建筑工程测量测量误差的基本知识概要.docx

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1、建筑工程测量测量误差的根本学问概要第五节 测量误差根底学问一、测量误差概述1测量误差产生的缘由 测量时，由于各种因素会造成少许的误差，这些因素必需去理解，并有效的解决，方可使整个测量过程中误差减至最少。理论证明，产生测量误差的缘由主要有以下三个方面。（1）人为因素。由于人为因素所造成的误差，包括观测者的技术程度和感觉器管的鉴别实力有确定的局限性，主要表达在仪器的对中、照准、读数等方面。（2）测量仪器的缘由。由于测量仪器的因素所造成的误差，包括测量仪器在构造上的缺陷、仪器本身的精度、磨耗误差和运用前未经校正等因素。 （3）环境因素。外界观测条件是指野外观测过程中，外界条件的因素，如天气的变更、植

2、被的不同、地面土质松紧的差异、地形的起伏、四周建筑物的状况，以和太阳光线的强弱、照耀的角度大小等。测量时受环境或场地之不同，可能造成的误差有热变形误差和随机误差为最显着。热变形误差通常发生于因室温、人体接触和加工后工件温度等情形下，因此必需在温湿度限制下，不行用手接触工件和量具、工件加工后待冷却后才测量。但为了缩短加工时在加工中需实时测量，因此必需考虑各种材料之热胀系数 作为补偿，以因应温度材料的热膨胀系数 不同所造成的误差。在实际的测量工作中，大量理论说明，当对某一未知量进展屡次观测时，不管测量仪器有多精细，观测进展得多么细致，所得的观测值之间总是不尽一样。这种差异都是由于测量中存在误差的缘

3、由。测量所获得的数值称为观测值。由于观测中误差的存在而往往导致各观测值与其真实值（简称为真值）之间存在差异，这种差异称为测量误差（或观测误差）。用L代表观测值，X代表真值，则误差=观测值L真值X，即 （5-1）这种误差通常又称之为真误差。由于任何测量工作都是由观测者运用某种仪器、工具，在确定的外界条件下进展的，所以，观测误差来源于以下三个方面：观测者的视觉鉴别实力和技术程度；仪器、工具的精细程度；观测时外界条件的好坏。通常我们把这三个方面综合起来称为观测条件。观测条件将影响观测成果的精度：若观测条件好，则测量误差小，测量的精度就高；反之，则测量误差大，精度就低；若观测条件一样，则可认为精度一样

4、。在一样观测条件下进展的一系列观测称为等精度观测；在不同观测条件下进展的一系列观测称为不等精度观测。由于在测量的结果中含有误差是不行避开的，因此，探讨误差理论的目的不是为了去歼灭误差，而是要对误差的来源、性质和其产生和传播的规律进展探讨，以便解决测量工作中遇到的一些实际问题。例如：在一系列的观测值中，如何确定观测量的最牢靠值；如何来评定测量的精度；以和如何确定误差的限度等。全部这些问题，运用测量误差理论均可得到解决。二、测量误差的分类测量误差按其性质可分为系统误差和间或误差两类：（一）系统误差在一样的观测条件下，对某一未知量进展一系列观测，若误差的大小和符号保持不变，或依据确定的规律变更，这种

5、误差称为系统误差。例如水准仪的视准轴与水准管轴不平行而引起的读数误差，与视线的长度成正比且符号不变；经纬仪因视准轴与横轴不垂直而引起的方向误差，随视线竖直角的大小而变更且符号不变；间隔 测量尺长不准产生的误差随尺段数成比例增加且符号不变。这些误差都属于系统误差。系统误差主要来源于仪器工具上的某些缺陷；来源于观测者的某些习惯的影响，例如有些人习惯地把读数估读得偏大或偏小；也有来源于外界环境的影响，如风力、温度和大气折光等的影响。系统误差的特点是具有累积性，对测量结果影响较大，因此，应尽量设法消退或减弱它对测量成果的影响。方法有两种：一是在观测方法和观测程序上实行确定的措施来消退或减弱系统误差的影

6、响。例如在水准测量中，保持前视和后视间隔 相等，来消退视准轴与水准管轴不平行所产生的误差；在测程度角时，实行盘左和盘右观测取其平均值，以消退视准轴与横轴不垂直所引起的误差。另一种是找出系统误差产生的缘由和规律，对测量结果加以改正。例如在钢尺量距中，可对测量结果加尺长改正和温度改正，以消退钢尺长度的影响。（二）间或误差在一样的观测条件下，对某一未知量进展一系列观测，假设观测误差的大小和符号没有明显的规律性，即从外表上看，误差的大小和符号均呈现间或性，这种误差称为间或误差。例如在程度角测量中照准目的时，可能稍偏左也可能稍偏右，偏向的大小也不一样；又如在水准测量或钢尺量距中估读毫米数时，可能偏大也可

7、能偏小，其大小也不一样，这些都属于间或误差。产生间或误差的缘由许多，主要是由于仪器或人的感觉器官实力的限制，如观测者的估读误差、照准误差等，以和环境中不能限制的因素如不断变更着的温度、风力等外界环境所造成。间或误差在测量过程中是不行避开的，从单个误差来看，其大小和符号没有确定的规律性，但对大量的间或误差进展统计分析，就能觉察在观测值内部却隐藏着一种必定的规律，这给间或误差的处理供应了可能性。测量成果中除了系统误差和间或误差以外，还可能出现错误（有时也称之为粗差）。错误产生的缘由较多，可能由作业人员无视大意、渎职而引起，如大数读错、读数被记录员记错、照错了目的等；也可能是仪器自身或受外界干扰发生

8、故障引起的；还有可能是容许误差取值过小造成的。错误对观测成果的影响极大，所以在测量成果中确定不允许有错误存在。觉察错误的方法是：进展必要的重复观测，通过多余观测条件，进展检核验算；严格依据国家有关部门制定的各种测量标准进展作业等。在测量的成果中，错误可以觉察并剔除，系统误差可以加以改正，而间或误差是不行避开的，它在测量成果中占主导地位，所以测量误差理论主要是处理间或误差的影响。下面具体分析间或误差的特性。三、间或误差的特性间或误差的特点具有随机性，所以它是一种随机误差。间或误差就单个而言具有随机性，但在总体上具有确定的统计规律，是听从于正态分布的随机变量。在测量理论中，依据间或误差的分布，我们

9、可以明显地看出它的统计规律。例如在一样的观测条件下，观测了217个三角形的全部内角。已知三角形内角之和等于180，这是三内角之和的理论值即真值X，实际观测所得的三内角之和即观测值L。由于各观测值中都含有间或误差，因此各观测值不愿定等于真值，其差即真误差。以下分两种方法来分析：（一）表格法由（5-1）式计算可得217个内角和的真误差，按其大小和确定的区间（本例为d=3），分别统计在各区间正负误差出现的个数k和其出现的频率k/n（n=217），列于表5-1中。从表5-1中可以看出，该组误差的分布表现出如下规律：小误差出现的个数比大误差多；确定值相等的正、负误差出现的个数和频率大致相等；最大误差不超

10、过27。理论证明，对大量测量误差进展统计分析，都可以得出上述同样的规律，且观测的个数越多，这种规律就越明显。表5-1 三角形内角和真误差统计表误差区间d正 误 差负 误 差合 计个 数k频 率k/n个 数k频 率k/n个 数k频 率k/n0336699121215151818212124242727以上3021151412852100.1380.0970.0690.0650.0550.0370.0230.0090.00502920181610862000.1340.0920.0830.0730.0460.0370.0280.00900594133302216114100.2720.1890.1

11、520.1380.1010.0740.0510.0180.0050合 计1080.4981090.5022171.000（二）直方图法为了更直观地表现误差的分布，可将表5-1的数据用较直观的频率直方图来表示。以真误差的大小为横坐标，以各区间内误差出现的频率k/n与区间d的比值为纵坐标，在每一区间上依据相应的纵坐标值画出一矩形，则各矩形的面积等于误差出如今该区间内的频率k/n。如图5-1中有斜线的矩形面积，表示误差出如今+6+9之间的频率，等于0.069。明显，全部矩形面积的总和等于1。可以设想，假设在一样的条件下，所观测的三角形个数不断增加，则误差出如今各区间的（5-2）频率就趋向于一个稳定值

12、。当n时，各区间的频率也就趋向于一个完全确定的数值概率。若无限缩小误差区间，即d0，则图5-1各矩形的上部折线，就趋向于一条以纵轴为对称的光滑曲线（如图5-2所示），称为误差概率分布曲线，简称误差分布曲线，在数理统计中，它听从于正态分布，该曲线的方程式为（5-3）式中：为间或误差；（0）为与观测条件有关的一个参数，称为误差分布的标准差，它的大小可以反映观测精度的凹凸。其定义为：在图5-1中各矩形的面积是频率k/n。由概率统计原理可知，频率即真误差出如今区间d上的概率P（），记为（5-4）依据上述分析，可以总结出间或误差具有如下四个特性：（1） 有限性：在确定的观测条件下，间或误差确实定值不会超

13、过确定的限值；（2） 集中性：即确定值较小的误差比确定值较大的误差出现的概率大；（3） 对称性：确定值相等的正误差和负误差出现的概率一样；（4） 抵偿性：当观测次数无限增多时，间或误差的算术平均值趋近于零。即 （5-5）式中 在数理统计中，也称间或误差的数学期望为零，用公式表示为E（）=0。图5-2中的误差分布曲线，是对应着某一观测条件的，当观测条件不同时，其相应误差分布曲线的形态也将随之变更。例如图5-3中，曲线I、II为对应着两组不同观测条件得出的两组误差分布曲线，它们均属于正态分布，但从两曲线的形态中可以看出两组观测的差异。当=0时，。、是这两误差分布曲线的峰值，其中曲线I的峰值较曲线I

14、I的高，即12，故第I组观测小误差出现的概率较第II组的大。由于误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等于1，所以当小误差出现的概率较大时，大误差出现的概率必定要小。因此，曲线I表现为较陡峭，即分布比拟集中，或称离散度较小，因此观测精度较高。而曲线II相对来说较为平缓，即离散度较大，因此观测精度较低。第二节评定精度的指标探讨测量误差理论的主要任务之一，是要评定测量成果的精度。在图5-3中，从两组观测的误差分布曲线可以看出：但凡分布较为密集即离散度较小的，表示该组观测精度较高；而分布较为分散即离散度较大的，则表示该组观测精度较低。用分布曲线或直方图虽然可以比拟出观测精度的凹凸，但这种方法即不便利也不

15、好用。因为在实际测量问题中并不须要求出它的分布状况，而须要有一个数字特征能反映误差分布的离散程度，用它来评定观测成果的精度，就是说须要有评定精度的指标。在测量中评定精度的指标有下列几种：一、 中误差由上节可知（5-3）式定义的标准差是衡量精度的一种指标，但那是理论上的表达式。在测量理论中观测次数不行能无限多，因此实际应用中，以有限次观测个数n计算出标准差的估值定义为中误差m，作为衡量精度的一种标准，计算公式为 （5-6）【例5-1】有甲、乙两组各自用一样的条件观测了六个三角形的内角，得三角形的闭合差（即三角形内角和的真误差）分别为：甲：+3、+1、-2、-1、0、-3；乙：+6、-5、+1、-

16、4、-3、+5。试分析两组的观测精度。【解】用中误差公式（5-6）计算得：从上述两组结果中可以看出，甲组的中误差较小，所以观测精度高于乙组。而干脆从观测误差的分布来看，也可看出甲组观测的小误差比拟集中，离散度较小，因此观测精度高于乙组。所以在测量工作中，普遍承受中误差来评定测量成果的精度。留意：在一组同精度的观测值中，尽管各观测值的真误差出现的大小和符号各异，而观测值的中误差却是一样的，因为中误差反映观测的精度，只要观测条件一样，则中误差不变。在公式（5-2）中，假设令f（）的二阶导数等于0，可求得曲线拐点的横坐标=m。也就是说，中误差的几何意义即为间或误差分布曲线两个拐点的横坐标。从图5-3

17、也可看出，两条观测条件不同的误差分布曲线，其拐点的横坐标值也不同：离散度较小的曲线I，其观测精度较高，中误差较小；反之离散度较大的曲线II，其观测精度较低，中误差则较大。二、相对误差真误差和中误差都有符号，并且有与观测值一样的单位，它们被称为“确定误差”。确定误差可用于衡量那些诸如角度、方向等其误差与观测值大小无关的观测值的精度。但在某些测量工作中，确定误差不能完全反映出观测的质量。例如，用钢尺丈量长度分别为100 m和200 m的两段间隔 ，若观测值的中误差都是2 cm，不能认为两者的精度相等，明显后者要比前者的精度高，这时承受相对误差就比拟合理。相对误差K等于误差确实定值与相应观测值的比值

18、。它是一个不名数，常用分子为1的分式表示，即式中当误差确实定值为中误差m确实定值时，K称为相对中误差。 （5-7）在上例中用相对误差来衡量，则两段间隔 的相对误差分别为1/5000和1/10000，后者精度较高。在间隔 测量中还常用来回测量结果的相对较差来进展检核。相对较差定义为 （5-8）相对较差是真误差的相对误差，它反映的只是来回测的符合程度，明显，相对较差愈小，观测结果愈牢靠。三、极限误差和容许误差（一）极限误差由间或误差的特性一可知，在确定的观测条件下，间或误差确实定值不会超过确定的限值。这个限值就是极限误差。在一组等精度观测值中，确定值大于m（中误差）的间或误差，其出现的概率为31.

19、7%；确定值大于2m的间或误差，其出现的概率为4.5%；确定值大于3m的间或误差，出现的概率仅为0.3%。依据式（5-2）和式（5-4）有上式表示真误差出如今区间（-，+）内的概率等于0.683，或者说误差出如今该区间外的概率为0.317。同法可得上列三式的概率含义是：在一组等精度观测值中，确定值大于的间或误差，其出现的概率为31.7%；确定值大于2的间或误差，其出现的概率为4.5%；确定值大于3的间或误差，出现的概率仅为0.3%。在测量工作中，要求对观测误差有确定的限值。若以m作为观测误差的限值，则将有近32%的观测会超过限值而被认为不合格，明显这样要求过分苛刻。而大于3m的误差出现的时机只

20、有3，在有限的观测次数中，事实上不大可能出现。所以可取3m作为间或误差的极限值，称极限误差，。（二）容许误差在实际工作中，测量标准要求观测中不容许存在较大的误差，可由极限误差来确定测量误差的容许值，称为容许误差，即当要求严格时，也可取两倍的中误差作为容许误差，即假设观测值中出现了大于所规定的容许误差的间或误差，则认为该观测值不行靠，应舍去不用或重测。第三节 误差传播定律前面已经叙述了评定观测值的精度指标，并指出在测量工作中一般承受中误差作为评定精度的指标。但在实际测量工作中，往往会遇到有些未知量是不行能或者是不便于干脆观测的，而由一些可以干脆观测的量，通过函数关系间接计算得出，这些量称为间接观

21、测量。例如用水准仪测量两点间的高差h，通过后视读数a和前视读数b来求得的，h=ab。由于干脆观测值中都带有误差，因此未知量也必定受到影响而产生误差。说明观测值的中误差与其函数的中误差之间关系的定律，叫做误差传播定律，它在测量学中有着广泛的用处。一、 误差传播定律设Z是独立观测量x1，x2，xn的函数，即(a) 式中：x1，x2，xn为干脆观测量，它们相应观测值的中误差分别为m1，m 2，mn，欲求观测值的函数Z的中误差mZ。设各独立变量xi（i=1，2，n）相应的观测值为Li，真误差分别为xi，相应函数Z的真误差为Z。则因真误差xi均为微小的量，故可将上式按泰勒级数绽开，并舍去二次和以上的各项

22、，得:（a）减去（b）式，得（b）上式即为函数Z的真误差与独立观测值Li的真误差之间的关系式。式中为函数Z分别对各变量xi的偏导数，并将观测值（xi=Li）代入偏导数后的值，故均为常数。若对各独立观测量都观测了k次，则可写出k个类似于（c）式的关系式将以上各式等号两边平方后再相加，得上式两端各除以k，因各变量xi的观测值Li均为彼此独立的观测，则xixj当ij时，亦为间或误差。依据间或误差的第四个特性可知，上式的末项当k时趋近于0，即故上式可写为 依据中误差的定义，上式可写成当k为有限值时，即 （5-9）或 （5-10）式中为函数Z分别对各变量xi的偏导数，并将观测值（xi=Li）代入偏导数后

23、的值，故均为常数。公式（5-9）或（5-10）即为计算函数中误差的一般形式。从公式的推导过程，可以总结出求随意函数中误差的方法和步骤如下：1列出独立观测量的函数式：2求出真误差关系式。对函数式进展全微分，得因dZ、dx1、dx2、都是微小的变量，可看成是相应的真误差Z、x1、x2、，因此上式就相当于真误差关系式，系数均为常数。3求出中误差关系式。只要把真误差换成中误差的平方，系数也平方，即可干脆写出中误差关系式：按上述方法可导出几种常用的简洁函数中误差的公式,如表5-2所列,计算时可干脆应用。表5-2 常用函数的中误差公式函 数 式函 数 的 中 误 差倍数函数和差函数线性函数若时二、 应用举

24、例误差传播定律在测绘领域应用特殊广泛，利用它不仅可以求得观测值函数的中误差，而且还可以探讨确定容许误差值。下面举例说明其应用方法。【例5-2】在比例尺为1：500的地形图上，量得两点的长度为d=23.4 mm，其中误差md=0.2 mm，求该两点的实际间隔 D和其中误差mD。解：函数关系式为D=Md，属倍数函数，M=500是地形图比例尺分母。两点的实际间隔 结果可写为11.7 m0.1 m。【例5-3】水准测量中，已知后视读数a=1.734 m，前视读数b=0.476 m，中误差分别为ma=0.002 m，mb=0.003 m，试求两点的高差和其中误差。解：函数关系式为h=a-b，属和差函数，

25、得两点的高差结果可写为1.258 m0.004 m。【例5-4】在斜坡上丈量间隔 ，其斜距为L=247.50 m，中误差mL=0.05 m，并测得倾斜角=1034，其中误差m=3，求程度间隔 D和其中误差mD。解：首先列出函数式程度间隔 这是一个非线性函数，所以对函数式进展全微分，先求出各偏导值如下：写成中误差形式故得D=243.30 m0.06 m。【例5-5】图根水准测量中，已知每次读水准尺的中误差为mi=2 mm，假定视距平均长度为50 m，若以3倍中误差为容许误差，试求在测段长度为L km的水准路途上，图根水准测量来回测所得高差闭合差的容许值。解：已知每站观测高差为：则每站观测高差的中

26、误差为：因视距平均长度为50 m，则每公里可观测10个测站，L公里共观测10L个测站，L公里高差之和为：L公里高差和的中误差为：来回高差的较差（即高差闭合差）为：高差闭合差的中误差为：以3倍中误差为容许误差，则高差闭合差的容许值为：在前面水准测量的学习中，我们取（mm）作为闭合差的容许值是考虑了除读数误差以外的其它误差的影响（如外界环境的影响、仪器的i角误差等）。三、 留意事项应用误差传播定律应留意以下两点：（一）要正确列出函数式例：用长30 m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差为ml=5 mm，求全长D和其中误差mD。全长，为倍乘函数。但事实上全长应是10个尺段之和，故函数式应为（为和

27、差函数）。用和差函数式求全长中误差，因各段中误差均相等，故得全长中误差为若按倍数函数式求全长中误差，将得出按实际状况分析用和差公式是正确的，而用倍数公式则是错误的。（二）在函数式中各个观测值必需互相独立，即互不相关。如有函数式 （a） （b）若已知x的中误差为mx，求Z的中误差mz。若干脆用公式计算,由（a）式得： （c）而 将以上两式代入（c）式得但上面所得的结果是错误的。因为y1和y2都是x的函数，它们不是互相独立的观测值，因此在（a）式的根底上不能应用误差传播定律。正确的做法是先把(b)式代入(a)式，再把同类项合并，然后用误差传播定律计算。第四节 等精度干脆观测平差当测定一个角度、一点

28、高程或一段间隔 的值时，按理说观测一次就可以获得。但仅有一个观测值，测的对错与否，准确与否，都无从知道。假设进展多余观测，就可以有效地解决上述问题，它可以进步观测成果的质量，也可以觉察和消退错误。重复观测形成了多余观测，也就产生了观测值之间互不相等这样的冲突。如何由这些互不相等的观测值求出观测值的最佳估值，同时对观测质量进展评估，即是“测量平差”所探讨的内容。对一个未知量的干脆观测值进展平差，称为干脆观测平差。依据观测条件，有等精度干脆观测平差和不等精度干脆观测平差。平差的结果是得到未知量最牢靠的估值，它最接近真值，平差中一般称这个最接近真值的估值为“最或然值”，或“最牢靠值”，有时也称“最或

29、是值”，一般用x表示。本节将探讨如何求等精度干脆观测值的最或然值和其精度的评定。一、等精度干脆观测值的最或然值等精度干脆观测值的最或然值即是各观测值的算术平均值。用误差理论证明如下：设对某未知量进展了一组等精度观测，其观测值分别为L1、L 2、Ln，该量的真值设为X，各观测值的真误差为1、2、n，则i=Li-X（i=1，2，n），将各式取和再除以次数n，得即依据间或误差的第四个特性有所以由此可见，当观测次数n趋近于无穷大时，算术平均值就趋向于未知量的真值。当n为有限值时，算术平均值最接近于真值，因此在实际测量工作中，将算术平均值作为观测的最终结果，增加观测次数则可进步观测结果的精度。二、评定精

30、度（一） 观测值的中误差1由真误差来计算当观测量的真值已知时，可依据中误差的定义即由观测值的真误差来计算其中误差。2由改正数来计算在实际工作中，观测量的真值除少数状况外一般是不易求得的。因此在多数状况下，我们只能按观测值的最或然值来求观测值的中误差。（1）改正数和其特征最或然值x与各观测值Li之差称为观测值的改正数，其表达式为 （5-11）在等精度干脆观测中，最或然值x即是各观测值的算术平均值。即明显 （5-12）上式是改正数的一个重要特征，在检核计算中有用。（2）公式推导已知，将此式与式（5-8）相加，得 （a）令，则 （b）对上面各式两端取平方，再求和 （c）而依据间或误差的特性，当n时，

31、上式的第二项趋近于零；当n为较大的有限值时，其值远比第一项小，可无视不计。故代入（c）式，得依据中误差的定义，上式可写为即 （5-13）上式即是等精度观测用改正数计算观测值中误差的公式，又称“白塞尔公式”。（二）最或然值的中误差一组等精度观测值为L1、L2、Ln，其中误差均一样，设为m，最或然值x即为各观测值的算术平均值。则有依据误差传播定律，可得出算术平均值的中误差M为故 （5-14）顾和式（5-10），算术平均值的中误差也可表达如下 （5-15）【例5-6】对某角等精度观测6次，其观测值见表5-3。试求观测值的最或然值、观测值的中误差以和最或然值的中误差。解：由本节可知，等精度干脆观测值的

32、最或然值是观测值的算术平均值。依据式（5-11）计算各观测值的改正数vi，利用（5-12）式进展检核，计算结果列于表5-3中。表5-3 等精度干脆观测平差计算观测值改正数v（）vv（2）L1=753213L2=753218L3=753215L4=753217L5=753216L6=7532142.5-2.50.5-1.5-0.51.56.256.250.252.250.252.25x=L/n=753215.5v=0vv=17.5依据式（5-13）计算观测值的中误差为：依据式（5-14）计算最或然值的中误差为：一般袖珍计算器都具有统计计算功能（STAT），能很便利地进展上述计算（参考各计算器的说

33、明书）。由式（5-14）可以看出，算术平均值的中误差是观测值中误差的倍，这说明算术平均值的精度比观测值的精度要高，且观测次数愈多，精度愈高。所以屡次观测取其平均值，是减小间或误差的影响、进步成果精度的有效方法。当观测的中误差m确定时，算术平均值的中误差M与观测次数n的平方根成反比，如表5-4和图5-4所示。表5-4 观测次数与算术平均值中误差的关系观测次数n算术平均值的中误差M20.71m40.50m60.41m100.32m200.22m图5-4观测次数与算术平均值中误差的关系从表5-4和图5-1可以看出观测次数n与M之间的变更关系。n增加时，M减小；当n到达确定数值后，再增加观测次数，工作量增加，但进步精度的效果就不太明显了。故不能单纯靠增加观测次数来进步测量成果的精度，而应设法进步单次观测的精度，如运用精度较高的仪器、进步观测技能或在较好的外界条件下进展观测。