现代控制理论知识点汇总.docx

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1、第一章 限制系统的状态空间表达式 状态空间表达式n阶 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 A称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；为输入或限制矩阵，表示输入对每个状态变量的作用状况；C输出矩阵，表示输出及每个状态变量间的组成关系，干脆传递矩阵，表示输入对输出的干脆传递关系。 状态空间描述的特点考虑了“输入状态输出这一过程，它提示了问题的本质，即输入引起了状态的变更，而状态确定了输出。状态方程和输出方程都是运动方程。状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n阶系统有n个状态变量可以选择。状态变量的选择不唯一。从便于限制系统的构成来说，把状态变量选为可测量

2、或可视察的量更为适宜。建立状态空间描述的步骤：a选择状态变量；b列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。 模拟构造图积分器加法器比例器状态空间描述，绘制模拟构造图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后依据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最终用箭头将这些元件连接起来。 状态空间表达式的建立 由系统框图建立状态空间表达式：a将各个环节放大, 积分, 惯性等变成相应的模拟构造图；b每个积分器的输出选作，输

3、入那么为；c由模拟图写出状态方程和输出方程。 由系统的机理动身建立状态空间表达式：如电路系统。通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。利用和列微分方程，整理。由描述系统的输入输出动态方程式微分方程或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。实现是非唯一的。方法：微分方程系统函数模拟构造图状态空间表达式留意：a假如系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再接着其他工作。 b模拟构造图的等效。如前馈点等效移到综合反应点之前。p28 c对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟构造图。5状态矢量的线性变换。也说明白状态空间表达的非唯一性。不变更系统的特征值。特征多项式的

4、系数也是系统的不变量。特征矢量的求解：也就是求的非零解。状态空间表达式变换为约旦标准型为随意矩阵：主要是要先求出变换矩阵。a互异根时，各特征矢量按列排。b有重根时，设阶系统，为单根，对特征矢量，求法及前面一样， 称作的广义特征矢量，应满足。系统的并联实现：特征根互异；有重根。方法：系统函数局部分式绽开模拟构造图状态空间表达式。6由状态空间表达式求传递函数阵的矩阵函数表示第j个输入对第i个输出的传递关系。状态空间表达式不唯一，但系统的传递函数阵是不变的。子系统的并联, 串联, 反应连接时，对应的状态空间表达及传递函数阵。方法：画出系统构造图，理清关系，用分块矩阵表示。第二章 限制系统状态空间表达

5、式的解一线性定常系统齐次状态方程的解：二矩阵指数函数状态转移矩阵1表示到的转移。5个根本性质。2的计算：a定义；b变换为约旦标准型 ,c用拉氏反变换 记忆常用的拉氏变换对 d应用凯莱-哈密顿定理三线性定常系统非齐次方程的解：。可由拉氏变换法证明当然给出拉氏变换法的求解思路。求解步骤：先求，然后将B和u(t)代入公式即可。特别激励下的解。第三章线性限制系统的能控性和能观性一能控性及能观性定义线性连续定常, 时变系统，离散时间系统二线性定常系统的能控性判别具有一般系统矩阵的多输入系统判别方法一：通过线性变换假设A的特征值互异，线性变换为对角线标准型，能控性充要条件：没有全为的行。变换矩阵T的求法。

6、假设A的特征值有一样的，线性变换为约当标准型，能控性充要条件：对应于一样特征值的局部，每个约当块对应的中最终一行元素没有全为的。中对应于互异特征根局部，各行元素没有全为的。变换矩阵T的求法。这种方法能确定具体哪个状态不能控。但线性变换比拟困难，关键是求, , 。判别方法二：干脆从，判别能控的充要条件是能控性判别矩阵的秩为n。在单输入系统中，是一个的方阵；而多输入系统，是一个的矩阵，可通过三线性定常系统的能观性判别判别方法一：通过线性变换 EMBED Equation.3 假设A的特征值互异，线性变换为对角线标准型，能观性充要条件：中没有全为的列。变换矩阵T的求法。假设A的特征值有一样的，线性变

7、换为约当标准型，能控性充要条件：对应于一样特征值的局部，每个约当块对应的中第一列元素没有全为的。对应于互异特征根局部，对应的中各列元素没有全为的。变换矩阵T的求法。这种方法能确定具体哪个状态不能观。但线性变换比拟困难，关键是求, , 。判别方法二：干脆从，C判别能观性的充要条件是能观性判别矩阵的秩为n。在单输入系统中，是一个的方阵；而多输入系统，是一个的矩阵，可通过六能控性及能观性的对偶原理假设，那么及对偶。对偶系统的传递函数阵是互为转置的。且他们的特征方程式是一样的。及对偶，那么能控性等价于能观性，能观性等价于能控性。时变系统的对偶原理？七能控标准型和能观标准型对于状态反应，化为能控标准型比

8、拟便利；对于观测器的设计及系统辨识，能观标准型比拟便利。 能控标准型假如系统的状态空间表达式判别系统的能控性。计算特征多项式，即可写出。求变换矩阵，。求，计算，也可以验证是否有。 能控标准型 判别系统的能控性。计算特征多项式，即可写出。求变换矩阵。求，计算，也可以验证是否有。 能观标准型判别系统的能观性。计算特征多项式，即可写出。求变换矩阵。求，计算，也可以验证是否有。 能观标准型判别系统的能观性。计算特征多项式，即可写出。求变换矩阵，。求，计算，也可以验证是否有。 假如传递函数阵，可干脆写出能控标准型和能观标准型的状态空间表达。能控标准型：能观标准型：八线性系统的构造分解1按能控性分解状态不

9、完全能控，即，通过非奇异变换完成。，前个列矢量是M中个线性无关的列，其他列矢量保证非奇异的条件下是随意的。2按能观性分解状态不完全能观，即，通过非奇异变换完成。，前个行矢量是N中个线性无关的行，其他行矢量保证非奇异的条件下是随意的。3按能控性和能观性分解系统是不完全能控和不完全能观的，接受逐步分解法，虽然烦琐，但直观。步骤：首先按能控性分解能控状态，不能控状态。对不能控子系统按能观性分解不能控能观状态，不能控不能观状态。将能控子系统按能观性分解能控能观状态，能控不能观状态。综合各步变换结果，写出最终的表达式。 另一种方法：化为约当标准型，推断各状态的能控性能观测性，最终按4种类型分类排列。九传

10、递函数阵的实现问题1实现的定义：由写出状态空间表达式，甚至画出模拟构造图，称为传递函数阵的实现问题。 条件：传递函数阵中每个元的分子分母多项式都是实常数；元是s的真有理分式。留意：假如不是有理分式，首先求出干脆传递矩阵。2能控标准型和能观标准型实现 单入单出系统，是有理分式，可干脆依据分子分母多项式系数写出能控标准1型和能观标准2型实现。多输入多输出系统，是矩阵，将整理成和单入单出系统传递函数相类似的形式，即；此时的是维常数阵。其能控标准型和能观标准型实现及单入单出系统类似，只是各矩阵中的0变为全零矩阵，1变为单位矩阵I，常数变为常数乘单位矩阵，即。留意：能控标准型实现的维数是；能观标准型实现

11、的维数是。3最小实现维数最小的实现为最小实现的充要条件是是完全能控能观的。步骤：对给定的，初选一种实现能控标准型或能观标准型，假设选能控标准型，推断是否完全能观测，假设完全能观测那么就是最小实现；否那么进展能观性分解，进一步找出能控能观局部，即为最小实现。留意：传递函数阵的实现不是唯一的，最小实现也不是唯一的。十传递函数中零极点对消及能控性和能观性之间的关系对单输入系统, 单输出系统或者单输入单输出系统，系统能控能观的充要条件是传递函数没有零极点对消。而对多输入多输出系统，传递函数阵没有零极点对消只是最小实现的充分条件，也就是说，即使存在零极点对消，系统仍有可能是能控能观的p147 例3-19

12、。对单输入单输出系统，假设传递函数出现了零极点对消，还不能推断原委是不能控还是不能观，还是既不能控又不能观。第四章 稳定性及李雅普诺夫方法一 稳定性的定义李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍适用的稳定性定义。1平衡状态为齐次状态方程。满足对全部t，都有成立的状态矢量称为系统的平衡状态。稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。通常只探讨坐标原点处的稳定性。2稳定性的几个定义李雅普诺夫意义下稳定，相当于自控里的临界稳定；渐近稳定，相当于自控里的稳定；大范围渐近稳定，大范围渐近稳定的必要条件是整个状态空间只有一个平衡状态；不稳定。二 李雅普诺夫第一法间接法1线性定常系统的稳定判据状态稳定性：平衡状态渐近

13、稳定的充要条件是A的全部特征值具有负实部。输出稳定性：充要条件是传递函数的极点位于s的左半平面。2非线性系统的稳定性线性化处理。；，假设A的全部特征值具有负实部，那么原非线性系统在平衡状态渐近稳定。假设A的全部特征值至少有一个具有正实部，那么原非线性系统在平衡状态不稳定。假设假设A的全部特征值至少有实部为零，那么稳定性不能有特征值的符号来确定。三李雅普诺夫第二法干脆法 借助于一个李雅普诺夫函数来干脆对平衡状态的稳定性做出推断。1预备学问是由n维矢量x定义的标量函数，且在处，恒有，对任何非零矢量x，假如，那么称之为正定；假如，那么称之为负定；假如那么称之为半正定或非负定；假如那么称之为半负定或非

14、正定；假如或，那么称之为不定。为二次型标量函数，为实对称阵。要判别的符号只要判别的符号即可。的定号判据希尔维特斯判据：首先求出的各阶依次主子式，假设全部的，那么正定；假设的，的那么负定；2李雅普诺夫函数对于一个给定系统，假如能找到一个正定的标量函数，而是负定的，那么这个系统是渐近稳定的，这个标量函数叫做李雅普诺夫函数。李雅普诺夫第二法的关键问题就是找寻李雅普诺夫函数的问题。稳定性判据设，平衡状态为，假如存在标量函数是正定的，即时，有，时，有，且满足，那么称原点平衡状态是渐近稳定的；假如当时，那么系统是大范围渐近稳定的。设，平衡状态为，假如存在标量函数是正定的，即时，有，时，有，且满足，但除外，

15、即，不恒等于，那么称原点平衡状态是渐近稳定的；假如当时，那么系统是大范围渐近稳定的。设，平衡状态为，假如存在标量函数是正定的，即时，有，时，有，且满足，但随意的，恒等于，那么称原点平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。设，平衡状态为，假如存在标量函数是正定的，即时，有，时，有，且满足，那么称原点平衡状态是不稳定的。须要留意：这些判据定理学问充分条件，也就是说，没有找到适宜的李雅普诺夫函数来证明原点的稳定性，不能说明原点确定是不稳定的。假如是可找到的，那么通常是非唯一的，但不影响结论。最简洁的形式是二次型标量函数，但不愿定都是简洁的二次型。构造须要较多技巧。四李雅普诺夫方法在线性系统中的应用线性定常

16、连续系统渐近稳定判据定理：，假设A是非奇异的，原点是唯一的平衡点。原点大范围渐近稳定的充要条件是对随意对称实正定矩阵，李雅普诺夫方程，存在唯一的对称正定解。该定理等价于的特征值具有负实部。但高阶系统求解特征值困难。步骤：选定正定矩阵，通常为，代入李雅普诺夫方程，确定出，推断是否正定，进而做出系统渐近稳定的结论。第五章 线性定常系统的综合综合：常规综合，使系统性能满足某种笼统指标要求；最优综合，使系统性能指标在某种意义下到达最优。一线性反应限制系统的根本构造及其特性1状态反应 将系统的每一个状态变量乘以相应的反应系数，然后反应到输入端及参考输入相加，作为受控系统的限制输入。K称为状态反应增益阵，

17、。设原受控系统，=0。状态反应闭环系统的状态空间表达式简称及原受控系统比拟，状态反应增益阵的引入，并不增加系统的维数，但可以通过的选择变更闭环系统的特征值，从而使获得所要求的性能。2输出反应由输出端y引入输出反应增益阵H，然后反应到输入端及参考输入相加，作为受控系统的限制输入。状态空间表达式为简称通过的选择也可以变更闭环系统的特征值，从而变更性能，但可供选择的自由度远比小通常。从输出到状态变量导数的反应从输出y引入反应增益阵G到状态变量的导数，所得状态空间表达式为简称通过的选择也可以变更闭环系统的特征值，从而变更性能。以上三种反应的共同点是，不增加新的状态变量，系统开环及闭环同维，其次，反应增

18、益阵都是常数矩阵，反应为线性反应。闭环系统的能控性及能观性a状态反应不变更受控系统的能控性，但不保证系统的能观性不变。b输出反应不变更受控系统的能控性和能观性。二极点配置问题就是通过选择反应增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面所期望的位置，以获得所渴望的动态性能。只探讨单输入单输出系统接受状态反应对系统随意配置极点的充要条件是完全能控。给定，给定期望的极点，设计状态反应限制器的方法：能控标准型法，适合于。首先推断是否完全能控，是，那么存在状态观测器。通过线性变换化为能控标准型，得到。参加状态反应增益矩阵,得到闭环系统状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式。由给定的期望极点，求出期望的闭

19、环特征多项式。将及比拟，即可得到。把对应及的，通过 。进一步画出模拟构造图。当阶次较低时，可干脆由反映物理系统的矩阵求状态反应增益矩阵，不通过非奇异变换，使设计工作简洁。首先推断是否完全能控，是，那么存在状态观测器。参加状态反应增益矩阵,得到闭环系统状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式。由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式。将及比拟，即可得到。进一步画出模拟构造图。留意，假如给定的是传递函数，那么先画出其要求的模拟构造图，写出状态空间描述，然后做其他工作。2接受输出反应不能随意极点配置，正是输出线性反应的根本弱点。接受从输出到的反应对系统随意配置极点的充要条件是完全能观。设计从输出到

20、的反应阵的问题就是其对偶系统设计状态反应阵的问题。方法：能观标准型法，适合于。首先推断是否完全能观，是，那么存在输出反应。通过线性变换化为能观标准型，得到。参加输出反应增益矩阵,得到闭环系统状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式。由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式。将及比拟，即可得到。把对应及的，通过 。进一步画出模拟构造图。当阶次较低时，可干脆由反映物理系统的矩阵求状态反应增益矩阵，不通过非奇异变换，使设计工作简洁。首先推断是否完全能观，是，那么存在输出反应。参加从输出到的反应增益矩阵,得到闭环系统状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式。由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式

21、。将及比拟，即可得到。进一步画出模拟构造图。五状态观测器作用：闭环极点的随意配置, 系统解藕以及最优限制系统都离不开状态反应。但状态变量并不是都能干脆检测，有些根本无法检测，这就提出状态观测或状态重构问题。龙伯格提出的状态观测器理论，解决的状态重构问题，使状态反应成为一种可实现的限制律。定义：动态系统以的输入u和输出y作为输入量，产生一组输出量靠近于，即，那么称为的一个状态观测器。构造原那么：必需是完全能观或不能观子系统是渐近稳定的；的输出应以足够快的速度渐近于；在构造上尽可能简洁具有尽可能低的维数，以便于物理实现。等价性指标动态系统原系统得到只要系统是稳定的，即的特征值具有负实部，就可做到及

22、是稳态等价的。重构状态方程缘由：系统的状态是不能干脆量测的，因此很难推断是否有靠近于；不愿定能保证的特征值均具有负实部。克制这个困难，用对输出量的差值的测量代替对状态误差的测量，当，有。同时，引入反应阵，使系统的特征值具有负实部。状态重构方框图为p213 5.16(a) 要求娴熟记忆，这种状态观测器称为渐近观测器。状态观测器方程为记为这里的G称为输出误差反应矩阵。可以证明，假如的特征值具有负实部，那么状态误差将慢慢衰减到，即估计状态靠近于实际的状态。靠近的速度取决于G的选择，即的特征值的配置。观测器的存在性对于完全能观测的线性定常系统，其观测器总是存在的。观测器存在的充要条件是不能观子系统是渐

23、近稳定的。六利用状态观测器实现状态反应的系统带观测器的状态反应闭环系统1系统的构造及状态空间表达前提：受控系统完全能控能观，状态反应闭环系统和观测器都可以随意极点配置。受控系统 式状态观测器 式反应限制率式整理得整个闭环系统的状态空间表达式 也可写成矩阵形式明显，这是一个2n维的闭环限制系统。2闭环系统的根本性质1别离性 复合系统由观测器构成的状态反应闭环系统其特征多项式等于矩阵和特征多项式的乘积。即闭环系统的极点等于干脆状态反应的极点和状态观测器的极点总和，且相互独立。所以输出误差反应阵和状态反应阵K可以分别进展设计。2传递函数矩阵的不变性可以推出复合系统的传递函数为，等于干脆状态反应闭环系

24、统的传递函数。或者说它及接受观测器反应无关。观测器反应及干脆状态反应的等效性稳态时，两者等价。选择，可以变更闭环系统的极点到期望极点，从而改善系统性能。选择，可以变更观测器的极点，从而加速使状态误差衰减到。一般取观测器的极点比闭环系统的期望极点的极点略负，既保证状态误差有较快的衰减速度，又不致引人更多的噪声干扰。设计步骤(只给出低阶系统的设计步骤)：推断原受控系统的能控性能观性，是完全能控能观，那么状态反应阵和观测器输出误差反应阵存在，且闭环系统和观测器极点可以随意配置。设计状态反应阵：求的特征多项式，由期望的闭环极点得期望的特征多项式，比拟系数，从而得到。设计观测器输出误差反应阵：求的特征多项式，由观测器期望的配置极点得期望的特征多项式，比拟系数，从而得到。给出观测器方程即式。结合1式和3式，画出相应的模拟构造图。