直线和圆的位置关系经典一对一讲义教案.docx

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1、 直线和圆的位置关系讲义 圆的学问在平面几何中乃至整个初中教学中都占有重要的地位，而直线和圆的位置关系的应用又比拟广泛，它是初中几何学问的综合运用，又是在学习了点和圆的位置关系的根底上进展的，在几何证明及计算中，将起到重要的作用，是中考必考察点。【学问纵横】直线和圆的位置关系： 设圆的半径为r，圆心到直线的间隔 为d直线及圆相交 r；直线及圆相切 r；直线及圆相离 。圆的切线：1一个定义：及圆只有一个公共点的直线叫做圆的 ；这个公共点叫做 ；2两种断定：若圆心到直线的间隔 等于半径，则该直线是圆的切线；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线；3断定直线和圆的位置，一般考虑如下“三步

2、曲”： 一“看”：看看题目中有没有告知我们直线和圆有几个公共点； 二“算”：算算圆心到直线的间隔 d和圆的半径为r之间的大小关系，然后依据上述关系作出推断； 三“证明”： 证明直线是否经过直径的一端，并且及该直径的位置关系是否垂直。4四条性质：切线有很多重要性质 圆心到切线的间隔 等于圆的_ ； 过切点的半径垂直于_ ； 经过圆心，及切线垂直的直线必经过 ； 经过切点，及切线垂直的直线必经过 _。 5弦切角 定义 ：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角； 定理 ：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 推论 ：a)两个弦切角所夹的弧相等，这两个弦切角也相等；b)弦切角的度数等于它所

3、夹弧度数的一半。【典例精析】考点1: 直线和圆的位置关系【例1】1、如图，已知是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，,点在数轴上运动，若过点且及平行的直线及有公共点, 设，则的取值范围是2、射线及等边的两边，分别交于点M，N，且，2，4动点P从点Q动身，沿射线以每秒1的速度向右挪动，经过t秒，以点P为圆心， 为半径的圆及的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值 （单位：秒）变式一：1、如图，在中，90，30，若动点D在线段上（不及点A、C重合），过点D作交边于点E（1）当点D运动到线段中点时， ；（2）点A关于点D的对称点为点F，以为半径作C，当 时，C及直线相切2、如图，在直角梯形中，已知

4、，90，且 ，是O直径，则直线及O的位置关系为 _考点2: 圆的切线的性质根本运用【例2】已知直线垂直平分O的半径于点B，交O于点C、D，是O的切线，E为切点，连结，交于点F（1）若O的半径为8，求的长；（2）证明：；（3）若13，求的长变式二：如图，O是的外接圆，是O 的切线，切点为F，连结交于E，的平分线交于D，连结（1）证明：平分；（2）证明：；（3）若4，3，求的长考点3:切线的断定定理运用【例4】如图，在中，以为直径作半圆O，交于点D，连接，过点D作，垂足为点E，交的延长线于点F（1）求证：是O的切线；（2）假如O的半径为5，求的长【例5】如图，在O中，直径，垂足为E，点M在上，的延

5、长线交O于点G，交过C的直线于F，1=2，连结及交于点N（1）求证：是O的切线；（2）求证：；（3）若点M是的中点，O的半径为4，求的长变式三：如图，中，以为直径作交边于点，是边的中点，连接（1）求证：直线是的切线；CEBAOFD（2）连接交于点，若，求的值【思维拓展】【例6】如图，为O的切线，A为切点，直线交O及点E，F，过点A作的垂线垂足为D，交O及点B，延长及O交及点C，连接，（1）求证：及O相切；（2）摸索究线段，之间的数量关系，并加以证明；（3）若12，求的值【例7】已知是O的直径，4，点C在线段的延长线上运动，点D在O上运动（不及点B重合），连接，且（1）当时（如图），求证：是O的

6、切线；（2）当时，所在直线于O相交，设另一交点为E，连接当D为中点时，求的周长；连接，是否存在四边形为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时的值；若不存在，请说明理由变式四：如图，在边长为2的正方形中，以点D为圆心、为半径作，点E在上，且及A、B两点均不重合，点M在上，且，过点E作，交于点F，连接、（1）求证：是所在D的切线；（2）当时，求的长；（3）摸索究：能否是等腰直角三角形？若是，请干脆写出的长度；若不是，请说明理由【课后测控】1、如图1，半径为1的切于点，若将在上向右滚动，则当滚动到及也相切时，圆心挪动的程度间隔 是2、如图2，为半圆的直径，A为延长线上一点，切半圆于点E，于点C，交半圆

7、于点F已知2，设，则y关于x的函数解析式是图1 图2 图3 3、如图，在中，3，O的半径为1，点P是边上的动点，过点P作O的一条切线（点Q为切点），则切线的最小值为 4、如图，为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形的一边在直径上，另一边过的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上。若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径及正方形边长的比是；若正方形的面积为100，且的内切圆半径=4，则半圆的直径 = 5、如图，已知直线交O于A、B两点，是O的直径，点C为O上一点，且平分，过C作，垂足为D(1) 求证：为O的切线；(2) 若6，O的直径为10，求的长度6、如图，直线经过O上的点，并且，O交直线于，连接（

8、1）求证：直线是O的切线；（2）试猜测三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若，O的半径为3，求的长7、如图，已知是O直径，是O的弦，弦于点F，交于点G，过点C作O的切线及的延长线交于点P（1）求证：；（2）点C在劣弧上运动时，其他条件不变，若点G是的中点，摸索究、三者之间的数量关系，并写出证明过程；（3）在满意（2）的条件下，已知O的半径为5，若点O到的间隔 为时，求弦的长局部答案及提示：【例2】考点：切线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；解直角三角形 分析：（1）首先连接，由直线垂直平分O的半径于点B，O的半径为8，可求得的长，又由勾股定理，可求得的长，然后由垂径定理，求得的长；（2

9、）由是O的切线，易证得90，90A，继而可证得，依据等角对等边的性质，可得；（3）首先过点P作于点G，易得A，即可得13=5，又由等腰三角形的性质，求得答案解答：解：（1）连接，直线垂直平分O的半径于点B，O的半径为8，4，在中，4，28；（2）是O的切线，90，90，90A，；（2）过点P作于点G，90，A，13=5，210H变式二：2.证明（1）连结是O的切线 1分 ，垂直平分 2分平分 3分（2）证明：由（1）及题设条件可知1=2，4=3，5=2 4分H1+4=2+31+4=5+3 5分 6分 （3）解： 在和中5=2=1，F 7分， 8分 9分 10分【例4】考点：切线的断定；等腰三角

10、形的性质；圆周角定理；解直角三角形分析：（1）连结，为0的直径得90，由，依据等腰三角形性质得平分，即，则为的中位线，所以，而，则，然后依据切线的断定方法即可得到结论；（2）由，依据等角的余角相等得，在中，利用解直角三角形的方法可计算出8，在中可计算出，然后由，得，再利用相像比可计算出解答：（1）证明：连结，如图，为0的直径，90，平分，即，为的中位线，是0的切线；（2）解：，在中，而10，8，在中，=，即=，【例5】考点：圆的综合题；切线的断定及性质；相像三角形的断定及性质 分析：（1）依据切线的断定定理得出1+90，即可得出答案；（2）利用已知得出3=2，4=D，再利用相像三角形的断定方法

11、得出即可；（3）依据已知得出的长，进而利用勾股定理得出，的长，即可得出，利用（2）中相像三角形的性质得出的长即可解答：（1）证明：中，在中，2+90，又1=2，1+90，即90，是O的切线；（2）证明：是O直径，90，即3=1，3=2，4=D，；（3）解：O的半径为4，即4，在中，4=1，由此可得：3，5，由勾股定理可得：，2，2，是O直径，由垂径定理得：22，=，点M是的中点，4=2，2=【例6】考点：圆的综合题；探究型；切线的断定及性质；相像三角形的断定及性质；全等三角形的断定及性质；锐角三角函数的定义分析：（1）连接，由垂直于，利用垂径定理得到D为的中点，即垂直平分，可得出，再由，利用得

12、出三角形及三角形全等，由为圆的切线，得到垂直于，利用全等三角形的对应角相等及垂直的定义得到垂直于，即为圆O的切线；（2）由一对直角相等，一对公共角，得出三角形及三角形相像，由相像得比例，列出关系式，由为的一半，等量代换即可得证（3）连接，构建直角在该直角三角形中利用锐角三角函数的定义、勾股定理可设，2x，进而可得；然后由面积法求得，所以依据垂径定理求得的长度，在中，依据勾股定理易求的长；最终由余弦三角函数的定义求解解答：（1）证明：连接，及圆O相切，即90，D为中点，即垂直平分，在和中，（），90，则直线为圆O的切线；（2）答：2=4证明：90，=，即2，为圆的直径，即2，2，即2=4；（3）

13、解：连接，则90，=，可设，2x，则由勾股定理，得，又，2，中，222，122+（x）2=（x）2，解得：4，4=20，【例7】考点：圆的综合题；存在型；分类探讨；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形；等边三角形的断定及性质；梯形；切线的断定；解直角三角形；相像三角形的断定及性质分析：（1）关键是利用勾股定理的逆定理，断定为直角三角形，如答图所示；（2）如答图所示，关键是断定是含30度角的直角三角形，从而解直角三角形求出的周长；符合题意的梯形有2个，答图展示了其中一种情形在求值的时候，奇妙地利用了相像三角形，简洁得出了结论，避开了困难的运算解答：（1）证明：连接，如答图所示由题意可知，2，2

14、22由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形，则，又点D在O上，是O的切线（2）解：如答图所示，连接，则有，为等边三角形，1=2=3=60；，4=5，3=4+5，4=5=30，2+4=90，因此是含30度角的直角三角形，是等腰直角三角形在中，24，430=，在等腰直角三角形中，的周长为：（）4+（2+）=6存在，这样的梯形有2个答图是D点位于上方的情形，同理在下方还有一个梯形，它们关于直线成轴对称，1=2，4=5，四边形为梯形，4=1，3=2，3=5=1，在及中，则有，2=22=41=5，4综上所述，存在四边形为梯形，这样的梯形有2个，此时4变式四：考点：圆的综合题；几何综合题；切线的断定；全等三

15、角形的断定及性质；相像三角形的断定及性质；勾股定理分析：（1）过点D作于G，依据等边对等角可得，然后依据等角的余角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，依据全等三角形对应边相等可得，再依据切线的定义即可得证；（2）求出，然后利用勾股定理列式求出，再求出，依据同角的余角相等求出1=3，然后求出和相像，依据相像三角形对应边成比例列式求出，再利用勾股定理列式计算即可得解；（3）假设能是等腰直角三角形，依据等腰直角三角形的性质可得，先利用“角角边”证明和全等，依据全等三角形对边角相等可得，设，然后表示出，再依据，从而得到，依据直角三角形斜边大于直角边可知不行能是等腰直角三角形解答：（1）证明：过点D作

16、于G，90，90，90，在和中，（），的半径为，即的长度，是所在D的切线；（2）时，2=，在中，1，21=1，1+2=18090=90，90，2+3=90，1=3，又90，=，即=，解得，在中，；（3）假设能是等腰直角三角形，则，在和中，（），设，则2x，2x，2x，、分别是的斜边及直角边，假设不成立，故不能是等腰直角三角形5、（1）证明：连接， 1分因为点C在O上，所以 因为，所以，有.因为平分，所以3分所以 4分又因为点C在O上，为O的半径，所以为O的切线. 5分（2）解:过O作，垂足为F，所以，所以四边形为矩形，所以 7分因为6，设,则因为O的直径为10，所以，所以.在中，由勾股定理知即

17、化简得，解得或9. 9分由，知，故. 10分从而2， 11分因为，由垂径定理知F为的中点，所以12分7、考点：切线的性质；勾股定理；相像三角形的断定及性质分析：（1）连结，依据切线的性质得，则90，由得90，而，所以，依据对顶角相等得，于是，所以；（2）连结，由点G是的中点，依据垂径定理的推论得，易证得，则：，即2，把用代换得到2；（3）解：连结，在中，利用勾股定理计算出2，再利用2可计算出，从而得到1，在中，依据勾股定理计算出2，由于，依据垂径定理可得，于是有24解答：（1）证明：连结，如图，为O的切线，90，90，而，；（2）解：、三者之间的数量关系为2理由如下：连结，如图，点G是的中点，90，：，2，2；（3）解：连结，如图，由（2）得，在中，5，2，由（2）得2，4，1，在中，2，24