们才能以一个正概率赢利。所以要求：。 1当，且，即当且时，不管取何值，恒大于0，且当趋向1时，趋向于极大值。事实上，当，即参赌者把钱全押注于第一匹立刻时，有收益，所以参赌者应当把钱全部押注于第一匹立刻。 2当且，即当且时，收益随着变大而变小，且当趋于0时，趋于极大值。事实上，当，即参赌者把钱全押注于第二匹立刻时，有收益。所以参赌者应当把钱全押在第二匹立刻。 3当，时，为

32、使，应满意： 。又，即。即当，且时，参赌者按安排赌注可期望赢利。且当趋向于1时，收益趋于极大值。同1状况可知，这时，参赌者应把钱全押注于第一匹立刻，有收益。 4当，且时。这时不管赌注如何安排，参赌者期望收益恒为负。在这状况下，参赌者介入其中是不理智行为。以上是参赌者在胜出概率及赔率时选择策略。同样，庄家在设置赔率时，确定会对实际各匹马胜出概率作一番细致探讨，由此设定相应赔率。这样，他才有可能不赔本。由此当庄家设置一个赔率时，我们也可以反推庄家所估计各匹马胜出概率。例如，庄家赔率设定为15，那么我们大致可以知道该马匹胜出概率大致应小于。其实，在其它涉及赔率、押注简洁模型中，我们也可以用相应方法进

33、展分析。当然，这只是对实际状况一种简化。现实生活中赌马不会仅有两匹，并且要求出各马匹实际胜出概率是件特别困难事，在一般状况下，只能求得近似解。第五讲 对称自然美根底在丰富多彩物质世界中，对于各种各样物体外形，我们常常可以遇到完备匀整例子。它们引起人们留意，令人赏心悦目。每一朵花，每一只蝴蝶，每一枚贝壳都使人着迷；蜂房建筑艺术，向日葵上种子排列，以及植物茎上叶子螺旋状颁都令我们惊异。细致视察说明，对称性蕴含在上述各种事例之中，它从最简洁到最困难表现形式，是大自然形式根底。 花朵具有旋转对称性征。花朵绕花心旋转适当位置，每一花瓣会占据它相邻花瓣原来位置，花朵就自相重合。旋转时到达自相重合最小角称为

34、元角。不同花这个角不一样。例如梅花为72，水仙花为60。“对称在生物学上指生物体在对应部位上有一样构造，分两侧对称如蝴蝶，辐射对称放射虫，太阳虫等。我国最早记载了雪花是六角星形。其实，雪花形态千姿百态，但又万变不离其宗六角星。既是中心对称，又是轴对称。 很多植物是螺旋对称，即旋转某一个角度后，沿轴平移可以和自己初始位置重合。例如树叶沿茎杆呈螺旋状排列，向四面八方伸展，不致彼此遮挡为生存所必需阳光。这种好玩现象叫叶序。向日葵花序或者松球鳞片螺线形排列是叶序另一种表现形式。“晶体闪耀对称光线，这是俄国学者费多洛夫名言。无怪乎在古典童话故事中，奇异宝石交织着温馨幻境，精致绝伦，雍容华贵。在王冠上，以

35、其熠熠荣耀向世人夸耀，保持永久不衰魅力。第六讲 对数螺线与蜘蛛网曾看过这样一那么谜语:“小小诸葛亮，稳坐军中帐。摆下八卦阵，只等飞来将。动一动脑筋，这说是什么呢原来是蜘蛛，后两句讲正是蜘蛛结网捕虫生动情形。我们知道，蜘蛛网既是它栖息地方，也是它赖以谋生工具。而且，结网是它本能，并不需要学习。你视察过蜘蛛网吗它是用什么工具编织出这么精致网来呢你心中是不是有一连串疑问，好，下面就让我来渐渐告知你吧。在结网过程中，功勋最卓著要属它腿了。首先，它用腿从吐丝器中抽出一些丝，把它固定在墙角一侧或者树枝上。然后，再吐出一些丝，把整个蜘蛛网轮廓勾画出来，用一根特殊丝把这个轮廓固定住。为接着穿针引线搭好了脚手架

36、。它每抽一根丝，沿着脚手架，当心翼翼地向前走，走到中心时，把丝拉紧，多余部分就让它聚到中心。从中心往边上爬过程中，在相宜地方加几根辐线，为了保持蜘蛛网平衡，再到对面去加几根对称辐线。一般来说，不同种类蜘蛛引出辐线数目不一样。丝蛛最多，42条；有带蜘蛛次之，也有32条；角蛛最少，也到达21条。同一种蜘蛛一般不会变更辐线数。到目前为止，蜘蛛已经用辐线把圆周分成了几部分，相临辐线间圆周角也是大体 一样。如今，整个蜘蛛网看起来是一些半径等分圆周，画曲线工作就要开始了。蜘蛛从中心开始，用一条极细丝在那些半径上作出一条螺旋状丝。这是一条协助丝。然后，它又从外圈回旋着走向中心，同时在半径上安上最终成网螺旋线

37、。在这个过程中，它脚就落在协助线上，每到一处，就用脚把协助线抓起来，聚成一个小球，放在半径上。这样半径上就有很多小球。从外面看上去，就是很多个小点。好了，一个完备蜘蛛网就结成了。让我们再来好好视察一下这个小精灵杰作:从外圈走向中心那根螺旋线，越接近中心，每周间间隔 越密，直到中断。只有中心部分协助线一圈密似一圈，向中心绕去。小精灵所画出曲线，在几何中称之为对数螺线。对数螺线又叫等角螺线，因为曲线上随意一点和中心连线与曲线上这点切线所形成角是一个定角。大家可别小看了对数螺线:在工业消费中，把抽水机涡轮叶片曲面作成对数；螺线形态，抽水就匀整；在农业消费中，把轧刀刀口弯曲成对数螺线形态，它就会按特定

38、角度来切割草料，又快又好。第七讲 斐波那契数列斐波那契数列在自然界中出现是如此地频繁，人们坚信这不是偶尔。1细察以下各种花，它们花瓣数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。2细察以下花类似花瓣部分，它们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊。斐波那契数常常与花瓣数目相结合：3百合和蝴蝶花5蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草8翠雀花13金盏草21紫宛34，55，84雏菊3斐波那契数还可以在植物叶、枝、茎等排列中觉察。例如，在树木枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子假定没有折损，直到到达与那息叶子正对位置，那么其间叶子数多半是斐波那契数。叶子从一

39、个位置到达下一个正对位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数比称为叶序源自希腊词，意即叶子排列比。多数叶序比呈现为斐波那契数比。4斐波那契数有时也称松果数，因为连续斐波那契数会出如今松果左和右两种螺旋形走向数目之中。这种状况在向日葵种子盘中也会看到。此外，你能觉察一些连续鲁卡斯数吗？5菠萝是又一种可以检验斐波那契数植物。对于菠萝，我们可以去数一下它外表上六角形鳞片所形成螺旋线数。斐波那契数列与黄金比值相继斐波那契数比数列：它们交织地或大于或小于黄金比值。该数列极限为。这种联络示意了无论尤其在自然现象中在哪里出现黄金比、黄金矩形或等角螺线，那里也

40、就会出现斐波那契数，反之亦然。第八讲 蜂房中数学蜜蜂是勤劳,它们酿造出了最甜蜜;蜜蜂是聪慧,它们会分工合作,还会用舞蹈形式告知同伴:哪里有花源,数量怎么样。事实上,不仅如此,蜜蜂还是精彩建筑师。它们建筑蜂房就是自然界诸多奇迹中一个。 蜂房是正六棱柱形态,它底是由三个全等菱形组成。达尔文赞扬蜜蜂建筑艺术, 说它是:天才工程师。法国学者马拉尔狄曾经视察过蜂房构造,在1712年,他写出了一篇关于蜂房构造论文。他测量后觉察,每个蜂房体积几乎都是0.25立方厘米。底部菱形锐角是70度32分,钝角是109度28分,蜜蜂工作竟然是这样精细。物理学家列奥缪拉也曾探讨了这个问题,它想推导出:底部菱形两个互补角是

41、多大时,才能使得蜂房容量到达最大,他没有把这项工作进展下去。苏格兰数学家马克劳林通过计算得出了与前面视察完全吻合数据。公元4世纪,数学家巴普士就告知我们:正六棱柱蜂房是一种最经济形态,在其他条件一样状况下,这种构造容积最大,所用材料最少。他给出了严格证明。看来,我们不得不为蜜蜂超群建筑艺术所折服了。马克思也高度地评价它:蜜蜂建筑蜂房本事使人间很多建筑师感到惭愧。如今,很多建筑师开始仿照蜂房构造,并把它们应用到建筑理论中去。第九讲 龟背上学问传闻大禹治水时，在一次疏通河道中，挖出了一只大龟，人们很是惊异，争相观看，只见龟背上清楚刻着图1所示一个数字方阵。这个方阵，按孙子算经中筹算记数纵横相间制：

42、“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。六不积算，五不单张。可译成现代数字，如图2所示。方阵包括了九个数字，每一行一与列数字和均为15，两条对角线上数也有一样性质。当时，人们以为是天神相助，治水有望了。后来，人们称刻在龟背上方阵为“幻方(国外称为“拉丁方)，属于组合数学范畴。运用整数19构成33阶“拉丁方唯一可能和数是15，这一点只要把这“拉丁方中全部数加起来便可证明，1十2十3十4十5十6十7十8十945，要把这几个数安排到三行(或列)使得每行(或列)有同样和，那么，每行(或列)和应为453150组合数学是数学中一个分支，在实际生活中应用很广泛，请看下面例子。5名待业青

43、年，有7项可供他们选择工作，他们是否能找到自己相宜工作呢由于每个人文化程度、爱好爱好及性别等缘由，每个人只能从七项工作中选择某些工种，也就是说每个人都有一张志愿表，最终根据需求和志愿找到一个相宜工作。组合数学把每一种安排方案叫一种支配。当然第一个问题是考虑支配存在性，这就是存在问题；第二个问题是有多少种支配方法，这就是计数问题。接下去要考虑在众多支配中选择一种最好方案，这就是所谓“最优化问题。存在问题、构造问题、计数问题和最优化问题就构成了全部组合数学内容。假如你想理解更多组合数学问题，那就要博览有关书籍，你会得到很多特别好玩学问，会给你很多启发和教益。第十讲 Music 与数学动人音乐常给人

44、以奇妙感受。古人云：余音绕梁，三日不绝，这说是唱得好，也有人五音不全，唱不成调，这就是唱得不好了。同样是唱歌，甚至是唱同样歌，给人感觉却是迥然不同。其重要缘由在于歌颂者发声振动频率不同。人类很早就在理论中对声音是否和谐有了感受，但对和谐音比较深化理解只是在弦乐器出现以后，这是因为弦振动频率和弦长度存在着简洁比例关系。近代数学已经得出弦振动频率公式是W ，这里，P是弦材料线密度；T是弦张力，也就是张紧程度；L是弦长；W是频率，通常以每秒一次即赫兹为单位。那么，确定音乐和谐因素又是什么呢？人类经过长期探讨，觉察它确定于两音频率之比。两音频率之比越简洁，两音感觉效果越纯净、开心与和谐。首先，最简洁之

45、比是：。例如，一个音频率是160、7赫兹，那么，与它相邻协和音频率应当是2260、7赫兹，这就是高八度音。而与频率为2260、7赫兹音和谐次一个音是4260、7赫兹。这样推导下去，我们可以得到下面一列和谐音乐：260、7，2260、7，22260、7我们把它简记为C0，C1，C2，称为音名。由于我们探讨是音比较，可短暂不管音确定高度频率，因此又可将音乐简写为：C0C1C2C320212223需要说明是，在上面音列中，不仅相邻音是和谐，而且C与C2，C与C3等等也都是和谐。一般说来这些协和音频率之比是2M。其中M是自然数第十一讲 e和银行业跟我们日常事情有什么关系呢？事实上它在我们日常生活中，跟

46、任何一个特定整数一样，尽管人们并不总能觉察到它出现。只有人知道是一个实际数，假如问大家，可能多数人会说是英语字母表里第5个字母。大家知道它是一个惊奇数，这是我们通过数学讲理解到。只有少数人知道它是一个无理数和一个超越数。 在今日银行业里，是对银行家最有扶植一个数。人们可能会问，像这样数是怎样又以何种方式与银行业发生关系呢？要知道后者是特地跟“元和“分打交道!假设没有觉察，银行家要计算今日利息就要花费极其大量时间，无论是逐日逐日地算复利，还是持续地算复利都无法防止。有幸是，出现助了一臂之力。定义是作为数列极限。我们通常写为。在利息计算中怎样借助于这个公式呢？实际计算公式是：本利和，。这里本金，年利率，一年之内计算利息次数，存钱年数。上述公式可以变形为对于公式。当人们投资1美元年利率为100时，一年本利和可达美元。开头可能会有人以为总计会是一个天文数字，但看了下面估计后就会知道它接近于值。于是，我们看到：假如我们投资1美元，年利率为100，那么收益决不会超过2.72美元。事实上小数点后头22位数是2.70452353602。下一个问题是怎样对进展工作。最好先通过尝试来确定看。比方说我们从1000美元开始以年利8存入银行，让我们看看当按一年期计算，然后按每半年期计算