直线与圆知识点及经典例题.docx

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1、圆的方程, 直线与圆的位置关系【学问要点】一, 圆的定义：平面内与确定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（一）圆的标准方程 这个方程叫做圆的标准方程。说 明：1, 若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是。2, 圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标与半径；圆心与半径分别确定了圆的位置与大小，从而确定了圆，所以，只要三个量确定了且0，圆的方程就给定了。就是说要确定圆的方程，必需具备三个独立的条件确定，可以依据条件，利用待定系数法来解决。（二）圆的一般方程将圆的标准方程,绽开可得。可见，任何一个圆的方程都可以写成 :问题：形如的方程的曲线是不是圆？将方程左边配方得： （1）当0时，方程（1）与标准方程

2、比较，方程表示以为圆心，以为半径的圆。,（3）当0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形。圆的一般方程的定义：当0时，方程称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点：（1）与的系数相同，不等于零；（2）没有xy这样的二次项。（三）直线与圆的位置关系1, 直线与圆位置关系的种类（1）相离-求距离； (2)相切-求切线； （3）相交-求焦点弦长。2, 直线与圆的位置关系推断方法：几何方法主要步骤：（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心与半径（2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作推断: 当dr时，直线与圆相离；当dr时，直线与圆相切;当dr时，直线与圆相交。代数方法主要步骤：

3、（1）把直线方程与圆的方程联立成方程组（2）利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程（3）求出其的值，比较与0的大小：（4）当0时，直线与圆相交。【典型例题】类型一：圆的方程例1 求过两点, 且圆心在直线上的圆的标准方程并推断点与圆的关系变式1：求过两点, 且被直线平分的圆的标准方程.变式2：求过两点, 且圆上全部的点均关于直线对称的圆的标准方程.分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要推断点与圆的位置关系，只须看点与圆心的距离与圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为圆心

4、在上，故圆的方程为又该圆过, 两点 解之得：，所以所求圆的方程为解法二：（干脆求出圆心坐标与半径）因为圆过, 两点，所以圆心必在线段的垂直平分线上，又因为，故的斜率为1，又的中点为，故的垂直平分线的方程为：即又知圆心在直线上，故圆心坐标为半径故所求圆的方程为又点到圆心的距离为点在圆外例2：求过三点O（0，0），M（1，1），N（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的圆心与半径。解：设圆的方程为：x2 y2 Dx Ey F 0，将三个点的坐标代入方程 F 0， D -8， E 6 圆方程为：x2 y2 -8x 6y 0配方：（ x -4 ）2 （ y 3 ）2 25 圆心：（ 4， -3 ）， 半径

5、r 5例3 求经过点，且与直线与都相切的圆的方程分析：欲确定圆的方程需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点，故只需确定圆心坐标又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上解：圆与直线与相切，圆心在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线与的距离相等两直线交角的平分线方程是或又圆过点，圆心只能在直线上设圆心到直线的距离等于，化简整理得解得：或圆心是，半径为或圆心是，半径为所求圆的方程为或说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法类型二：切线方程, 切点弦方程, 公共弦方程例4已知圆，求过点与

6、圆相切的切线解：点不在圆上，切线的直线方程可设为依据.解得，所以，即因为过圆外一点作圆得切线应当有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为说明：上述解题过程简洁漏解斜率不存在的状况，要留意补回漏掉的解本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要留意漏解）还可以运用，求出切点坐标, 的值来解决，此时没有漏解例5 两圆与相交于, 两点，求它们的公共弦所在直线的方程分析：首先求, 两点的坐标，再用两点式求直线的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁为了避开求交点，可以接受“设而不求”的技巧解：设两圆, 的任一交点坐标为，则有：得：, 的坐标满足方程方程是过, 两点的

7、直线方程又过, 两点的直线是唯一的两圆, 的公共弦所在直线的方程为说明：上述解法中，奇异地避开了求, 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从学问内容的角度上说，还表达了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质相识它的应用很广泛例6, 求过点，且与圆相切的直线的方程解：设切线方程为，即，圆心到切线的距离等于半径，解得， 切线方程为，即，当过点的直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到此直线的距离等于半径，故直线也适合题意。 所以，所求的直线的方程是或类型三：弦长, 弧问题例7, 求直线被圆

8、截得的弦的长.例8, 直线截圆得的劣弧所对的圆心角为 解：依题意得，弦心距，故弦长，从而OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为.例9, 求两圆与的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例10, 已知直线与圆，推断此直线与已知圆的位置关系.例11, 若直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的取值范围.解：曲线表示半圆，利用数形结合法，可得实数的取值范围是或.例12, 圆上到直线的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解或先求出直线, 的方程，从代数计算中找寻解答解法一：圆的圆心为，半径设圆心到直线的距离为，则如图，在圆心同侧，与直线平行且距离为1的直线与圆有两个交点，这两个交点符合题意又与直

9、线平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意符合题意的点共有3个解法二：符合题意的点是平行于直线，且与之距离为1的直线与圆的交点设所求直线为，则，即，或，也即，或设圆的圆心到直线, 的距离为, ，则，与相切，与圆有一个公共点；与圆相交，与圆有两个公共点即符合题意的点共3个类型五：圆与圆的位置关系例13, 推断圆与圆的位置关系，例14：圆与圆的公切线共有 条。解：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，.，两圆相交.共有2条公切线。类型六：圆中的最值问题例15：圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 解：圆的圆心为（2，2），半径，圆心到直线的距离，直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离与最小

10、距离的差是.例16(1)已知圆，为圆上的动点，求的最大, 最小值(2)已知圆，为圆上任一点求的最大, 最小值，求的最大, 最小值分析：(1), (2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决解：(1)圆上点到原点距离的最大值等于圆心到原点的距离加上半径1，圆上点到原点距离的最小值等于圆心到原点的距离减去半径1所以所以(2)设，则由于是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示， 两条切线的斜率分别是最大, 最小值由，得所以的最大值为，最小值为令，同理两条切线在轴上的截距分别是最大, 最小值由，得所以的最大值为，最小值为例17：已知，点在圆上运动，则的最小值是 .解：设，则.设圆心为，则，的最小值为.第 7 页